CHAPITRE II
DE LA SUITE MÉDIANE ET DES SUITES CONSTANTES QUI TENDENT A SE FORMER DANS LES SUITES DIATOMIQUES.
A cause de la symétrie des suites diatomiques, si, au lieu de partir de zéro pour former une période d'une suite diatomique, on part de on formera la moitié d'une période en allant jusqu'à juï*„. Désignons par a le nombre — > et considérons la suite des nombres naturels
il est clair, d'abord, que tous les termes de la forme
seront effacés comme nombres pairs, puisque a est impair; maintenant, si l'on efface (en partant de a) de trois en trois, de cinq en cinq, de sept en sept,..., de P„ en P„, il est clair qu'en prenant n assez grand, on effacera tous les termes de la suite précédente (jusqu'à un terme choisi arbitrairement), excepté les termes de la forme a ± 2". On voit donc qu'il tend à se former, au milieu des suites diatomiques, une suite constante que nous appellerons suite médiane, et qui n'est autre que la succession des puissances de 2 diminuées d'une unité. On voit, de plus, que la suite médiane s'étend au delà de toute limite. Les termes milieux des suites diatomiques tendent donc vers un état définitif, les puissances de 2 diminuées d'une unité. Ils présentent le tableau suivant :
Kn particulier, on remarquera que le terme milieu est toujours 3.
On peut se proposer, étant donnée une suite diatomique, de déterminer le nombre des termes de la suite médiane qui appartiennent à cette suite diatomique. Cette question parait très-difficile ; toutefois, on peut aisément
avoir une limite inférieure du nombre cherché. En effet, ce nombre sera au moins égal à deux fois le nombre des puissances de 2 inférieures à P„ augmenté d'une unité.
Prenons maintenant ïp, ^-"» ou, en général, P A étant au plus
égal à P„, et voyons quels seront les termes des suites diatomiques correspondants aux nombres situés autour de Hp» "^>-- » Désignons ~par a; il y a deux cas particuliers à distinguer:
1°. a ± 1 5=0 (mod. P 4 ) ;
alors les termes diatomiques situés autour de a présentent les tableaux suivants ( pourvu qu'on prenne P n assez grand ) :
... PJ-Pjf-i, P'-P,-,, P„ P, a ,
P* — P* — 1 » P* — P* — ' > • • pour a — 1 = o, et
P* — P* — 1 > P* — P* — 1 , • • • pour a + i = o.
2 0 . a n'est congru ni avec -+- 1 ni avec — 1 ; alors on a le tableau suivant, qui ne diffère des précédents que par les termes du milieu :
.. P* 3 -P* s -i, rç-P,-', P*-*, P.- ^
P* — Pa — 1 » P* — P * — 1 , . • . •
Dans le cas de ^ = a, comme a — 1 ou a ■+- 1 est l'un ou l'autre congru avec 3, les deux premières valeurs des suites constantes se présenteront seules; pour P* étant supérieur à 3, il pourra se présenter les deux cas signalés plus haut.
Considérons maintenant le nombre ^ ; nous trouverons qu'à partir de
— ÎO
ce terme, il se forme à droite et à gauche une suite qui n'est pas symétrique et dont le terme milieu est 5. Désignons ^ par b et prenons la suite des nombres naturels
tous les nombres de la forme
seront effacés comme nombres pairs. Maintenant il y a deux hypothèses à faire :
i°. b — i = o (mod. 3).
Dans ce cas, en effaçant de trois en trois à partir de b — i , puis de cinq en cinq, de sept en sept,. . . , de P„ en P„ à partir de b, on voit que, dans la portion de droite, tous les nombres seront effacés, excepté ceux de la forme
ou de la forme
et, dans la portion de gauche, il n'y aura de conservés que les nombres de la forme
b —a 1 »- ou b — a*.3 ? .
En sorte que les termes de la suite considérée sont, pour la partie droite, a-. 3* u- . V — i , ou a-. 3 ? — a 1 " — i, ou a'" — a' . 3 * — i , et, pour la partie gauche,
ou
On peut réunir ces différentes formes dans utie seule Ibrinule, sauf à la discuter dans les deux cas où l'on prendrait la portion de droite ou la portion
de gauche de la série ; cette formule est
a". 3<»{=b a* - 'qp i) — i .
Si l'on se donne « et p, a' et |9' sont détermines. Supposons d'abord que fj ne soit pas nul; alors, si la valeur de /3' n'est pas nulle non plus, le terme trouvé pour la portion de droite se trouvera aussi dans la portion de gauche de la série. Admettons encore que fi > o; alors, si fi' — o, la formule pour représenter un terme de droite devra être telle que
et, pour un terme de gauche,
Knfin, si fi = o, pour un terme de droite, on aura
et, pour un terme de gauche,
« = -xk -+- i .
,3 et fs' ne peuvent être nuls à la fois; quant aux exposants * et aucun d'eux ne peut être nul.
a". (A + i) = o (mod. 3).
11 est aisé de voir, dans ce cas, que la partie gauche devient la partie droite, et vice versa; c'est là le seul changement qui ait lieu.
uP
La suite qip<se forme autour de ^ ne change pas indéfiniment avec P„;
comme la suite médiane, elle tend vers un état constant, seulement elle peut changer de sens, c'est-à-dire que les termes qui se trouvaient à gauche
de ^ peuvent se trouver à droite de ^> et vite versa; ainsi la suite
est constante par rapport à la valeur des termes, et elle n'admet que deux états en considérant leur disposition. Dans tous les cas, l'inspection seule uP
de la forme de par rapport à 3, suffira pour marquer si l'on a un de ces états ou l'autre.
Nous nous sommes un peu étendu sur cet exemple pour donner une idée de ces sortes de considérations.
Ce qu'on a dit pour ^ peut se répéter pour , et l'on arrive à des
conclusions analogues que notre cadre ne nous permet pas de développer ; nous reviendrons là-dessus dans la seconde partie de cet ouvrage, où nous examinerons plus généralement ce qui se passe autour d'un nombre
t> j^p'^ — > par rapport aux termes diatomiques.
Il nous a suffi d'indiquer l'existence de ces suites constantes qui tendent à se former dans les suites diatomiques et nous permettent de trouver des groupes de termes connus, sans qu'il soit besoin de former les suites diatomiques elles-mêmes.
