III. Propriétés générales de ces Taéles

12, La série V^V, Va V3 , etc,, est formée des résultats que donnerait un dénombremeht exact. Si

l’on ajoute tous les termes, la somme V exprime combien il y a d’habitans de tout âge.

Si l’on omet le premier terme V„, la somme exprime combien il y a d’babitans dont l’âge surpasse un an. En général, si, à partir d’un terme quelconque, que nous désignerons par V,,, on ajoute à ce même terme tous ceux qui sont écrits au dessous de lui, la somme exprime combien il y a de vivans dont l’âge surpasse le nombre d’années désigné par Vj,.

Si l’on veut connaître combien il y a de vivans dont l’âge est compris entre deux limites données;, par exemple, combien il y en a dont l’âge est plus grand que quatre ans, et moindre que neuf ans, on ajoutera ensemble les nombres Y5 V, Vg; la somme exprimera le nombre cherché.

i 3 . On pourrait aussi déterminer quel est l’âge vntermédiaireBi, tel qu’il se trouve autant d’hommes qui ont un âge moindre que B, qu’il y en a dont l’âge surpasse B; pour cela, il faudrait ajouter successivement les nombres V„ Y, V, V3 V^, etc., jusqu’à ce que la somme fût égale ou presque égale à la moitié de la somme totale F, qui exprime le nombre des hahitans.

14. Nous avons prtsl’intervalled’un an pourla différence des âges inscrits dans la table ; mais il peut être nécessaire de diviser cet intervalle, et de faire varier les limites des âges de trois mois seulement

OU clNin mois. On doit surtout exiger ce degré de précision pour les premiers âges de la ’vie; car la loi de mortalité indique ators un dérroissement très-rapide; en général ^ les tables sont d'autant plus parfaites que T ntc^rvalle des limites est plus pet il 5 tous les autres élémens demeurant les mêmes.

i 5 . On voit, par ce qui précède, qu'en formant, au moyen des registres de décès, la loi de mormlité exprimée par la suite M,. M, M;t, etc-, et conuaissrtnt le nombre IV des naissances annuelles, on parvi(‘nd] ait a connaître les nojirbres V. V., V-, tels que les donnerait un dénombrement effectif de tous les liabitans. Il faut toujours reinarquer que celte conclusion suppose que la population est devenue stationnaire.

i6* 11 suit de cettte même supp sition que la

somme -|- Mj +, etc. , équivaut au

nombre N des naissances: car celle somme (Exprime le nomtre total des décès qui ont lieu dans le cours d'une année, et ce nombre est nécessairement le même que celui des naissances annuelles, puisqui la popnlaîion ne change pas. Cela résulte aussi (ic's cquadons (:a) rapportéesdans larUcle (6) comme on le voit en ajouiaiit ensemble toutes ces équations; en effet, prenant la somme des premiers mcmbiYs pour la comparer à la somme des seconds ineuibrts , on trouve, après avoir fait toutes les réductions, M„+M, + M.-hMa + M^, etc. ^ N.

17. tes nombres M„ M, M, M ; etc. sont donnés, comme nous lavons dit, par le régistre an-

miel des déc^'S* Pour les connaître, il faut: faire Ténumération exacte de tous les décès ont eu

lieu pendant le cours d'une seule année , par exemple en 1800, et chercher quelle aurait été à la fin de celte année iSoo, IVlge de chacun des décédés ^ s’il eut prolongé sa vie jusqu à ce terme* Cela étant , est le nombre de ceux dont râge, à la fin de rannée, aurait été conij>ris entre o et 1 an; M, est le nombre de ceux dont lage aurait été compris entre 1 an et 2 ans, ainsi de suite* Il ne faut donc point confondre M, avec le nombre de ceux dont Tage compté au jour du décès est compris entre o et 1, ni prendre M, pour le nombre de ceux dont Tage compté au jour du décès est compris entre 1 et 2, Il est nécessaire que les âges soient^^tous rapportés a un terme fixe, et Ton peut choisir pour cela la fin de lannée pendant laquelle tous les décès ont eu lieu* On forme plus facilement encore les nombres M, etc.

en comptant tous les décès qui ont eu lieu dans une année, par exemple en 1800, et marquant pour chaque décédé Tépoque de sa naissance* est le nombre de ceux qui sont nés an 1800 et morts en 1800^ M. est le nombre de ceux qui sont nés en 1799 et morts en 1800 ; est le nombre de ceux qui sont nés en 179^ morts en 1800 , ainsi de suite pour tous les nombres.

