A L ACADÉMIE DBS SCIENCES. XIX

On est donc conduit à conclure de cette discussion que la foi^

niuleî| = a + ^, qui n'est autre chose que la formule binôme adoptée par Prony et par Eytelwein et employée jusqu'ici, doit être complètement

abandonnée, tandis que la formule — ' = a + j paraît beaucoup plus convenable pour représenter les résultats de Tobservatiao relatifs à un incme état des parois et à des pentes diverses.

Influence de la forme du profil transversal des canaux. — Les canaux ont le plus souvent pour profil un rectangle ou un trapèze; quelquefois cependant, quand ils sont étroits et profonds par rapport à leur largeur, ce dernier profil se rapproche beaucoup de la forme triangulaire. Enfin les radiers de certaines rigoles en maçonnerie ont un profil en arc de cercle.

Les expériences relatives à l'influence de la forme du profil des canaux dont les résultats sont consignés dans le Mémoire de M. Bazin ont été exécutées :

I® Sur trois canaux en planches à section rectangulaire de i'",i97^ o",8o et o",48 de largeur;

^^ Sur deux canaux à section en trapèze, dont Tun avait i mètre de largeur au fond et des talus inclinés à 4^ degrés, et Tautre o'*,945 de largeur au fond avec une paroi verticale et Tautre inclinée à 4^ degrés;

S"" Sur un canal en planches à section triangulaire , dont les côtés étaient inclinés à 45 degrés.

Les six séries d'expériences exécutées sur ces canaux, et dans lesquelles les vitesses ont varié de o°^,73 à â",4o en une seconde, s'accordent tontes, à peu près, pour montrer que la figure du profil transversal ne parait pas exercer une influence assez grande pour qu'il y ait lieu d'en tenir compte dans les applications.

Mais les sections circulaires, par suite de la suppression des angles et de la continuité de leur contour, semblent donner lieu, toutes choses égales d'ailleurs, à une résistance sensiblement moindre que celle qui est offerte par des profils anguleux, ce qui justifie Tusage adopté de donner aux dunettes des égouts un profil à peu près circulaire.

Des canaux et des rigoles à petite section. — Lorsqu'il s'agit de petits canaux à grande pente ou de rigoles analogues à celle que l'on emploie pour les irrigations et qui, par la présence des herbes et l'irrégularité de leurs parois, offrent une résistance très-grande, quoique la vitesse ne dépasse guère

un mètre par seconde^ le rapport ^ ne semble plus suivre la même loi que

XX RAPPORT

pour les grands canaux, et de même que M. Darcy Tavait remarqué au sujet des tuyaux de conduite où la vitesse est très-faible, c'est le rapport

~ qui parait devenir constant pour une même pente, mais croissant avec

la pente. Ce cas n'étant pas celui qui importe le plus à Tart de ringénieur, nous ne nous y arrêterons pas dans ce Rapport.

Expériences pratiques sur les rigoles du canal de Bourgogne. — Après avoir discuté les résultatsdes expériences diverses exécutées pour démêler la loi que pouvait suivre la résistance des parois dans différents cas, M. Bazin s'occupe, dans le troisième chapitre de son Mémoire, de chercher à représenter par des formules d'interpolation d'une exactitude suffisante pour la pratique de l'art de l'ingénieur les résultats des nombreuses expériences faites sur les divers canaux ou rigoles dépendant du canal de Bourgogne et qui offraient les diverses natures de parois que l'on rencontre le plus souvent.

Rigole de décharge duréservoir de Grosbois. — Deux séries d'expériences ont été faites sur le mouvement de l'eau dans cette rigole, dont les parois en moellons rejointoyés en ciment ofTrent une surface très-régulière. Elle a l'^.So de largeur au fond et des parois à peu près verticales ayant un fruit de ^. Le fond était recouvert d'un léger dépôt limoneux.

