HT AT

termes -^-i -h -r-î -+- ■— -> suivant les notations de Lamé. Reste la difficulté physique

de découvrir les relations de compressibilité, de dilatation et de frottement qui lient les pressions normales et tangentielles à la déformation et à la vitesse de déformation, ainsi que les relations calorimétriques correspondantes. Lorsque l'état d'équilibre ne dépend que des pressions normales, on a admis que les actions tangentielles et les excès des actions normales sur leur moyenne ne dépendent que de la vitesse de déformation et non de la déformation elle-même : c'est ce qui arrive pour tous les corps gazeux, ou franchement liquides; l'expérience a même montré que, dans des limites fort étendues, ces actions sont proportionnelles aux vitesses de déformation. On a alors

Mais il n'en est plus de même pour les cires, les résines liquéfiées, les solides mous sous les pressions employées par M. Tresca. Les oscillations de flexion et de torsion de fils métalliques fins révèlent déjà des actions de ce genre, dont les lois élémentaires sont encore inconnues malgré de nombreuses expériences. La suite de cet article fera comprendre sur un sujet beaucoup plus simple le genre de difficultés que l'on rencontre, même pour les fluides parfaits, dès que l'amplitude du mouvement exige l'emploi des équations différentielles complètes (Chap. II).

Les forces extérieures X, Y, Z ont généralement un potentiel V; une seule exception importante se présente, quand le liquide est parcouru par des courants électriques.

Enfin il faudrait écrire les équations à la surface : elles comprennent une équation cinématique, exprimant la conservation de la vitesse normale à travers la surface, et une équation statique, exprimant que la différence des pressions pi,pi y de part et d'autre de la surface, est égale au produit de la tension superficielle A par la courbure moyenne c. On néglige généralement l'influence de la tension superficielle quand la courbure de la surface de contact est un peu grande (').

(*) Cette manière d'écrire les équations suppose essentiellement qu'il n'y a pas de variation rapide de densité au voisinage de la surface; les équations générales seraient une équation de conservation de la matière avec accroissement de la densité superficielle, comme en électricité statique, et trois

12 M. BRILLOUIX. 6

6. Permanence des tubes-tourbillons. — Considérons d'abord un fluide sans frottement, soumis à des forces extérieures douées d'un potentiel à valeur unique en chaque point, dont la pression est une fonction déterminée de la densité. Une combinaison facile des équations d'Euler donne

en tenant compte de la relation

V(udx) Da .

— ^=; = -rr — OX -h UCtU,

Dt Dt '

l'intégration est étendue à une portion finie de courbe, mobile avec le fluide ( 4 ) (Thomson, 1869). La fonction entre parenthèses est uniforme, et le second membre s'annule quand la courbe est fermée. Ainsi la circulation dans une courbe fermée mobile avec le liquide ne change pas avec le temps. Il en est de même de l'intensité du tube-tourbillon dont cette courbe est la directrice.

Dans un espace où les vitesses u, p, \v sont continues, un anneau-tourbillon est toujours formé de la même matière et doué d'une intensité invariable.

La première démonstration de cette propriété pour les liquides est due à Helmholtz(i858). Dans ses Leçons de Physique mathématique (1877), KirchhoiFa déduit le même résultat de la marche même au moyen de laquelle Cauchy avait établi, pour la première fois, rigoureusement, le principe de la conservation du potentiel des vitesses dû à Lagrange. La méthode d'Helmholtz peut être facilement étendue à tous les fluides (Nanson, 1 885). On montre que la vitesse de dilatation linéaire dans la direction de la vitesse de rotation £, r h Ç est proportionnelle à la

vitesse d'accroissement du rapport — de la vitesse de rotation à la densité; ce qui

équivaut à la conservation de l'intensité, si l'on tient compte de la conservation de la masse dans un élément de tube-tourbillon.

équations dynamiques de mouvement de cette couche superficielle sous l'influence des forces qui la sollicitent. La force normale à la surface est/> f — />,-*- cA; les forces tangentielles sont les variations

de la tension superficielle -7- 1 -p » liées aux variations de la densité superficielle par une équation de

compressibilité à demander à l'expérience; les vitesses à introduire dans cette équation dynamique paraissent être les demi-sommes des vitesses du liquide et de la paroi en contact.

(') Tant que u, v, w sont continues, une courbe mobile avec le fluide ne peut pas se rompre; un tube, une surface fermée enferment toujours la même matière; il résulte du Mémoire de M. Hill (1881) que, pour un système quelconque de tubes mobiles avec le liquide, il existe une quantité constante le long du tube, et qui se conserve dans le mouvement, jouant ainsi un rôle analogue à celui de l'intensité.