18. Wons avons vu que Ton pourrait suppléer au dénombrement eflfectif des habitans en observant les naissances et les décès annuels, et queréci-

proiiuenient la loi de iiiortalUé se déduit de l’état général des habitans de tout âge.

Cette relation entre les deux suites N V„ V, V, V, etc., et M„ M, M, M3, etc. provient de ce que la première qui forme la seconde colonne de la table, représente également les nombres des vivans de tout âge , et les valeurs successives auxquelles se trouve réduit an commencement de chaque année le nombre I\ des eufans qui sont nés dans le cours d’une année entière. Mais on ne doit pas perdre de vue que cette conséquence est entièrement fondée* sur les deux conditions suivantes i j®. que la populalion est parvenue dans toutes ses parties à un état invariable; 2". que l’on regarde comme nul ou très-peu scjisible l’effet de l’arrivée des étrangers ou de la sortie des natifs.

19. Le résultat qu’il nous importé le plus de connaître dans le suj* t que nous traitons, est celui que représente la série V., V. V, V, V4 etc , c’est-à-dire le décroissement progressif du nombre des hommes nés dans la même année. On exposera avec plus de détail dans d’autres articles les conséquences relatives à ce fait principal. On se borne ici à citer mie série de ce genre due à M. Deparcieux qui l’a déduite dos états d’emprunt publics viagers en France; il ne s’agit donc que d’une classe spéciale d’hommes, mais nous citons cet exemple pour donner une idée plus fixe de l'usage des tables. Cette série est d’ailleurs fondée sur des pièces authentiques et subsistantes.

Celte table fait connaître que de mille personnes dont Tâge compté au commencement d^tine année était compris entre 3 ans et 4 ans ^ il en est resté g'jo au commencement de Tannée suivante, 948 un an après, etc. etc,, en sorte que ce nombre 1000 s'^est trouvéréduit aucoinmencement des aniiée&siii vantes aux valeurs respectives 970 ^ g48,93o, gi5, etc*

Les trois premiers nombres qui précèdent mille ne sont point donnés par les mêmes documens. On les a déduits d'observations analogues afin de compléter la série.

En générai, la lot de la mortalité dans les premiers âges -mi-dessous de cinq ans est plus variable et plus incertaine que celle qui règle le cours moyen de la vie. On peut étendre cette remarque aux derniers âges, en sorte que les résultats des tables qui concernent la première enfance et la longévilé, sont moins exactement connus.

On suppose communément^ dans la formation des tables, que les individus dont le nombre est marqué dans la secon le colonne sont nés le même jour. On se représente, par exemple, que toutes les naissances comptées pendant le cours d'une seule année , dans le pays dont on énumère la population, ont eu lieu en un jour placé à égale distance du commencement et de la fin de cette année; et Ton suppose encore que tous les décès de Tannée ont eu lieu à la fin de ce même jour : on conçoit donc que tous les changemens survenus dans la population s’accomplissent en un

jour, au milieu de chaque année. Cette tioi) rend la forme des tables pl is distincte simple; mais elle est hypothétique; et, dans

laines questions, il est nécessaire de recourir aux principes plus généraux que nous avons exposés jusqu’ici,

2 1. Si Ion admet que toutes les naissances et tous les décès de l’année ont eu lieu le meme jour, au milieu de cette année, la table fait connaître avec précision les âges de tous les vivans :en effet, il naît au milieu de chaque année un nombre N d’enfans des deux sexes, qui se trouve au commencement de l’année suivante,, vient successivement V„ V. V, V., ctc/^

nienceiiienl de chacune des années iii.^ __

somme V„+ V, + V,+ V,+ \^+, efc.S^tSÎTir nombres de la table exprime la popiil^

V, est le nombre de ceux dont Yàge^ compris entre o et i an, ouplus exact dont 1 âge est exprimé par-^; est le nombre de ceux dont 1 âge est i V, est le nombre de ceux dont lage^est 2 -f, ainsi du reste* Ces nombres expriment la distribution constante de la population selon les âges.

