AL
(3) dA = Id5— ^
Telle est, sous une forme Irès-simple, Téquation différentielle de la courbe formée par la surface du courant; pour la rendre intégrable, il faudrait remplacer R, U et A par leurs valeurs en fonction de h. Les valeurs de R et de U sont connues, mais il n*en est pas de même de celle de A; lorsque Ton considère* un courant dont le régime est uniforme, nous avons vu que Ton a,
à fort peu près, A = a+g, a et (3 étant deux constantes; rien
ne nous autorise à supposer que ces deux coefficients a et ^ res* tent les mêmes lorsque le régime du courant n^est plus uniforme; d'ailleurs Tintrodilction de la valeur de A en fonction de R rendrait les calculs compliqués. Nous nous contenterons donc, quant à présent, de rappeler à Taide d^une discussion sommaire les propriétés fondamentales de la courbe représentée par Téquation (3)^
Désignons par H la profondeur du courant dans son état naturel, c'est-à-dire dans Thypothèse où le régime serait partout uniforme en Tabsence de toute cause étrangère tendant à élever ou à abaisser le niveau de Teau. Si l'on donne à h différentes
valeurs, il est facile de voir que le numérateur i — -dt- sera po-
sitif si A>H, nul si A= H, et négatif si A<CI H. Quant au dénominateur, il faut distinguer deux cas suivant que, dans le cou*
rant non modifié , -u 6st plus petit ou plus grand que l'unité.
' Voir pour cette discussion Touvrage de M. Dupuit : Etudes théoriques et pratiques sur le Tnouvement des eaux courantes, i848f chap. m, et celui de M. Bresse, Cours de mécanique appliquée professé à l'Ecole des ponts et chaussées, i86o, pag. 226 et suiv.
Courants 3. SupposoDS d'abord, ce qui arrive ordinairement dans les
dans lesquels lli
aU' cours d'eau naturels -rr <Ci ; si Ton examine successivement le cas
est plus peUt du rcmou de gooflement, où Teau est soulevée au-dessus de la
surface du régime uniforme, et celui du remou d'abaissement, où elle es} au contraire abaissée au-dessous, la courbe présente les caractères suivants :
1** Remou de gonflement, A>H.
La valeur de ^ qui représente Finclinaison de la tangente k la
courbe sur le fond du canal est toujours positive; elle tend à devenir nulle à mesure que h se rapproche de H; la courbe vers Taniont va donc en se rapprochant indéfiniment de la surface naturelle du courant. A mesure que Ton descend au contraire vers
Taval, -^ se rapproche de I, et la courbe tend à devenir horizontale; elle a d'ailleurs une asymptote horizontale, au-dessous de laquelle le niveau du courant ne peut s'abaisser. La forme de cette branche infinie, comprise entre deux asymptotes, rappelle celle d'une hyperbole.
2** Remou d'abaissement, h<cii*
Si^ au lieu de donner à h des valeurs plus grandes que H, on lui donne des valeurs plus petites, on obtient la figure du remou d'abaissement. Vers l'amont, la courbe est encore asymptote à la surface naturelle du courant, mais en descendant vers l'aval, la
valeur de -^, tout en restant négative, va en augmentant, et finit
par devenir infinie pour une certaine valeur h! de h, qui rend
ail*
•-T- égal à l'unité (A' est par hypothèse inférieur à H). La courbe devient donc en ce point perpendiculaire au fond du courant. En faisant encore décroître h au-dessous de cette valeur, j- deviendrait positif et l'on obtiendrait une nouvelle branche remontant vers l'amont; cette branche, qui a une asymptote 'horizontale, n'est qu'un résultat d'analyse dont il est inutile de s'occuper.
â. Supposons maiutenant -^ plus grand que Tunité, la valeur h' de h qui rend -g- infini est dans ce cas supérieure à H.
1^ Bemou de gonflement, A;>>H.
Si Ton donne à h des valeurs supérieures à h\ ^converge, à mesure que h augmente, vers la limite L Si Ton lait au contraire h<C.h', -j- change de signe, et Ton obtient une nouvelle
branche de courbe retournant vers l'aval, qu'il est inutile de considérer.
La courbe du remou de gonflement ne se prolonge donc pas vers Tamont, et s'arrête brusquement en formant un ressaut à la surface du courant; vers Ta val elle se rapproche indéfiniment d'une asymptote horizontale.
2® Remou d'abaissement, A<::H.