La vitesse a varié de ^",757 à 6*,4a9, ce qui excède probablement les limites atteintes dans toutes les expériences précédentes, et la vitesse de superficie s'est élevée jusqu'à 9",! 6.

Les pentes des parties sur lesquelles on a opéré ont été égales à o",o37 et à o",ioi par mètre.

La représentation graphique des résultats a montré qu'ils pouvaient être représentés avec une exactitude suffisante par les formules d'interpolation suivantes :

(i) Pente de o",o37 par mètre —=z 0,000a 56 4-^^-^ ,

/ X ^ 1 ^. RI o . o,oooo4o

(a) Pente de o^jioi par mètre jj; = 0,000309-1 g — ,

Malgré leur dissemblance apparente, qui dénote l'influence delà pente sur la valeur des coefficients, les deux formules ci-dessus fournissent à trèspeu près les mêmes valeurs du rapport ^.

Les pentes des canaux et des rigoles atteignant rarement o",o37 par mètre et presque jamais o",ioi par mètre, l'on voit que la formule (i)

A l'aCADIÉMIB des sciences. XXI

pourra être employée dans la plupart des cas, où les revêtements seront de même nature que ceux de la rigole dont il est ici question.

Formules pratiqties d'interpolation. — Si la discussion des nombreuses expériences rapportées par M. Bazin montre que la formule binôme

RI = aU + 61?,

adoptée par Prony et par Eytel^ein, non plus qu'aucune formule monôme à coefficient constant indépendant de la nature des parois et de la pente, ne peuvent représenter les résultats de l'observation, la formule

proposée par M. Darcy et appliquée par M. Bazin, quoique plus voisine de l'exactitude, ne peut être d'accord avec l'observation qu'autant que ses coefficients a et ^ recevront pour chaque cas particulier des valeurs spéciales.

Or la nature, l'état des parois, la quantité plus ou moins grande et sans cesse variable d'herbes qui les recouvre, sont autant de causes indépendantes, dont il n'est possible à aucune théorie ni à aucune formule de tenir compte.

Il faut donc de toute nécessité se contenter de réduire le nombre des cas spéciaux à admettre à un petit nombre, qui se rapportent aux circonstances les plus ordinaires de la pratique, et chercher à déduire de l'ensemble des expériences des formules usuelles d'interpolation d'une exactitude suffisante.

Pour y parvenir et pour relier autant que possible les observations antérieures aux nouvelles, M. Bazin fait remarquer d'abord que, d'une part, Dubuat avait opéré sur de petits canaux en bois, et que ce sont ses expériences qui ont servi de base à la formule de Prony, tandis que les hydrauliciens allemands ont expérimenté principalement sur de grands cours d'eau.

Classant ensuite entre eux les canaux selon la nature de leurs parois, il distingue quatre types principaux, auxquels il cherche à rattacher tous les autres; ce sont les suivants :

I® Parois très-unies (ciment lissé, bois raboté avec soin, etc.) ;

n"" Parois unies (pierre de taille, brique, planche, ciment mélangé de sable, etc.);

3^ Parois peu unies, en maçonnerie de moellons ;

4** Parois en terre.

XX1T RAPPORT

Il ne s'occnpe d^aiHeurs que des canaux à sectMHi reetanguhrîre owem trapèze.

De la discussion de tous les résnilafs des expèrieifce^ qmi pev^evt ?ationnellement se rattacher à l'un àes quatre types précëdents, BS. ftizin m déduit les formules pratiques suivantes:

i*type, parois tres-unies — =ro,oooi5 li -| — ^f,

• . • • RI / • ^^^l\

a type, parois unies — = 0,0001911-1 — -g^j^

y type^ patois peu uoies ... » —=0,000^4 I1-) — =—),

4* type» parois ea terre. gi=o,oooa8 (ï + "XV*

Puis, en représentant graphiquement d'abord les lignes droites dont ces formules expriment l'équation, et reportant sur ces figures, en y désignant par des lettres particulières tous les'resultats des expériences anciennes ou nouvelles, selon que, par la nature des canaux où elles ont été faites, elles se rapportent à Tun ou à Taulre de ces quatre types, il ftiit voir que ces résultats de tous les observateurs peuvent être, avec une exadftude suffisante pour la pratique, reproduits par la formule correspondante. Cest ce que justifient tes figures de la PI. XVI du Mémoire de M. Bazin.