Si fou ven l déterminer combien il se trouve d’horn-

mes dont l âge surpasse un certain nombre entier dannées, par exemple i 3 ans, il faut ajouter tous les nombres de la seconde colonne de la table depuis V,^; cest-a-direj comprendre dans cette somme et tous les nombres placés au-dessous;

ainsi désignant par le nombre cherché » on a réquation/^^3 —Y^3-hV,4-H V.s-i-: V,G-f-etc.

Si Ton cherche combien il y a d'habitans dont Tage est compris entre deux limites données, par exemple ceux dont Tâge est plus grand que 4 moindre qtie 9 , il faut ajouter les cinq nombres

Pour connaître 1 âge inteTmédiaive B de toutes les personnes comprises dans la table, c*est-à'dire un âge tel qu'il y ait à peu-près autant de personnes d’un âge plus grand que B, quil y en a dont 1 âge est moindre que B, il faut ajouter successivement tous les nombres Y^^4, etc,,

jusqu’à cc qu'on arrive à une somme presque égale à la moitié du nombre total des vivans. Soit h rintJice du nombre y, auquel on sVst arrêté, en sorte qu ayant ajouté 011 a trouvé une somme plus grande que i/^,et qu'en n'ajoutant point ce nombre Vb , on trouve une somme moindre que , on pourra prendre h pour la valeur approchée de 1 âge intermédiaire,

2 3, On connaît aussi, au moyen de la table, combien J dans le cours d'une année, il meurt d’hommes d'un âge donné. On voit, par exemple, que sur 1000 enfans de 3 ans à 4 ans, il en meurt 3o dans 1 an, et que sur 880 enfans de 10 à 11 ans* il en meurt seulement 8 dans 1 au.

C’est par des calculs semblables qu’on estime la mortalité de chaque âge; et la règle générale qu'il faut suivre pour ccla^ consiste à prendre la

différence de deux nombres consécutifs de la table ; par exemple, celle de 58 1 à 571', qui est 10, et à comparer cette différence au nombre 581; on en conclut que, sur un certain nombre d’hommes qui ont tous 5 o ans accomplis, il en meurt, dans le cours d’une année, la 58 "*. partie environ. Plus la différence des deux nombres consécutifs est grande, plus il meurt d’hommes dé l’âge indiqué; mais ce n’est point la valeur absolue de cette différence qui exprime la loi de mortalité à 1 âge dont il s’agit, cest le rapport de cette différence au nombre d'hommes dont elle est rotranchéé.

23 . On déduit encore de ces tables la connaissance de la durée moyenne de la vie. Pour se former une idée exacte de cette quantité, il faut concevoir que 1 on a sous lés yeux un état des actes de décès d nn très-grand nombre de personnes, et que l’on y trouve l’indication de l’âge qu’avait chaque décédé le jour de son décès. On ajoute ensemble tons ces âges, et 1 on divise la sorôme A par

le nombre M des décédés. Le quotient —est la

valeur moyenne de la durée de la vie; c’est le nombre d’années que chacun aurait eu en partage, si la durée de la vie eût été la même pour tous.

Si les observations dont on fait usage ont été recueillies pendant plusieurs années, si elles se rapportent a un très-grand nombre de personnes des deux sexes, de tout âge et de diverses proies-

sions, le quotient ainsi ticterminé exprimera la durée nioyeiinc qui convient au lieu où tes personnes ont passé le cours de leur vie.

24 - En supposant que la table (C), (art. 19) se rapporte à une certaine classe de personnes pour laquelle on veut connaîlie la durée moyenne delà vie, il sera facile de calcnler cette valeur avec une approximation suffisante. En effet, lorsqu’on énumère tous les décès qui ont eu lieu pendant le cours d’une année , on trouve que le nombre total des décès est MH-AE+M +M.-f-, etc., et que ce nombre se divise comme il suit : sont nés dans

la première année ( par exemple en 1 800 ) et morts en 1800, M, sont nés en 1-99 et raorls en 1800, M, sont nés en 1 798 et morts en 1800; ainsi de suite pour tous les autres nombres.

