V-t; = K/Rl(^J

dans laquelle :

y est la vitesse maximum supposée très-voisine de la surfacci

V la vitesse d'un filet situé à la profondeur h^

H la profondeur totale du courant,

K un coefficient constant peu différent de 220«

On tire de cette formule

t; = V-Kk^i(J)*=V— f,/RÎfe%

ce qui montre que la vitesse, à une profondeur donnée h^ crott à mesure que la profondeur totale augmente, mais non d'une quantité constante, ou

que le paramètre de la parabole^ dont l'expression est ^ /Rλ varie avec la

profondeur H, au lieu de rester constant comme le pense un savant ingé* niear qui a proposé une théoriedu mouvement uniformedes eaux courantes.

La formule précédente ne s'applique d'ailleurs qu'à des cas où la vitesse maximum est très-voisine de la surface, ce qui est celui des expériences discutées par M. Bazin.

Elle s'éloigne un peu de celle que M. Boileau a, de son côté, cru pou* voir déduire d'expériences faites aussi sur de faibles profondeurs d'eau, et d'après laquelle la relation géométrique entre les profondeurs et les vitesses des différents filets situés sur une même verticale serait aussi représentée par une courbe à peu près parabolique, dont le sommet correspondant à la plus grande vitesse serait, pour les cas observés par cet officier, à une profondeur voisine du cinquième de celle de l'eaa dans le canal.

H serait, cooime on le voit, à désirer que, profitant de la facilité que donne le tube jaogeor de H. Darcy d'obtenir fa vitesse des filets situés à toutes les profondeurs, M. Bazin, ou quelque autre ingénieur placé danades

circoDStances favorables, pût opérer sur uu grand cours d'eau , tel que le Rhin ou le Rhône, et étendre ces recherches entre des limites assez larges pour qu'il fût possible de démêler la véritable loi de variation des vitesses des filets qui passent dans une même verticale.

Outre Tintérét que cette question présente au point de vue purement scientifique, comme elle conduirait à la connaissance» au moins très-approchée de la vitesse de fond, elle pourrait avoir pour l'art de l'ingénieur une véritable utilité.

Du mouvement varié dans les canaux. — On sait que l'étude du mouvement de Teau dans les courants dont le régime n'est pas uniforme a fait l'objet de recherches importantes dues à M. Poncelet et à M. Bélanger, qu i ont donné une expression analytique de l'abaissement de la surface de l'eau dans ces courants, entre deux profils où la vitesse moyenne est différente. Dans cette expression entrent un coefficient numérique du terme qui contient ces vitesses et les coefficients ordinaires de la résistance des parois, auxquels on suppose des valeurs à peu près égales à celles qu'ils ont dans le cas du r^ime uniforme.

M. Bazin s'est proposé de discuter les résultats de cette formule dans les divers cas que peut présenter le mouvement varié et de les comparera ceux de l'observation.

Dans le cas du ressaut les circonstances de ce mouvement sont le plus souvent si tumultueuses, qu'il est bien difficile d'obtenir des mesures suffisamment précises de la hauteur et de la forme des remous.

La répartition des vitesses dans une même section et la résistance des parois pouvant d'ailleurs ne pas être les mêmes que dans le mouvement uniforme, on conçoit combien il est difficile d'une part à la théorie et de l'autre à Texpérience de démêler et d'établir la véritable loi de semblables pbénomèoes.

Quoi qu'il en soit, cette partie des recherches de M. Bazin, en fournissant de nouveaux éléments d'observation recueillis avec le plus grand soin, ne peut que contribuera jeter du jour sur cette délicate partie de la question du mouvement de l'eau dans les canaux.

En résumé, l'on voit, par l'analyse détaillée que nous avons faite du Mémoire de M. Bazin, que la nature des parois exerce sur la valeur de la résistance qu'elles opposent au mouvement de l'eau une influence qu'il n'est pas permis de négliger, comme Tont fait Prony, Eytelwein et tous les hydrauliciens qui ont donné des règles pratiques à ce sujet, et que cette influence varie tellement d'une paroi à une autre, qu'il n'est pas possible de

XJiXll RAPPORT A lVcAD^MIE DES SCIENCES.

représenler par une même formule tous les cas qui peuvent se présenter dans la pratique.

