CHAPITRE I

(Wirbelbewegungen. — Wirbelfâden. — Rotational motion. — Vortex motion, etc.). Gauchy. — Stokes. — Von Helmholtz. — Sir W. Thomson. — Kirchhoff. — J.-C. Maxwell.

Lamb. — Lord Ravleigh. — Beltrami.

1. Propriétés analytiques. — Les trois projections w, r, w d'une grandeur dirigée y, finies et continues, ainsi que leurs dérivées premières, dans toute une région de l'espace, jouissent de certaines propriétés générales indépendantes de la i * nature de la quantité représentée.

J T l/l* /m, Green. — Soit cp une fonction à détermination unique, finie, et continue ainsi

frirt*4\ que ses dérivées premières à l'intérieur d'une surface fermée S; on a

Les intégrales triples sont étendues à tout le volume; l'intégrale double à toute la surface fermée S ; /, m, n sont les cosinus directeurs de la normale extérieure à la surface S.

Si les fonctions w, p, w changent brusquement de valeur sans cesser d'être finies en traversant une certaine surface S, il faut concevoir la surface S comme formée de deux parties S 4 , S 2 , situées de part et d'autre de S et complétées respectivement par des surfaces S,, S 2 , infiniment voisines de S l'une d'un côté, l'autre de l'autre. Excluant des intégrales triples la couche mince comprise entre les surfaces 2,, £ 2 , on est conduit à ajouter au second membre l'intégrale double

où X, [A, v définissent la direction de la normale qui traverse la surface du côté 1 au côté 2.

Stokes. — Une courbe fermée simple s limite une aire S qui n'isole aucune portion de l'espace. On a

l'intégrale simple est étendue à la courbe fermée, l'intégrale double à l'aire fimitée par cette courbe. La direction positive de la normale à la surface S est liée au sens de parcours de la courbe fermée s, comme la force magnétique au sens d'un courant électrique, par la règle d'Ampère. L'énoncé général de cette proposition semble dû à Stokes (i8^ja), bien que des cas particuliers aient été fréquemment employés auparavant, notamment par Ampère dans toute la théorie de l'Électrodynamique.

Lorsque la courbe fermée s traverse une surface de discontinuité S de «, v, tv, il faut la compléter par deux lignes parallèles <rf,o- 3 situées dans la surface S de part et d'autre de l'intersection o* de S avec 2. Excluant de l'intégrale double la bande comprise entre les lignes o-|, o* 2 , on doit ajouter à l'intégrale simple le terme

-+- m[v(w 1 — Uj) — X(«- f — w*j)] -+- m[X(^j — v t ) — |i(wj— u t )] ! da.

Transformations. — On peut remplacer les trois fonctions u, v, w par trois autres d'une signification plus simple. Deux de ces transformations qui servent dans toute la Physique mathématique ont été employées pour la première fois, l'une par Stokes (1849), l'autre par Clebsch (CVe//e, t. LVI, 1 858) en Hydrodynamique.

Transformation de Stokes-Helmholtz :

ÔP e)N dx dy

~dz~ y

dP dL dy dz

dN dx

dP dM

~" dz dx

dL dy 9

et l'on peut assujettir les trois fonctions L, M, N à une condition. On choisit ordinairement la relation- * , 1

dx dy dz '

Transformation de Clebsch ( * ) :

dx dx dx dx T dx

avec les deux analogues.

(') Cette transformation n'est qu'an cas particulier d'une transformation étudiée par M. Hill, en 1881, au Quarterly Journal 0/ Mathematics.

M. BRILLOUIN.

Les propriétés générales de ces deux transformations sont exposées méthodiquement dans la Tkeorica délie Forze newtoniane de E. Betti, p. 3o{-3i3.

Parmi les neuf quantités qui définissent les variations de «, c , w en passant d'un point à un point voisin, certaines sont susceptibles d'expressions simples :

ft du dv dw kn 4/ . ls . , , . / d* d* d* \

, dw àt> 4 f / d\ *b d\ àù \

dy dz \dz dy dy dz ]

i • i du dw dv du .

avec les expressions analogues pour -r — > -y- — — - > que nous représentons par

2r M ïÇ. La direction £, 7j, Ç est tangente aux deux familles de surfaces \ fy.

Pour la brièveté du langage, je regarderai dès à présent u, p, tv comme représentant la vitesse actuelle du fluide en un point (#, JK, z), suivant la notation d'Euler. Si Ton connaît ces trois fonctions des coordonnées et du temps, on aura la position initiale «r , y t z o de ^ a niasse liquide qui occupe actuellement la position (#,.)', s), en intégrant le système d'équations différentielles ordinaires du premier ordre

dx dv dz

avec les conditions x = x , y =jKoj s = s pour t = o.