Puisque l’on conçoitqueles naissances elles décès ont lieu en un jour, au milieu de chaque année, il s’ensuit que les décédés, dont le nombre est AI,, avaient précisément 1 an accompli lorsqu’ils sont morts; que les décédés dont le nombre est avaient 2 ans, que les d( cédés dont le nombre est M,à voient 5 ans, ainsi tie suite. Quant aux décédés dont le nombre est désigné par AI„, puisqa’on admet qu’ils sont morts le jour même de la naissance, au milieu de la première année 1800, 011 regarde comme nul l’âge qu’ils avaient au moment de leur décès, en sorte que l’âge coi respondaut à Al. est o, comme l’âge correspondant à AI, est 1.

On connaît maintenant le nombre des décédés et

les âges qu’ils avaient le jour du décès ; on calculera donc la somme totale A de ces âges , et on la divisera par le nombre total M des décès ; le quotient sera la durée moyenne de la vie. Ainsi il faut multipl.er chacun des nombres tel que Mj, par l’âge correspondant h , ajouter tous les produits, et diviser la somme par M.-hM.-hiK-hMj, etc.

25 . l e premier de ces produits, celui de M. par l’âge correspondant, est nid , comme ou vient de le voir; il suffit donc d’ajouter les produits i M, 2 M, 3 M34M4, ainsi de suite, et de diviser la somme de ces produits par la somme de tous les nombres M„ M M, M3 , etc.

On a vu (art. 16 ) , que le nombre total M des décès ne diffère point du nombre N des naissances annuelles; d'un autre côté les nombres M. M, Mj M^-, etc. sont les différences V„—V,, V,V,

— —V4, etc. , ce qui résulte des érjua-

tions (2) de l’art. (6).

Il suit delà que pour former la valeur moyenne de la durée delà vie telle qu’elle résulte d’une table proposée, il faut prendre les différences M, M. M, Mj, etc. entre deux nombres consécutifs, multiplier ces différences par les nombres respectifs i, 2,3,4, etc., ajouter tous ces produits et diviser la somme par le nombre N des naissances de l’aimée, le quotient sera la valeur cherchée.

26. On peut donner une autre expression de ce résultat çn appliquant les opérations ordinaires de l’algèbre; en effet, désignant par U, la valeur

moyenDe de la durée de la vie, on a Téquation

O nn,-(“ 2 mj +3 mi 4®*4 >

m,.+ m,-{- 111 , 5 etc.

on mettra dans le second membre , au lieu de m„ sa valeur N—V„, au Heu de m., sa valeur Y.,—V, , comme l’indiquent les équations (a) de l’art. (6) ; par ces subsiitntions, dans le second membre le dénominateur deviendra N—V„ + Y„—V, + Y.—Y, + etc. , ce qui le réduit au seul nombre N, et le numérateur deviendra

1 (Vo— V.) -1- 2 (v —v04-3(v.—V3) + 4 (V 3 —Vj)4- ,etc. faisant toutes les réductions par ordre, on voit que ce numérateur est égal à Y„ +d- + Yj +, etc.

c’est-à dire, au nombre qui exprime la population totale. L’équation précédente se réduit donc à celle-ci

c’est-à-dire que pour connaître la durée moyenne de la vie, telle que la donne une table proposée, il faut diviser le nombre qui exprime la population totale par le nombre IN des naissances annuelles. Cette propos tion est une des conséquences «ju’il importe le plus de remarquer dans la théorie de la population; elle suppose, comme nous 1 avons dit plusieurs fois, que la population est devenue stationnaire, et qu’il n’y a aucun effet sensible provenant de la sortie des natifs et de 1 arrivée des étrangers.

27. Cherchons maîntenint la valeur moyenne de la durée de la \ie , à partir d’iin âge quelconque, par exemple, au-dessus de i 3 ans. Ciiaque tioinhre de la table, tel que V|, indique combien il y a de vivans dont l’àge actuel est compris entre h eth-fi, et comme on suppose que tous les changemeus s’accomplissent au milieu de chaque année, lage commun de ces personnes en nombre Vi, est précisément égal à h -b ~.