7 CHAPITRE I. — TOURBILLONS DANS LES FLUIDES PARFAITS. l3

Cas où il y a des surfaces de discontinuité S. — Les trois démonstrations montrent que toute la partie du tube-tourbillon qui reste d'un même côté de la surface de discontinuité conserve son intensité. Deux tubes-tourbillons qui découpaient le même élément dS cessent aussitôt de se correspondre : on ne peut même plus les supposer réunis par un fuseau-tourbillon pris sur la surface ; car la direction de leur déplacement relatif (w 2 — w 4 , v 2 — ^o &2 — «N ) est précisément orthogonale à la direction du fuseau E, H, Z. On doit donc renoncer à la conception de tubes-tourbillons qui se ferment à travers la surface de discontinuité, et regarder deux tubes-tourbillons, situés de part et d'autre de cette surface, comme entièrement indépendants; il convient de distinguer, sur la surface 2, deux couches situées l'une du côté (i), l'autre du côté (2), se mouvant l'une avec la vitesse w,, ^,, w,, l'autre avec la vitesse u 2i v*y «^, et fermant respectivement les tubes-tourbillons correspondants.

Un tube-tourbillon qui aboutit à une surface de discontinuité mobile avec lç fluide reste toujours composé des mêmes masses ( ' ).

7. Exceptions dues aux forces extérieures. — La conservation de l'intensité des tubes-tourbillons est en défaut si les forces extérieures n'ont pas de potentiel ou si ce potentiel n'est pas uniforme. Cela se produira si Le liquide tout entier est sillonné de courants électriques permanents ou variables, soumis à leurs actions mutuelles et placés dans un champ magnétique. Soient a, [3, y les composantes de ces courants, a, 6, clés composantes de la force magnétique totale; on a

pX = &y — C P> pY = ca — ay, pZ = a{J — 6a, et il faut, au lieu de V A — V B , mettre dans le second membre de l'équation (1)

cette intégrale n'est pas nulle, en général, pour un circuit fermé, comme on

(*) Si la surface de discontinuité se déplace par rapport au fluide, les tubes-tourbillons qui y aboutissent ne restent pas formés des mêmes masses fluides : ils peuvent se fermer et devenir libres; des anneaux peuvent au contraire rencontrer la surface, s'y ouvrir et s'y détruire; pour la matière d'un tube qui passe d'un côlé à l'autre de la surface de discontinuité, l'intensité change de valeur. Mais ce cas est ordinairement exclu : la masse de fluide qui traverse la surface doit y subir un changement fini de vitesse tangcntielle, ce qui exige l'action d'une force tangentielle finie par unité de surface, que la capillarité ne peut produire; il existe pourtant des actions physiques capables de produire de pareilles forces : le frottement superficiel, les actions électrostatiques sur une couche superficielle d'électricité non en équilibre, les actions magnétiques sur une couche mince des courants électriques. Ces cas exceptés, une surface de discontinuité sépare deux masses de fluides à jamais distinctes.

l/| M. BRILLOUIN. 7

s'en assure facilement sur un exemple simple. Donc, dans un fluide parcouru par des courants électriques :

i° La circulation n'est pas invariable dans un circuit fermé qui se meut avec le fluide. Il en est de même de l'intensité relative à une portion de surface limitée. Elle peut croître indéfiniment si le mouvement maintient la même disposition géométrique des lignes-tourbillons par rapport aux lignes de force magnétique et aux courants.

2° Un tube-tourbillon ne se meut pas avec le fluide, il n'est pas lié indéfiniment à la matière dont il est formé à une certaine époque.

Chacun sait en effet comment on produit la rotation électromagnétique des liquides dans des expériences classiques. Comme ce mode de génération du mouvement rotatoire n'a pas été jusqu'ici utilisé pour l'étude même des tourbillons, je n'en parlerai pas davantage.

Je ne parle pas non plus d'un corps doué de magnétisme permanent; la réalité physique semble appartenir non à la masse magnétique, mais au moment magnétique; l'existence du magnétisme permanent n'est possible que dans un corps dont les réactions élastiques pourraient donner sur un élément de volume un couple proportionnel au volume. Aucune des théories actuelles de l'élasticité ne s'applique à ces corps ; les transformer ici m'entraînerait trop loin; d'ailleurs une aimantation permanente semble incompatible avec l'état fluide parfait.

Exceptions dues aux réactions élastiques. — Pour un fluide élastique quelconque, le terme / — est remplacé par

J A |\ dx dy dz / as \ àx dy àz / as \ àx dy dz ) ds J p '

où l'on doit tenir compte des lois de compressibilité. Cette intégrale s'annule pour un contour fermé quelconque, lorsque la quantité intégrée est différentielle exacte ; cela n'arrive que pour certaines lois de mouvement particulières à chaque nature de fluide élastique. Pour les fluides parfaits eux-mêmes, il faut que la pression soit une fonction de la densité seule, ce qui est loin d'être le cas général.