Il y a même cela de remarquable que Tune des figures qui semblent reproduire avec le plus d'exactitude les résultats des observations est la ligne droite sur laquelle sont reportés les résultats des expériences smr les canaux ou rivières 5 parois en terre, dues à Ditbuat sur le canri du Jard et sur Fa rivière de Hayne, i Funk sur le Weser, à M. BatungarfeD sur le canal de Marseille, ceux des expériences exécutées sar la Seine, en i85i-i85a,par M. Villevert,sous la direction de M. Poirée, ingénieur des Ponts et CFiaussées, et en i852-i853, par M. Bonnet, soos la direction de M. Emmery , ingénieur des Ponts et Chaussées ; sur la Sa6ne, en i858*i859, sous la direction de M. Léveillé, ingénieur des Ponts et Chaussées, et enfio ceux des six séries spéciales d'expériences exécutées par M. Bazin sur les rigoles de Chazilty et de Grosbois du canal de Bourgogne.

Rapport entre la vitesse moyenne et la vitesse maximum. — Une autre recherche fort importante pour les applications, c'est celle du rapport qui existe dans un courant d'eau entre la vitesse movenne G et la vitesse maxi->

A LACADJUUE J>£S SCIENCES. XXITI

miim V déduite de TobserTation directe faite, le plus souvent, à Faide de llotteuis.

On sait, en eiTet, que <daDs la plupart des cas Ton est réduit pour le jaugeage des cours d'eau à déterminer par ce moyen la vitesse V à la surface et à en conclure à l'aide de la formule empirique donnée parProny,

la vitesse moyenne C que Ton multiplie ensuite par la surface du profil moyen du cours d'eau dans la portion où l'on a opéré.

Or, cette formule empirique n'a élé déduite par Prony que des expériences faites par Dubuat sur de petits canaux en bois et ne saurait évidemment convenir à tous les cas, puisqu'il est maintenant bien démontré, par les études de M. Darcy et de M. Bazin^ que la* résistance des parois, qui a

une grande influence sur la valeur du rapport -, varie beaucoup avec la

nature de ces parois.

H était donc nécessaire d'étudier la marche que ce rapport avait pu suivre dans les nouvelles et nombreuses rechercfbes i9e M. Bazm, et cette question présentait par eTIe-mème des difficultés assez grandes.

En effet, quoique dans les cours dTeau les filets animés -de la vitesse maximum soient généralement 4n^&-près de la soriiBMie, l'on sait copendaat que dans les courants profonds cette vilesse maximum ne se trouve qu'à une dislance de la surface d'autant iplnsgrandcy que la profondeur est plus considérable par rapport à la largeur. Il y a longtemps que les bateliers du Rhin et nos pontonniers savent qu'un bateau char^ ei ajrant un fait tiraat d'eau marche, en descendant, plus vite que l'eau qui le soutient ou que les corps flottants à la surface.

Il suit de là que les observations faites a<vec des flotteurs ne donnent pas toujours la valeur de la vitesse maximum, à moins qu'ils ne soient convenablement immergés.

D^une autre paît, q«»nd, à i'inverse, le -courant n'a <qu'aoe petite pro- Ibndenr, pour peu que le flotteur soit épais, ta pins grande vitesse étant alors très-iprès delà sutface, Il est i>pè&<lif](icile de cootrbler les ândicat ions des flotteurs par ^celles du tube jaugeur, q^i <ue sont ejuctes que quand ce Ittbe est suRkaoïment immergé.