Faisons l’énumération de tous les décès d’une année, en n’ayant égard qu’â ceux des personnes qui ont plus de i 5 ans au jour de leur mort, et en comptant combien elles ont vécu d’années au-dessus de 1 5 ans. On a vu 1 que le nombre de ceux qui meurent à i4 ans est M,/,, le nombre d’années qu’ils ont vécu au-dessus de l’âge fixé 1 3 est i ; 2". que M,j meurent à i 5 ans, ils ont vécu 2 ans de plus que l’âge fixé; 3 °. que M,n meufent à i6 ans , ils ont vécu 3 ans au-delà de l’âge fixé, ainsi de suite pour les âges suivans. Pour former la somme totale des années comptées au-dessus de i 3 ans> on multipliera M.4 par i , M,; par a, par 3 , M,. par 4 , ainsi de suite, et l’on ajoutera ensemble tons les produits. Connaissant aiusi la somme d's années d’âge comptées au-dessus de i3 ans le jour de la mort, on divisera cetie somme par le nombre total de ceux qui sont morts avant plus de i 3 ans d’âge, et l’on trouvera la valeur moyenne de la durée de la vie comptée au-dessus

de 1 5 ans. Désignant celte valeur par U,3, on aura l’équation

ui,4+ 2m,34-5in,6 + 4 m.j + , elc.

m, 4 +m .3 + m.6+iii,j+,etc.

on mettra ensuite au lieu de 01,5 m.s leurs valeurs données par les équations (2) de l’article 6), c’est-à-dire les différences v.j—v./,, v.4—v.,, v.^—v.C) v(; — V,., etc. et en faisant par ordre, après ces substitutions, toutes les réductions, le numérateur deviendra v^j-f v,4 + v.j + v.j -f v., + etc., c’est le nombre total des vivans dont l’àgeactuel surpasse i3 , et nous avons désigné art. ( 21 ) ce nombre par Le dénominateur du second membre de l’équation précédente (m) devient, par les mêmes substitutions égal à V,3, par conséquent la quantité U.3, dont la durée moyenne de la vie de toutes les personnes qui ont vécu plus de i 3 ans surpasse l’âge fixé i5 , est ainsi exprimé :

Fs

il en serait de même des autres âges, et ce calcul peut être fait en général de la manière suivante.

L’énumération totale des décès d’une année donne ces résultats :

M„ sont morts à l’àge o , M. à l’âge 1 , M, à l’âge 2 , etc. ; ceux qui sont morts à un âge plus grand, qu’un âge donné quelconque b sont donc M,.4.,

.M,,j 3 î durée moyenne de 1 eur vie en¬

tière sera ainsi exprimée

h+1 mh^■l -f- h 3 h +3 ™i>-n -h h + 4 <ïihi- 4 +, etc.

mi.+. + m+ m i.+3 + m 1+4+, eic. “ on substEtuera au lieu de mj.+, , etc. .leurs

valeurs respectives données par les équations (2) de l’article { 6 ) , c’est-à-dire V..—, Yh-.—, Yh+j ^ 11+31 Etc. Après les substitutions, l’expression précédente sé réduira à celle-ci :

h-|-1 Vh -j- y l'j-i -b y hj-. -|- y 1,4.3 -|- v i,j.4 -|- etc.

Vh

qui est la même que celle-ci :

-J- VL 4 -a-|“V i,+3-j-i,+4 etc.

. Vh —

Vh

Il faut donc marquer l’âge h dans la première colonne delà table, ajouter tous les nombres de la seconde colonne depuis , c’est-à-dire, comprendre dans la somme le nombre v,,, et tous ceux qui sont au-dessous de lui, enfin diviser la somme par ce même nombre v,., le quotient est le nombre moyen d’années comptées au-dessus de h dans la vie entière des personnes qui sont mortes à un âge plus grand que h.