Il est assez difficile de se rendre compte sans calcul de la nécessité de ces diverses conditions. Dans un fluide parfait, les pressions produisent sur un élément de volume une poussée normale aux surfaces d'égale densité. Dans un corps ordinaire, les réactions élastiques N, T produisent aussi sur un élément de volume une résultante unique, mais dont la direction n'est pas liée aux surfaces d'égale densité. Là semble être toute la différence; pourtant, en y regardant de près, on reconnaît que, dans un fluide parfait, la résultante des pressions est toujours ap-

7 CHAPITRE I. — TOCRBILLOiNS DANS LES FLUIDES PARFAITS. U

pliquée rigoureusement au centre de gravité du fluide contenu dans l'élément de volume tout comme la force extérieure, et l'inertie de la matière. Au contraire, dans un corps à forces tangentielles, la résultante des actions élastiques ne passe qu'approximativement par le centre de gravité de l'élément; pour l'y transporter, il faut ajouter un couple de l'ordre du produit de la résultante par le carré des dimensions linéaires de l'élément, et qui dépend des dérivées secondes des N et des T. Pour un cube ce couple ne s'annule que si trois relations entre ces dérivées secondes sont satisfaites : ce sont précisément celles qui expriment que l'intégrale (2) est indépendante de la ligne d'intégration. Quand il n'est pas nul ce couple est du cinquième ordre, c'est-à-dire de l'ordre du moment d'inertie de l'élément de volume : il peut donc imprimer à cet élément une accélération angulaire finie, et par suite altérer son mouvement de rotation autour du centre de gravité ( 1 ).

Ces considérations me paraissent indiquer dans quelle direction il convient de chercher la raison élémentaire de la remarquable propriété des fluides parfaits découverte par Helmholtz.

Le mouvement qui prend naissance à partir du repos dans un fluide sans frottement est doué d'un potentiel des vitesses, sous les conditions énoncées plus haut. Il en est de même pour un fluide naturel, au moins au début du mouvement; mais, si le mouvement se prolonge, le frottement interne, quelque faible qu'il soit, donne naissance à des vitesses de rotation qui croissent avec le temps. Celles-ci peuvent donc avoir une valeur finie dans le mouvement permanent d'un fluide, même assez dépourvu de viscosité pour qu'on puisse entièrement négliger les termes qui en dépendent dans les équations différentielles. C'est ce qu'on verra plus nettement au Chapitre II.

(') Désignons par A, B, G, D, E, F les six composantes du moment d'inertie géométrique d'un petit volume quelconque, c'est-à-dire les intégrales de x' f y 7 , z',yz f zx t xy. Appelons (Â) x , (/ r , \ les vitesses de dilatation linéaire, de glissement et de rotation, et A x , r x , 1 des quantités formées au

moyen des forces élastiques par unité de volume -— ! -+- ■— - ■+- -r^> • • • > • • • » comme (£) x , (J xJ \ le

sont en u, v, w. Le moment de la quantité de mouvement d'un petit volume autour de l'axe Ox est le produit de p par l'expression

(B + OÉ-F^-EÇ-hD ((D.- (£) ) + (B - C) Ç,+ Fff,- E</ e ,

et le moment des forces élastiques a la même expression en fonction de A, T, 1. Cela est d'ailleurs évident si l'on se souvient que l'équilibre de translation d'un élément de volume assure l'équilibre complet d'un volume fini quelconque. Dans le cas particulier du cube (A = B = C;D = E = F = o), les équations des moments donnent séparément les variations de la vitesse de rotation Ç, t„ Ç d'Helmholtz. Les conditions 5L = H = Z = o, qui expriment que la circulation est constante, expriment aussi que la vitesse de rotation d'un élément de volume symétriq.ue est invariable avec le temps.

iG H. BRILLOUIN. 8

Problèmes particuliers.

8. L'analogie électromagnétique (n° 4, p. 8) permet d'étudier facilement quelques cas importants du mouvement tourbillonnaire dans un liquide indéfini. A un moment quelconque l'intensité et la forme des tourbillons déterminent entièrement la distribution des vitesses a, e, w : la vitesse est en chaque point égale à la force électromagnétique que. produiraient des courants électriques ayant même intensité et même forme que les tourbillons. Pour se rendre compte de la direction de la force électromagnétique en un point du courant lui-même, il faut considérer la force électrodynamique que l'élément de courant subirait par les lois d'Ampère, et en déduire la force électromagnétique correspondante. Ayant ainsi déterminé la vitesse de translation d'un élément du tourbillon, il devient facile de reconnaître comment se meut le tourbillon dans son ensemble, s'il subit des déformations périodiques ou constamment croissantes.

i° Mouvement plan. — Un tube-tourbillon rectiligne, de section invariable, d'intensité I, produit autour de lui un mouvement circulaire; chaque cylindre de

rayon r tourne avec une vitesse angulaire -; le filet reste immobile.

