TO M. BRILL0UI3. Ô

o. Equations du mouvement d'un corps continu. — Le fluide continu que nous allons étudier dans ces deux premiers Chapitres est supposé absolument dépourvu de diflusibilité. Si à un instant quelconque on trace dans le fluide une surface fermée, la partie du fluide qui est située d'un côté de cette surface ne se mélangera jamais avec le reste ; les parties du fluide qui forment la surface ne cesseront jamais de former une même surface continue qui se meut et se déforme avec le fluide. En particulier, on peut diviser le volume entier en éléments qui enferment toujours les mêmes parties du fluide malgré les changements de grandeur et de forme qu'ils éprouvent, et qui se meuvent comme des points matériels. Clausius a montré dans sa théorie cinétique des gaz comment la diflusibilité a pour conséquences la conductibilité calorifique, et le frottement interne; il en est de même dans le cas des liquides, mais nous réserverons cette question pour un Chapitre ultérieur. Suivant les notations d'Euler, nous appelons m, t>, w les vitesses

actuelles du point matériel qui passe en x, y, z, et jr- la dérivée par rapport au

temps d'une fonction relative à la masse mobile et non au point x,y, z de l'espace. On sait qu'on a symboliquement

Dt dt dx dy dz

Les équations du mouvement d'un fluide parfait sont

i dp Du

p àx Dt

et les deux symétriques; p est la pression normale, p la densité et X, Y, Z la force extérieure qui agit sur l'unité de masse. On doit y joindre l'équation de conservation de la matière

Enfin il faut exprimer les propriétés physiques du fluide que l'on étudie. Les cas les plus simples sont ceux où, par suite des conditions particulières du problème, on peut regarder la pression comme une fonction de la densité; c'est ce qui arrive lorsque la température du fluide est uniforme dans toute son étendue, ou encore lorsque aucun échange de chaleur ne se produit entre les éléments de volume contigus. Ces conditions ne sont jamais remplies qu'approximativement, et, lorsqu'on veut serrer de plus près la réalité, on rencontre des difficultés considérables; au lieu d'une relation finie unique entre la pression et la densité, on doit écrire plusieurs équations différentielles comprenant la température et faisant intervenir la conductibilité calorifique. Helmholtz et Kirchhoff ont abordé sous cette forme quelques problèmes d'acoustique. Bjerkness a particulièrement

étudié le moyen de conserver une équation finie unique, lorsque les mouvements sont périodiques (Acta mathematica, 1884).

Dans un corps quelconque, susceptible de grandes déformations et d'écoulement sans rupture, les forces élastiques ne sont pas nécessairement normales; on doit

remplacer dans les équations d'Euler les termes, tels que — -p» par les groupes de