Il faut remarquer maintenant, 1». que lâge de ceux dont le nombre est V,., n’est point h} mais h H- x; 2“. que les vivans dont les nombres sont désignés par V , Y^^,, etc. sont ceux dont

l’âge à l’instant de leur décès surpassait b Or, la quantité dont la durée entière de leur vie

moyenne surpasse h étant—", U en faut rctran-

Yh

cher ^ pour connaître la quantité dont cette durée

entière de leur vie moyenne excède lage h + marqué dans la table*

L/on en conclut^ en général, que pour connaître combien la vie moyenne de ceux qui ont vécu au delà d’un âge précis indiqué dans la table surpasse cet âge indiqué ^ il faut, à partir du nombre qui répond à Tâge donné, et y compris ccnombre, ajoiiler tous les nombres de la seconde colonne jusqu au dernier, diviser la somme par le premier des nombres ajoutés, et retrancher du quotient. Ce dernier résultat est une approximation fondée sur la supposition commune qui ramène à un même jour tous les changemens survenus dans Tétât de la population*

28. Les tables dont on vient d’expliquer Torigine et Tu sage expriment les probabilités relatives a la durée de la vie. Si Ton veut connaître, par exemple, quelle probabilité il y a qu une personne âgée de 21 ans vivra encore plus de i 5 ans, il suffit de comparer les deux nombres 806 et ^o4 qui répondent aux âges 21 et 34 * Ces nombres font connaître que de 806 hommes âgés de 2 1 ans ac™ complis, il y en a seulement 702 qui vivent encore i 5 ans après ; ainsi la probabilité cherchée se forme de 702 chances snr 806; elle est la meme que celle de prendre une boule blanche dans une urne où il se trouve 806 boules dont 702 sont blanches et 104 noires. On exprimerait celte probabilité par la fraction ^ qui diffère peu de |

29* On trouve, par le meme principe, lu proba-

bilité opposée à la précédente, c’est-à-dire la probabilité de mourir avant d’avoir atteint l’âge de 34 tms, lorsqu’on a l’âge actuel ai ans; car. sur 806 personnes de cet âge ai, il y en a 102 qnl ne parviennent pas jusqu’à l’âge 54 - La probabilité dont il s’agit se forme donc de iojï chances sur 806 ; elle est ^ ou à très-peu-près

3o. Si l’on considère deux personnes dont l’une a 20 ans et l’autre 3 o ans, et que l’on veuille con^ naître quelle probabilité il y a que toutes les deux vivront encore après un certain nombre d’années, par exemple après 20 ans, le calcul sera un peu plus composé que ceux qui précédent; mais le principe n’en est pas moins évident. On recherchera dans la table le nombre qui répond à 20 ans et celui qui répond à 48 ans; comparant ces deux nombres 8i4 et 699, on aura la fraction ^ pour exprimer la probabilité d’atteindre à Tàge de 4^ ans, lorsqu’on est à l’âge de 20 ans. Pour simplifier le calcul, nous supposerons que cette fraction est 1; on cherchera de la même manière la probabilité d’atteindre l’âge de 58 ans, lorsqu’on a l’âge de 3o ans; elle est exprimée par la fraction mais, pour simplifier, nous supposerons que cette fraction soit on considérera donc : 1®. que sur 8 personnes de 20 ans il s’en trouve 5 qui atteignent 48 ans, et 3 qui ne parviennent pas à cet âge; 2®. que sur 7 hommes de 3o ans, il s’en trouve 4 qui arrivent à l’âge de 58 ans, et 5 qui n’atteignent pas à cet âge.

ïl y a 8 chances différentes dans le premier cas et ^ dans le second; maîs si Ton considère les deux cas à la fois , c*est-à^fîîre toutes les chances qui peuvent survenir lorsque, d*ime part, 8 personnes ont Tage actuel 20^ et que, dautre part 7 personnes ont 1 âge actuel 3o, on voit qu’il se trouve 56 chances differentes , to- tes également possibles : en effet, chacune des 8 premières chances peut coïncider avec chacune des 7 chances du second c-/S, ce qui donne 56 combinaisons; or le premier cas a 5 chances favorables sur 8, et le second a 4 chances favorables sur 7; et comme une des chances favorables du cas se peut réncddtrer avec une des chances favorables du second cas, il y a précisément 20 combinaisons favorables sur 56 également possibles. Chacune de ces 20 combinaisons correspond au cas où une personiK^ de Tége actuel 20 et une personne de fâge actuel 3o vivront encore toutes les deux après qu’il se sera écoulé 28 années; donc la probabilitécherchée est ou le produit des deux fractions ^ ot savoir : -- Il faut maintenant rétablir dans cet exemple, au lieu des valeurs plus simples I et | - les valeurs exactes — et^ MultipUant donc ces deux fractions Tune par Tautre, on trouve la fraction pour exprimer la pro-

babitité cherchée, Cêtte fraction diffère peu de ^ Il y a dône environ un contre un ou un sur deux à parier qUe deux personnes, Tune de20 ans, lautre de 5 o, vivront encore toutes les deux après 28 ans