2. Pour une masse liquide dont la forme actuelle est celle d'un cube, à côtés parallèles aux axes coordonnés, —> — > -r- représentent les vitesses de dilatation

linéaire des côtés, 6 la vitesse de dilatation cubique, ^ h Â~ y '" ^ es vitesses de

glissement relatif des faces parallèles, et £, y n Ç les vitesses de rotation du cube autour de parallèles aux axes passant par son centre de gravité. On peut démontrer facilement (*) que les quantités Ç, tj, Ç sont les vitesses de rotation que prendrait tout élément de volume à moments d'inertie égaux s'il était instantanément solidifié; ce sont aussi les vitesses de rotation moyennes de cet élément, définies conformément au principe des aires, autour de parallèles aux axes, passant par son centre de gravité.

La vitesse de rotation <*>, dont les composantes sont Ç, 7j, Ç, a donc une signification physique très nette; quand elle est nulle, «, p, w sont les dérivées en x, y, z d'une même fonction qu'on appelle le potentiel des vitesses. La vitesse de

(') Stokes, Math, and phys. Papers, t. I, p. 8o, 112; i8^5. — Helmholtz, Abh., t. I, p. 104.

rotation Ç, 7), Ç satisfait toujours identiquement à la condition solénoïdale

ùx dy dz

Cette condition introduite dans la formule de Green, où Ton fait

montre que la somme des produits de l'élément de surface par la composante normale de la vitesse de rotation est nulle pour toute surface fermée. Pour une aire limitée à une courbe fermée, la somme de ces produits est donc indépendante de la forme de la surface; elle ne dépend que delà courbe contour, et sa valeur est, d'après le théorème de Stokes, égale à la moitié de l'intégrale curviligne

,= /( w £ + ^-*"' v ë) rf * =a // w <' s '

que nous appellerons, avec Sir W. Thomson, circulation le long de la courbe fermée.

Appelons ligne-tourbillon une ligne qui a pour tangente en chaque point la vitesse de rotation w relative à ce point; il ne passe en général qu'une lignetourbillon par chaque point de l'espace . La surface engendrée par une lignetourbillon qui se déplace le long d'une courbe fermée est un tube-tourbillon clos latéralement, ouvert seulement aux deux bouts. La composante de la vitesse de rotation normale à la surface latérale est nulle par définition; la circulation dans un circuit fermé tracé sur le tube, en rencontrant une fois et une seule chacune des génératrices, est donc la même, en quelque point du tube qu'on transporte ce circuit. Nous appellerons intensité du tube cette valeur commune de la circulation. De là résulte qu'un tube ne peut pas se terminer au milieu du fluide; il se jerme sur lui-même en forme d y anneau, ou bien s'étend jusqu'à la paroi ou jusque aux surfaces sur lesquelles w, v, w cessent d'être continues et d'avoir des dérivées. Dans ce cas encore on peut concevoir que le tube se ferme dans la surface même (n° 3; n° 6).

Ainsi la partie de l'espace dans laquelle existent des rotations doit être conçue comme divisée en anneaux-tourbillons fermés, d'intensité uniforme dans toute leur longueur. C'est la première partie de la proposition importante établie pour la première fois'parM.H. von Helmholtzdansle cas des fluides incompressibles (i858). La démonstration suppose uniquement la continuité de u, v, w, mais non celle de £, 7;, Ç; si la rotation est discontinue, le tube présente au point correspondant un angle fini.

3. Surfaces de discontinuité. — La quantité u, v, w peut avoir des valeurs différentes u i} P|, w K , t/ 2 , t>2, tv a , de part et d'autre de certaines surfaces particulières

6 M. BRILLOUIN. 3

2. La direction X, jjl, v de la normale à la surface S traverse celle-ci du côté i au côté 2. La discontinuité est définie par trois quantités u 2 — u Ky v 2 — f», w 2 — Wi, auxquelles on peut en substituer trois autres analogues aux dilatations et aux rotations et qui permettent de conserver les énoncés généraux déduits des formules de Green et de Stokes,

2 H = v (wj — Ui) — ^(w 4 — Wj), aZ =X(v, —V! ) — fx(a 2 — w,),

soumises à la relation

XS -+- jiH -h vZ = o,

qui exprime que la direction S, H, Z est tangente à la surface S; elle est en outre perpendiculaire à l'accroissement fini u 2 — u if v 2 — t^, w 2 — W\, de w, v, w (Helmholtz, i858).

Dans l'interprétation hydrodynamique, on regarde ordinairement la densité superficielle de la matière comme constamment nulle; alors 6 est nul.

