CHAPITRE I

DE DEUX FORMES SIMPLES SOUS LESQUELLES ON PEUT METTRE LES PRODUITS F OU P.

Désignons le produit de tous les nombres jusqu'à un nombre donné r par F ( r); on aura

F(.r) = r(xH-i),

r ayant la signification qu'on lui donne dans la théorie des fonctions eulériennes. Ce produit peut s'exprimer en fonction seulement des nombres premiers qui y entrent; on a donc nécessairement

Quant aux exposants, il est aisé de voir qu'on a

+ (fW#) -

»=(SWs)-U)

les quantités entre parenthèses ne désignent pas des quotients exacts, mais les parties entières des divisions par défaut. F (x) est donc un produit dont tous les facteurs sont de la forme

g recevant toutes les valeurs 1 , 2, 3, 4,- • • jusqu'à ce qu'on arrive à Pf > .»•. On aura donc l'égalité

(.) F(*) = nP t v

P A désignant un nombre premier quelconque jusqu'à P„ qui, par hypothèse, est le plus grand nombre premier inférieur à x.

\j& démonstration de ce théorème presque évident se trouve dans Legendre ( '/fiéorie des nombres).

Après avoir donné ce théorème, qui pourra nous être utile dans la suite, nous allons nous proposer d'exprimer les fonctions « au moyen des fonctions F.

On a vu, en effet, dans le livre I er , que les fonctions a jouaient un grand rôle dans la théorie des suites diatomiques; d'autre part, elles ont été jusqu'à ce jour peu étudiées, tandis que les fonctions F sont bien connues des géomètres. Il parait donc très-important de transformer les unes dans les autres.

( )r il serait peut-être difficile d'exprimer immédiatement u en fonction de K, c'est pourquoi nous commencerons par l'inverse. On va voir qu'on y arrive aisément.

Rt d'abord, la chose est possible, car un nombre premier quelconque entre dans F (.r) au moins autant de fois qu'un nombre premier inférieur ; F \.r) est donc de la forme

u (r) désignant le produit de tous les nombres premiers consécutifs just]u a celui qui est immédiatement inférieur à la partie entière de v.

Voyons maintenant la forme de

(Considérons un nombre premier quelconque l\; si l'on a

alors on voit que

entrera comme facteur dans le second membre; mais P A , et par suite u, entrera encore un plus grand nombre de fois si l'on a

l\<-r% I\<r\..., P,<.r>, P A >.r>-, ii ii

On voit que le second facteur sera alors composé comme il suit :

ou, en abrégeant les notations,

Nous pouvons encore écrire ce produit sous la forme suivante, c'est celle qui va nous servir :

nu(.r)Viu(fy.ii A *(|y.nu(^)'... ;

donc

(,) F( J -) = n,«(^) ff .n^(fy.n l «(fy.riM(fy--

Nous n'insisterons pas davantage sur la démonstration de ce théorème, que M. Bertrand a mis, d'ailleurs, dans la seconde édition de son Arithmétique, sans toutefois en indiquer la source.

Nous appellerons la fonction

un produit élémentaire de i ordre f ; désignant le produit de tous

les nombres premiers consécutifs jusqu'à celui qui est immédiatement infé-

rieur à la partie entière de ^ y . Ainsi nous voyons que la formule ta)

permet d'exprimer un produit élémentaire au moyen de F et de produits élémentaires inférieurs. En appliquant à ces derniers la formule (a ) et continuant ainsi, on finira nécessairement par se débarrasser des produits élémentaires dans le second membre, et l'on obtient! ra

en exprimant par<p F une fonction où il n'entre que des produits F.