L'on comprend, par ce peu de mots, la difTicuhé du problème d'hydraulique expérimentafle que se proposait d'éttidier M. •Hrn,<etila néceaailé

XXIV RAPPORT

OÙ il s'est trouve de choisir, parmi les séries d'expériences dont il disposait, celles qui étaient le moins exposées aux anofnalies résultant des deux causes principales que nous venons d'indiquer, ainsi que de quelques autres moins importantes.

L'examen général des résultats d'observation lui ayant, dès l'abord,

montré que le rapport — diminuait à mesure que la résistance de la paroi augmentait, il en a conclu qu'il devait exister entre le rapport - et le rap-

RI

port —,, qu'il a désigné par A, une relation de la forme

attendu que ^ doit évidemment être égala l'unité quand f[^^ sera nul.

Parmi les formes que peut prendre la fonction inconnue, la plus simple étant

dans laquelle K serait un coefficient constant, M. Bazin a recherché si eflfectivement cette formule ne serait pas assez d'accord avec les résultats de l'observation pour qu'au moyen d'une valeur déterminée du coefficient K,

le rapport- pût être représenté par la formule

Or, en tirant de cette formule

et en calculant d'après les observations pour lesquelles les valeurs de la vitesse déterminées à l'aide des flotteurs et contrôlées avec le tube jaugeur ont offert le plus de régularité, M. Bazin a trouvé que, si la valeur du coef-

RI

ficient K varie un peu avec celle du rapport rj^, elle ne s'éloigne cependant guère de la valeur moyenne K = i4,i ou plus simplement R = 14^ tant

que rr^ n'excède pas 0,001000, ce qui est le cas le plus général.

A LUCkDÉmE DES SCIENCES. XXV

Il suit de là que le rapport de la vitesse maximum observée près de la surface à la vitesse moyenne U serait donné, entre les limites, des observations les plus régulières, par la formule

d'où l'on peut tirer

V— U= i4kTl.

Celte formule montre que le rapport - delà vitesse près de la surface

à la vitesse moyenne croît proportionnellement à la racine carrée du rayon moyen R, proportionnellement à la racine carrée de la pente I par mètre courant, et en raison inverse de la vitesse moyenne U.

Dans les canaux dont la largeur est très-grande par rapport à la profondeur d'eau, le rayon moyen diffère très-peu de cette profondeur, et

alors le rapport ^ crott proportionnellement à la racine carrée de la profondeur.

Comparaison des résultais de la formule précédente avec les résultats fournis par la formule de Prony et par r expérience. — La question dont il s'agit ici ayant pour les cours d'eau une grande importance, puisque, la plupart du temps, Ton ne peut déterminer que la vitesse à la surface, à l'aide de flotteurs, il était nécessaire de mettre en regard les résultats déduits de l'observation avec ceux de la formule proposée et avec ceux de la formule de Prony. C'est ce qu'a fait avec soin M. Bazin dans un tableau où les vitesses de superficie observées ont varié de o",3i5 à plus de 6",oo en une seconde.

L'examen de ce tableau montre que, si la formule de Prony s'accorde assez bien avec l'observation, lorsque la résistance des parois est peu considérable, comme il était facile de le prévoir, puisqu'elle a été déduite d'expériences faites sur des canaux en bois, il n'en est plus de même à mesure que cette résistance augmente.

Il convient de faire remarquer, avec M. Bazin, que l'erreur que l'on peut commettre en appliquant la formule qu'il propose aux dix-huit ex^

périences où la valeur de rj^ dépasse 0,001000 n'atteint pas en moyenne

o,o3 de la vitesse moyenne U observée dans ces dix*huit expériences,

tandis que celle que peut donner la Formule de Prony s'élève en moyenne à o,t86 de cette vitesse, et que, parfois, elle atteint plus de la moitié de la valeur de la vitesse déduite de l'observation.