La tangente T- devient positive, ce qui sera le plus souvent
contradictoire avec la nature même d'un remou d'abaissement, où la profondeur devrait aller en diminuant vers l'aval. Le calcul n'indique donc plus rien , ce qui donne lieu de penser que si l'on abaisse par une cause quelconque la surface de l'eau en un point donné, le raccordement avec la surface d'amont se fera par une chute brusque, sans que la dépression puisse se prolonger en amont.
5. Les caractères de la courbe du remou peuvent donc être résumés ainsi qu'il suit :
i ® Canaux dans lesquels -jr <C i •
Remou de gonflement.
Courbe convexe vers le fond, asymptote vers l'amont à la surface naturelle du courant, vers l'aval à une ligne horizontale.
Remou d'abaissement.
Courbe concave vers le fond , asymptote vers l'amont à la surface naturelle du courant, se terminant vers l'aval par une chute perpendiculaire au fond du canal.
aU*
2^ Courants dans lesquels — r
CouranU dans Icsquel.s
est plus grand
que riinitc*.
Conditions
nécessaires
pour
ia production
du ressaut.
Reroou de gonflement.
Courbe concave vers le fond, asymptote vers lavai à une ligne horizontale, se terminant vers Tamont par un ressaut brusque perpendiculaire au fond du canal.
Remou d'abaissement.
Ce remou n existe plus : le raccordement de la surface abaissée en un point du canal avec la surface d'amont s'opère par une chute brusque.
6. On voit que les cours d'eau peuvent se partager en deux classes pour lesquelles les phénomènes de remou s'opèrent d'une
a II*
manière tout à fait différente , suivant que — r- est plus petit ou
plus grand que l'unité. Cherchons à interpréter cette condition. On a, en désignant par / la largeur du canal :
A ~"(/4-afc)A
La relation
gh
1 devient,
d'où l'on tire,
I>— j — aA
On peut supposer, pour simplifier, le cours d^eau assez large
pour que "^^ ne diffère pas sensiblement de l'unité; on peut
faire en outre a=i. Ces simplifications n'ont d'autre effet que de modifier un peu la limite de pente cherchée , sans changer la signification du résultat; l'inégalité précédente devient donc,
Lorsqu'elle sera satisfaite, le remou de gonflement s'opérera par un ressaut, et le remou d'abaissement cessera de se produire.
Dans rhypothèse d'un canal très-large, le rayon moyen R ne différant pas de la profondeur h, on a :
k désignant le rapport -,. Substituant cette valeur de A dans Tinégalité précédente , il vient,
Cette condition ne sera satisfaite par aucune des valeurs de A , si la pente I est inférieure à g cl\ c'est-à-dire que dans ce cas il n'y aura jamais ressaut. Si au contraire I est plus grand que goil^ il faudra, pour que le ressaut devienne possible, que Ton ait :
Appliquons ce calcul aux quatre catégories de parois, pour lesquelles nous avons déterminé des formules spéciales (chap. iv, II* partie). Nous avons :
i" CATiGoniB. — Parois très-unies (ciilicnt iissé , bois raboté avec
soin, elc.) a'=o,oooi5 Ar=o,o3
a* Catégorib. — Parois unies (pierre de taille,
brique, plancne, etc.) «'=0,00019 A:=o,07
3* Catégorie. — Parois peu unies en maçonnerie de moellons a'=o,oooa Ar=o,25
4* Catégorie. — Parois en terre «'«=0,00028 ^= i,a5
En introduisant ces données dans les formules (4) et (ô), on obtient pour chaque nature de paroi les conditions nécessaires à la production du ressaut ; savoir :
l"" PAROIS TRÈS-UNIES (ciMENT, ETC.)
Si la pente est inférieure à 0,00 lAy^ le ressaut ne peut avoir lieu.
Sur une pente de o,ooa , le ressaut est possible dès que la profondeur dépasse o",o8
o,oo3 , idem o ,o3
o,oo4 , idem o ,oa
a* PAROIS UNIES (PIEABE DE TAILLE, BRIQUE, ETC.).
Si ia pente est inférieure à 0,00186, le ressaut ne peut avoir lieu.
Sur une pente de o,oo3 , le ressaut est possible dès que la profondeur dépasse o", 1 a
CODA , idem o ,06
o,oo6, idem , o ,o3
Si la pente est inférieure à 0,00a 35, le ressaut ne peut avoir lieu.
Sur une pente de o,oo4 « le ressaut est possible dès que la profondeur dépasse o"',36
0,006 , idem 0,16
0,010, idem. : o ,08