Un nombre quelconque de tubes parallèles se déforme et se déplace, de manière que le centre de gravi té des intensités reste immobile (Helmholtz, i858;^4fcA.,I,i25). Rirchhoff a montré l'existence d'autres intégrales du mouvement (Vorles., 2D9). J'examinerai seulement ici le cas de deux tubes parallèles.

Deux tubes parallèles conservent une- distance invariable d\ chacun d'eux communique à l'autre une vitesse perpendiculaire au plan commun et égale à

., — ->: ils tournent avec la vitesse angulaire — -jr- autour du centre de gravité

de leurs intensités en décrivant des cercles égaux ou inégaux suivant que les intensités sont égales ou différentes. Le centre de gravité immobile est entre les deux tubes s'ils sont de même signe ; il est en dehors du côté du plus intense, s'ils sont de signes contraires. Deux tubes égaux et de signes contraires ont un mouvement de translation uniforme perpendiculaire à leur plan. Le mouvement qu'ils produisent dans le plan médian est tangent à ce plan, qu'on peut supposer solide. Un tube, situé à une distance d d'un plan fixe, se meut donc avec

une vitesse - — -% parallèlement à ce plan, comme s'il roulait en sens inverse de sa rotation. Un tourbillon compris entre deux parois planes qui font un angle -

décrit une spirale de Cotes rsinnQ = a. Un tourbillon voisin d'un cylindre circulaire tourne tout autour sans s'en écarter, comme on le voit facilement par la méthode des images.

8 CilMIU I. — TOrKULLOSS BA5S LES fUTIUES rMfcFJjrTS. |~

L n assez grand nombre dTaulres exemples de mouvements plans* dans le wisinage de parois cylindriques, ont été traites par les géomètres anglais : Basset* Coales. Ferrers» Greenhill,. Hiil. Hicks. dans le Quartertv JomrnnK le Messcmger* les Proceedings of tke roral Society of London. et les /Voeeet/tiijrï ofthe Matkematical Society.

a* Mouvement dans /'espace. — Un tourbillon annulaire, plan et circulaire, se propage sans changement de diamètre dans l'espace indéfini. La vitesse constante normale à son plan dépend de son intensité, de son diamètre et des dimensions transversales du tube annulaire.

Deux anneaux circulaires égaux parallèles et de rotations inverses ne produisent pas de vitesse perpendiculaire au plan de symétrie; leur mouvement nVsl pas changé si ce plan est remplacé par une paroi rigide. A la vitesse de propagation propre de chaque anneau, il faut ajouter la vitesse due à Fautre. Celle-ci se compose d'une vitesse de translation généralement inférieure à la vitesse propre des anneaux et de sens contraire; et d'une vitesse d'accroissement ou de diminution du diamètre, suivant que les anneaux se rapprochent ou s'éloignent. Au total Panneau grandit indéGniment en se rapprochant du plan de symétrie; son mouvement de translation se ralentit si la rotation est inverse, il s'accélère et diminue progressivement de diamètre en s'éloignant du plan de symétrie. Comme ces deux mouvements correspondent à des rotations inverses, il ne saurait être question de réflexion de l'anneau contre le plan; il doit s'en approcher sans jamais l'atteindre. •

On peut analyser de même le mouvement de deux anneaux de même axe, mais inégaux en diamètre et en intensité. Considérons deux anneaux de même signe et peu différents. Pris isolément, ils auraient des vitesses de translation égales pour certaines valeurs de leurs diamètres. Mais les actions mutuelles accélèrent de plus en plus le mouvement de celui qui est en arrière, B, en le rétrécissant ; au contraire, elles dilatent le premier, A, dont la vitesse diminue jusqu'à devenir égale, puis inférieure à celle de B, si bien que l'anneau B traverse l'anneau A et passe devant. Désormais les rôles sont renversés, l'anneau B se dilate et se ralentit, l'anneau A se rétrécit et s'accélère et le même jeu se reproduit indéfiniment entre les deux anneaux qui passent tour à tour l'un dans l'autre sans se quitter jamais (Helmholtz, i858). J.-J. Thomson, qui a étudié à fond celte question (i883)> a précisé les conditions de ce mouvement, et les relations qui existent entre ses éléments. Considérons deux tores circulaires, engendrés parla révolution de deux circonférences concentriques autour du même axe, et animés de la même vitesse de translation le long de cet axe. Chacun des anneaux décrit la surface de l'un des tores. Le cône variable qui les réunit passe toujours par la circonférence axiale commune. Les intensités des deux anneaux sont sensiblement en raison inverse du diamètre de la