Il résulte donc de cette discussion que la relation entre la vitesse maximum observée près de la surface, à l'aide de flotteurs ou d'autres moyens, et la vitesse moyenne, peut être représentée avec l'exactitude nécessaire pour les applications par la formule

V — u = i4i/^m ou u = v— I4^^Sï•

Lorsqu'il s'agit du jaugeage d'un cours d'eau, Ton peut déterminer par l'observation directe les quantités V, R et f, et, par conséquent, la vitesse moyenne U, qu'il suffit ensuite de multiplier par l'aire de la section transversale pour obtenir le débit, sans qu'il soit nécessaire alors de tenir compte de la résistance des parois, dont l'influence est implicitement comprise dans les valeurs qu'ont prises les quantités connues.

En joignant la formule précédente h celles qui ont été données plus haut pour les quatre types auxquels on peut rapporter la plupart des canauxdont on veut étudier le régime ou que l'on veut établir dans des conditions à peu près dooûéea, on pourra résoudre les questions d'application l)ui ae présentent à l'ingénieur^ et l'on aura la certitude d'obtenir des so- Itttionsy sinon rigoureuses^ au moins plus exactes que celles que Ton pouiraU jusqu'ici déduire des règles connues.

▲ l'exemple de Prony, M. Bazin a cru devoir joindre à son Mémoire des Tables destinées à faciliter les calculs relatifs au mouvement uniforme de l'eau daus les canaux.

Les formules d'interpolation auxquelles il est parvenu étant

Ït=:a4.|, d'oùrontireRI=((x + |)u«el U=-y^,

et

n t J>^x tJ

U = V — 14/RI, d'oiiï =

iH-i4

il a calculé pour les quatre types de canaux auxquels il propose de rapporter les différents cas de la pratique :

i® Deux tables faisant connaître pour toutes les valeurs du rayon moyen

A l'agad^ib obs^ sciences. jixvii

R que l'on peut rencontrer dans la pratique les valeurs correspondantes de

flt+|et de|/M^,

a® Deux Tables donnant les valeurs du rapport - de la vitesse moyenne à la vitesse maximum pour les difTérentes valeurs du rayon moyen

R ou du coefficient a 4- ^.

Ces Tables peuvent être utiles, mais les formules sont assez simples et d'un usage assez commode pour qu'elles ne soient pas néceaaairea auiC ingénieurs.

Recherches sur la résistance que Vair exerce sur la surface dun courant. -— L'on a souvent attribué à cette résistance une influence assez considérable pour qu'il soit nécessaire d'en tenir compte» et M. Darcy s'était aussi proposé d'étudier cette question assez délicate, en même temps que la ré« partition des vitesses, soit dans une même section transversale» soit dans une section longitudinale*

Pour y parvenir» il fit faire en 1857 un tuyau rectangulaire auquel il donna o'^ySo de largeur sur o'^^So de liauteur» et plus tard» en 1859, M. Bazin en fit établir un deuxième de o"'»48 de largeur sur o^»3o de hauteur. On détermina d'abord les volumes d'eau débités par ces tuyaux cou* lant à gueule bée sous une pente donnée» puis on enleva leur paroi supé* rieure et l'on y fit de nouveau couler l'eau à surface découverte.

D'autres expériences spéciales ayant montré que» dans l'écoulement fMir les tuyaux pleins les vitesses des filets placés aux mêmes distances verticales au-dessus et aU'-dessous de l'axe des tuyaux étaient égales» il s'ensuivait qu'en supposant le profil du canal partagé en deux moitiés par une ligne horizontale» il s'écoulait par chacune d'elles des volumes égaux« Cela posé, ai, dans le canal découvert de même largeur» l'on faisait» avec la même pente motrice^ couler une nappe fluide d'une épaisseur égale à la moitié de la hauteur du canal fermé» l'influence de la résistance retardatrice que l'air pouvait exercer sur la surface devait se manifester en rendant le voIuom d'eau écoulé dans le canal ouvert inférieur à la moitié de celui qu'avait débité le tuyau plein de même largeur*

Or» deux expériences très-'comparativea » faites dans les conditions qua nous venons d'indiquer, ont donné les résultats suivants :