Plusieurs géomètres onî cherché dansées derniers temps, à Paide d*hypotlièses phis ou moins ingénieuses, à soumettre au calcul ces délicates questions; mais, comme ces hypothèses n'étaient qu'incomplètement conformes aux véritables circonstances du mouvement des liquides, les conséquences auxquelles l'analyse les a conduits ne se sont pas trouvées d'accord avec l'observation, même dans le cas du mouvement uniforme.

La solution de celle imporlante question échappe donc, comme tant d'autres de physique mécanique, ù l'analyse mathématique. L'ingénieur, qui a cependant besoin de règles pour se guider dans les applications, est ainsi forcé de récourir à l'observation et de se contenter des formules empiriques qui en représentent les résultats. Sans doute cette manière de résoudre des questions d'un si grand intérêt n'a pas l'éclat de solutions déduites de théories scientifiques basées sur des considérations plus ou moins ingénieuses, mais trop souvent aussi sur des hypothèses peu conformes aux faits naturels. Les ingénieurs qui, comme M. Darcy, M. Bazin et d'autres, se vouent avec une persévérance poussée jusqu'à la perte de la santé et de la vie, n'en méritent pas moins la reconnaissance des amis de la science.

En poursuivant l'œuvre entamée par M. Darcy et en la complétant par une discussion aussi savante que lucide, M. Bazin n'a pas seulement fait un travail d'une grande valeur pour l'art de l'ingénieur; mû par un pieux souvenir pour la mémoire du chef qui lui avait ouvert la voie, il a largement indiqué la part due à son prédécesseur pour la conception et pour l'organisation générale de ces recherches, mais la sienne n'en reste pas moins très-considérable et ne peut manquer d'être justement appréciée par l'Académie et par le corps distingué auquel il a l'honneur d'appartenir.

En conséquence, vos Commissaires vous proposent d'accorder l'appro* bation de l'Académie au Mémoire de M. Bazin, et d'en ordonner l'impression dans le Recueil des savants étrangers^ ainsi que l'envoi de ce Rapport à M. le Ministre de l'Agriculture, du Commerce et des Travaux publics.

Les conclusions de ce Rapport sont adoptées.

SUR

Lorsqu'on projette subitement une petite masse d'eau sur la surface d'un canal rempli d'eau stagnante, on donne naissance à une onde ou gonflement mobile , qui se meut ensuite dans le canal avec une vitesse à peu près uniforme. J. Russell a publié, en i845, des expériences fort intéressantes sur ce phénomène, auquel il donne le nom abonde de translation.

Les propriétés de celte onde sont très-remarquables; elle ne doit pas être confondue avec les ondes d'oscillation produites par une agitation superficielle du liquide. L'e&haus^ sèment de niveau qui accompagne ces dernières est toujours suivi d'un abaissement à peu près égal, de telle sorte que l'eau oscille autour de son niveau primitif; elles marchent toujours par groupes composés d'un grand nombre

d*oudes qui se suivent; enfin leur action ne s'étend pas a une grande profondeur au-dessous de la surface. Les caractères de Tonde de translation sont tout opposés : elle est tout entière en saillie au-dessus du niveau primitif; elle marche seule (aussi J. Russell la désigne-t-il sous le nom de solitaire) \ le mouvement produit par son passage s'étend à toutes les molécules du liquide depuis la surface jusqu'au fond; elle jouit en outre de la faculté de franchir sans altération sensible de très-longs espaces. Sa vitesse de propagation est i/^(H-+-A)", H étant la profondeur du canal et h la hauteur de l'onde.

Au lieu de donner naissance au phénomène en projetant dans le canal un petit volume d'eau, on pourrait, au contraire, produire à la surface une dépression subite, par exemple en retirant un corps qui y serait plongé. Dans ce cas, la dépression ainsi créée se propage également dans le canal, et l'on obtient une onde à laquelle on peut donner le nom d'onde négative, et dont la vitesse de propagation est y/^(H — A), h étant la profondeur de la dépression mobile au-dessous du niveau primitif.