Il n'en serait pas nécessairement ainsi en Électrostatique, ou même en Hydrodynamique à la surface de séparation de deux liquides différents. Mais la considération de ces différences nous entraînerait trop loin de notre sujet.

Les quantités E, H, Z sont de même nature que les produits des quantités £, r n Ç par une longueur. Le produit d'un élément de longueur pris dans la surface S par la composante de SHZ normale à cet élément est une intensité.

Les courbes de la surface 2 tangentes en chaque point à S, H, Z sont des lignes-tourbillons; l'espace compris entre deux lignes-tourbillons est un fuseautourbillon; la surface 2 elle-même une couche de tourbillons. Mais l'intensité d'un fuseau-tourbillon n'est pas nécessairement constante dans toute sa longueur. Soient I|, I 2 les intensités des tubes-tourbillons qui découpent sur la surface 2 une longueur finie d'un fuseau-tourbillon, et 8J l'accroissement de l'intensité du fuseau -tourbillon parcouru dans le sens positif; traçons des sections quelconques des tubes-tourbillons i, 2, de part et d'autre de la surface 2. L'intensité totale qui sort du volume ainsi limité est nulle, par le théorème de Stokes ; on a donc

SJ-t-I,— 1 1 = .

Les tubes-tourbillons se ferment tous, en partie par une continuation du tube de Vautre côté de la surface 2, en partie par un fuseau situé sur cette surface. Pourtant, si les deux valeurs de la vitesse de rotation normale

. làw dç\ (au àw\ /dv du\

sont partout égales de part et d'autre, les fuseaux forment un système superficiel fermé ou indéfini, à intensité uniforme, complètement indépendant des tubes; et ceux-ci traversent la surface sans variation d'intensité. Enfin, si d'un côté de la surface il n'y a pas de rotation, tous les tubes de l'autre côté se ferment par les fuseaux superficiels.

Ce dernier cas se présente en particulier lorsque tout le fluide contenu à l'intérieur de la surface de discontinuité se meut comme un solide indéformable; les vitesses superficielles du fluide intérieur sont alors identiques aux vitesses que prendrait la surface d'un solide de même forme, dans son mouvement d'ensemble. M. Beltrami a traité en détail (1874) le cas où la surface de discontinuité appartient au système des surfaces homofocales du second ordre.

4. Si Von connaît les vitesses de rotation £,?),£ et la vitesse de dilatation cubique 8 à l'intérieur d'une surface fermée, ainsi que la composante normale de la vitesse de translation lu -f- mv -f- nw sur la surface limite, les trois fonctions w, v, w sont entièrement déterminées dans tout l'intérieur. En effet, il ne peut y avoir deux solutions différentes 1 , 2 . Indifférence des vitesses u K — w a , ... a un potentiel V,(£i — $2 = 0, ...), qui satisfait à AV=o, (8| — 8 2 = o), dans tout

l'intérieur, et àr- = o, sur la surface, (lu K -\-mv s -\-nw h — lu 2 — mv 2 — nw 2 = o).

On sait, par le théorème de Green, que ce potentiel V est constant, et la différence des vitesses nulle, si la région considérée est simple.

Si la région est multiple d'ordre n + i, il faut connaître en outre les valeurs des n constantes cycliques (Thomson, 1869). Une région est multiple lorsque certains circuits fermés ne peuvent pas être réduits à un point sans sortir de la région. La circulation sur un de ces circuits peut avoir une valeur différente de zéro, malgré l'existence d'un potentiel des vitesses; mais, pour tous les circuits réductibles les uns aux autres, la circulation est la même. S'il existe n circuits irréductibles distincts, la région est multiple d'ordre n -f- 1; les n valeurs distinctes de la circulation s'appellent les n constantes cycliques. Tel est un volume sphérique contenant un nombre quelconque de solides pleins, et des solides percés d'un ou plusieurs trous, comme des anneaux, des grillages, etc., de telle sorte que le nombre des trous distincts soit h. L'extérieur d'un cylindre indéfini, l'extérieur ou l'intérieur d'un tore sont des espaces multiples du deuxième ordre.

Quand les constantes cycliques sont données, la différence des deux solutions a un potentiel uniforme, puisque la circulation est alors nulle dans tous les circuits; le théorème de Green (') montre que les deux solutions sont identiques.

ôx oy àz On '

8 M. BRILLOUIN. 4

Il en est de même s'il y a des surfaces de discontinuité, pourvu que Ton connaisse le long de ces surfaces la différence des valeurs w 2 — u { , v 2 — v 4 , w 2 — w 4 .