Toutefois l'analogie n'est pas complète, car elle ne peut franchir d'aussi longs espaces que Tonde positive; elle ne peut en outre exister seule, et se présente toujours suivie d'un groupe d'ondes d'oscillation.

J. Russell n'avait expérimenté qu'en petit. Nous avons reproduit ses expériences en opérant sur une échelle beaucoup plus grande, et nous les avons étendues au cas où Tonde se propage dans un courant. Dans une eau stagnante, Texactitude de la formule s'est parfaitement confirmée. Pour étendre cette formule au cas où la propagation s'opère dans un courant, il suffit d'ajouter ou de retrancher la vitesse moyenne U du courant, c'est-à-dire que Ton a

pour une onde descendant le courant V=y/j(H+A) + U, et pour une onde remontant le courant V=\/j(H+A) — U. Il s'agit ici d'une onde positive; si Ton considère l'onde négative, il suffit de changer le signe de h. Ce résultat, assez probable à priori, n'était pas cependant complètement évident. Il faut se rappeler en effet que les diverses molécules d'un courant ont des vitesses fort différentes. Cette circonstance doit certainement exercer quelque influence sur le phénomène. On remarque, du reste, que l'accord entre la formule et l'expérience n'est plus aussi complet que dans le cas d'une eau en repos, surtout loPisque la propagation a lieu en remontant le courant. L'onde de translation perd alors quçlques-uns de ses caractères; elle y perd notamment l'admirable régularité de forme qu'elle possède dans une eau stagnante; elle n'estplus susceptible de franchir sans altération d'aussi longues distances, et sa hauteur diminue assez rapidement.

La marche d'une onde isolée est donc un phénomène assez bien défini dont les lois se formulent facilement; mais comment peut-on passer de ce cas si simple au phénomène complexe qui se produit lorsque les eaux d'un courant sont refoulées par celles d'un autre courant venant en sens opposé, comme les eaux d'un fleuve le sont par celles de la marée montante.^ On peut y parvenir en considérant successivement plusieurs cas intermédiaires dont l'étude fait, dans le Mémoire suivant, l'objet d'autant de chapitres particuliers.

Premier cas. — Un canal est rempli d'eau en repos : à l'une de ses extrémités on établit un courant permanent; l'arrivée des eaux de ce courant donne naissance à une onde qui s'allonge progressivement en s'avançant sur la surface tranquille du canal.

On peut assimiler l'onde de longueur indéfinie produite

dans ce cas à une succession continue d'ondes isolées. Si l'on désigne par h la hauteur de celle qui précède toutes les autres, la vitesse de propagation sera Y='\/g{ii + h). L'expérience confirme cette prévision , mais elle conduit de plus a un fait inattendu : la hauteur de cette onde initiale n'est pas la même que celle du plan d'eau qui s'établit après son passage; sa forme est en outre très-variable. Si la profondeur du canal est grande et le débit affluent relativement faible, l'onde initiale a une forme arrondie et parfaitement régulière; elle est notablement plus élevée que le plan deau qui la suit; si, au contraire, la profondeur du canal est petite et le débit considérable, l'onde initiale ^st moins élevée que tojites celles qui la suivent et déferle d'une manière continue. 11 semble que, ne pouvant se mouvoir assez rapidement par suite de l'insuffisance de la profondeur, elle soit poussée par les ondes suivantes qui déversent par-dessus. L'apparition du déferlement indique donc que la profondeur du canal n'est plus assez grande pour que le transport du volume d'eau affluent puisse se faire par un simple mécanisme d'ondulation. La vitesse de propagation peut s'exprimer en fonction des données du problème; on a approximativement :

a étant la vitesse qui s'établirait dans le canal s'il débitait le volume affluent, la profondeur restant égale à H (a est par conséquent le débit affluent par seconde divisé par l'aire de la section transversale du canal).

Le déferlement de l'onde initiale se produit dès que a est plus grand que i/ajH.

Second cas. — Un écoulement régulier étant établi dans un canal à faible pente, on le suspend tout à coup par

rinterposition d'un obstacle : les eaux du courant, refoulées par la présence de cet obstacle, s'arrêtent de proche en proche en donnant naissance à un remous qui se propage vers Tamont. C'est l'expérience faîte pour la première fois par Bidone et répétée par M. Darcy sur une plus grande échelle en 18 56.

Au moment où l'on arrête l'écoulement, les eaux du courant s'élèvent contre l'obstacle qu'on leur oppose et le remous se propage ensuite vers l'amont. Après le passage de l'onde initiale, l'eau reste à peu près stagnante. Il semble ^ue les différentes tranches du courant, à mesure qu'elles sont atteintes par le mouvement de propagation du remous, s'élèvent chacune à leur tour jusqu'au niveau du remous pour y rester ensuite dans un état de repos presque complet. La hauteur de l'onde initiale est habituellement un peu plus grande que celle du remous, dont elle forme en quelque sorte la tête; sa hauteur étant désignée par h et la vitesse riioyenne du courant par U, sa vitesse de propagation est Y=^g[li+h) — \]. Cette vitesse V peut encore être représentée par la formule approchée

L'analogie de celle formule avec celle qui a été obtenue dans le cas précédent ejst évidente; elle s'en déduirait en retranchant U du second membre. L'onde initiale déferle

quand U est plus grand que ^v/ajH.

Troisième cas. — L'écoulement étant, comme dans le cas précédent, établi dans un canal à faible pente, on projette dans ce canal les eaux d'un autre courant; un remous se forme immédiatement à la jonction des deux courants et se propage vers l'amont, comme la marée dans la partie maritime d'un fleuve. C'est sur ce dernier cas, beaucoup

plus compliqué que les deux autres, qu ont porté les expériences commencées par M. Darcy en 1867 et reprises plus tard par nous en 1869.

Ce nouveau phénomène participe à la fois des deux précédents. En effet, l'augmentation de volume du remous pendant Vunité de temps peut être supérieure ou inférieure au volume d'eau apporté par le courant primitif. Si elle est inférieure, le remous se constitue à l'aide des eaux mêmes de ce courant qui viennent s'arrêter successivement comme elles feraient devant un obstacle solide. Si, au contraire, elle est supérieure, non-seulement la totalité des eaux du courant primitif se trouve arrêtée dans son écoulement vers l'aval, mais une partie de celles du nouveau courant se précipite avec elles vers l'amont. La vitesse de propagation est encore donnée par la formule fondamentale

ou par la formule approchée

dans laquelle a désigne la vitesse qui s'établirait dans le canal s'il devait débiter le volume des eaux du remous (a est donc égal à l'augmentation du volume du remous par seconde divisée par l'aire de la section transversale du canal). Le déferlement de l'onde initiale se produira si la somme U + a est supérieure à v/a^H.

Les expériences dont nous venons de rapporter sommairement les principaux résultats rendent assez bien compte du mouvement des marées dans un fleuve. L'ascension continue de la marée peut en effet être assimilée à la formation successive d'ondes de translation qui se propagent les unes après les autres, en remontant le fleuve : en raison de l'exhaussement progressif du niveau, ces ondes élémen-

taires s'avancent avec des vitesses de plus en plus grandes : elles tendent donc à se rejoindre et se rejoignent en efEet, ainsi que l'on peut s'en assurer çn répétant l'expérience sur une petite échelle. Cette réunion successive s'opérerait assez lentement dans un canal de profondeur uniforme : mais s'il se rencontre un haut-fond qui relarde le mouvement de propagation, la réunion est très-rapide, et il se forme bientôt une onde de hauteur finie en tête du flot. Dès que cette onde est constituée, elle continue à se propager, poussée par les eaux qui viennent du large, et présente dans sa marche tous les caractères de Tonde de translation. Elle conserve, dans les parties profondes du fleuve, une figure arrondie et une grande vitesse; mais, dès qu'elle trouve un haut-fond, elle déferle d'une manière continue, en produisant alors le mascaret proprement dit. Les rapprochements auxquels conduit l'étude de ce phénomène feront l'objet du chapitre v, dans lequel nous avons fait de fréquents emprunts au mémoire de M. Partiot, sur le mascaret de la Seine, publié en 1861, dans les Annales des ponts et chaussées.