Espace infini. — Les fonctions P, L, M, N peuvent être mises sous forme d'intégrales quand aucune paroi située à distance finie ne limite l'espace (Stores, i849? On the dynamical theory of diffraction, Sect. I) :

Jff\dxdydM i [fjfUxdydz

Les intégrales triples sont étendues à tout l'espace; les intégrales doubles aux surfaces de discontinuité. Stokes n'avait pas tenu compte de ces dernières. On suppose que £, 7), Ç, 8, S, H, Z, S n'ont de valeurs finies qu'à distance finie; à l'infini, u> v, w sont nuls; Ç, y\ 7 Ç, S, H, Z doivent d'ailleurs satisfaire aux conditions n° 3.

Analogie électromagnétique. — On peut regarder la vitesse en un point comme la résultante de vitesses dues aux dilatations cubiques et aux rotations to dans tout l'espace ; chaque élément de volume dV contribue ainsi pour sa part à la production de la vitesse en un point quelconque. La part due à la dilatation

est identique à la force magnétique duc à une distribution de densité — — ; ce qui

provient de la vitesse de rotation to est identique à la force électromagnétique produite, suivant la loi de Laplace, par une distribution de courants électriques

— , — y —(M. La loi erénérale de distribution de ces forces magnétiques est si

familière au physicien, il est si facile de réaliser le spectre magnétique de courants distribués comme on veut, que cette ingénieuse remarque d'Helmholtz fournit sans calcul l'explication de bien des phénomènes.

Espace limité simple. — La condition à la paroi n'est pas satisfaite par les valeurs de P, L, M, N écrites plus haut ; il faut les compléter. Malheureusement on ne sait pas, jusqu'à présent, le faire au moyen de la seule donnée nécessaire, la

(*) Il est facile de s'en assurer en réunissant sous le même signe d'intégration les termes tels que

dh M âS dW <M

dx ày dz dy dz

Dans la région occupée par les courants, cette force électromagnétique, comme on sait, n'a pas de potentiel ; mais, dans l'espace extérieur aux courants, elle en a un, 9, qui permet de remplacer

-— par -3—» Ce potentiel 9 est en général multiple, tandis que le potentiel P est simple.

ày oz ox

vitesse normale. M. Bollzmann (1 87 1) a fourni à ce sujet quelques indications que je vais reproduire en les généralisant. Supposons que l'on connaisse les trois composantes de la vitesse sur la surface limite; ce sont des données surabondantes, on ne saurait donc les prendre au hasard. Remplaçons la surface limite par une surface de discontinuité et la matière située au delà par le fluide lui-même indéfiniment étendu.

Premier cas. — La paroi entière est rigide et immobile. — On peut supposer le fluide extérieur complètement immobile. Les termes complémentaires sont, en faisant u 2 , v 2 , w a nuls,

eds », 1 r rzds

P' est nul dans les applications hydrodynamiques.

Deuxième cas. — La paroi extérieure est rigide et immobile. Les parois internes sont mobiles comme des corps solides. — Les termes complémentaires ont la même forme; u 2} v 2 , w 2 sont nuls en dehors de la surface externe; dans les corps solides, u 29 v 2y w 2 sont les vitesses superficielles elles-mêmes de ces corps.

Troisième cas. — Les parois internes sont mobiles et déformables ; elles enferment un volume constant. — On peut se donner arbitrairement les vitesses internes satisfaisant à la condition d'incompressibilité et fournissant les valeurs de la vitesse normale de la paroi; on en déduit les rotations internes Ç 2 , r l2 , ^2» et les rotations superficielles S, H, Z; les termes complémentaires comprennent des intégrales superficielles et des intégrales en volume; le terme complémentaire P' est nul. Tel est le plan adopté par M. Boltzmann.

Quatrième cas. — Le volume enfermé par les parois internes varie d'une manière connue. La paroi externe est déformable. — La méthode générale consiste à ajouter aux rotations et dilatations connues dans une certaine région des rotations et dilatations étendues à tout le reste de l'espace, en partie arbitraires, mais satisfaisant aux conditions relatives à la paroi, de manière à retomber sur le cas de Stokes. On peut se donner les valeurs u, t>, w au dehors d'une manière entièrement arbitraire, pourvu qu'on tienne compte des surfaces de discontinuité dans les termes complémentaires. Parmi les conditions qu'on pourrait s'imposer, se trouvent l'uniformité de la dilatation cubique, qui facilite en général le calcul du terme complémentaire P 7 , l'égalité des vitesses normales aux parois qui supprime dans P' l'intégrale superficielle. On pourrait même ajouter que les vitesses aient un potentiel, ce qui achèverait de déterminer le problème, sans le rendre plus facile.