3 i. Afin de présenter ce même calcul d’une manière générale, nous désignerons par a et b les âges actuels des deux personnes, et nous chercherons quelle probabilité U y a que l’une et l’autre vivront encore après qu’il se sera écoulé un nombre d’années désigné par c. Si l’on établit, par rapport aux quantités a, b, c, un raisonnement entièrement semblable à celui que l’on vient de faire pour les nombres 20, 3o et 28, on voit qu’il faut déterminer, i'’. la probabilité d’atteindre l’âge a+c lorsqu'on estài’âge a ; 3 ''. la probabilité d’atteindre 1 âge é + c lorsqu’on est à l’âge b, et ensuite multiplier l’une par l’autre les deux fractions qui expriment ces probabilités.

La première de ces deux fractions sera exprimée

' a’fe

ainsi: -—î car V, répond, dans la table, au nom-

bre d’hommes de l’âge a, et répond au nombre d’hommes de l’âge a-f-c. La seconde.fraction

^ bf c

sera exprimée par -— le produit sera donc în^

diqué comme il suit :

Lorsqu’on aura effectué ce produit, ou connaîtra la probabilité cherchée.

Les tables de mortalité servent à résoudre plusieurs questions du même genre, qui dépendent des chances de ia vie humaine ; elles sont le fou-

dement de Ions les calculs des rentes on des emprunls viagers, des aimuités différées, des tontines; des assurances sur la vie, des caisses de survivance et d'épargnes* Quelque variées que soient ces questions ^ on ramène facilement la solution à un très-petit nombre de principes qui appartiennent à Tanalyse des probabilités.

Il nous a paru utile d'insérer d'abord dans cet écrit rénoiicé eitact de ces principes généraux, Nous aurons occasion , dans les parties subséquentes de cette colteclion, de donner les démonstrations de ces propositions et de les appliquer à divers exemples.

Première Proposilioii,

Sa, Pour exprimer la probabilité d’uivévénement que l'on su])pose exactement défini, on forme une fraction dont le dénominateur est le nombre de toutes les chances également possibles, cl dont le numérateur est le noml iredes chances favorables à Févénemeut dont il s’agit. On a vu, dans les questions précédentes, une application de ce principe, qui nest, à proprement parler, que la dérniition mathématique de la probalité,

53 . Plus la fraction ainsi formée approche de l'unité, plus l'événement est probable* Il est presque certain ^ lorsque cette fraction diffère extrêniement peu de Funité; par exemple, si elle était 7^^^, il y aurait sur looo chances possibles une seule chance contraire à Févénement.

Il est évident qoe la probabilité, quelque grande quelle soit, sera toujours mesurée par une fraction , et Tunité est la limite de toutes les probabilités possibles* C est dans ce sens que Ton prend rimité pour lexpression mathématique de la certitude* On ne [teut donner une idée plus exacte et plus complète de la probabilité d'un événementj qu'en le ramenant ainsi au cas où Ton puise dans U UC urne qui contient plusieurs sortes de boules, dont les nombres respectifs sont connus: c est dans celte forme précise que sont résolues^ toutes les questions de la théorie des probabilité». En examinant avec beaucoup datteotion toutes les chances qui peuvent amener révénement proposé , on parvient à former une fraction qui en mesure la probabilité. Lorsque la défîiiitiou mathématique de cet événement est très-composée, la solution exige une recherche approfondie; et l'emploi d'une branche spéciale de Fanalyse,

Une conséquence évidente du premier principe consiste en ce que la probabilité d'un événement étant connue , par exemple exprimée par la fraction 7^, celle de Tévénement contraire se trouve en retranchant de runité la fraction -7, lé reste 77 exprime la probabilité de révénement opposé à celui que l'on considérait d'abord* Ou fait un usage fréquent de cette remarque ; nous en donnerons une application dans lart ( 5 j ).

Deua^ième Proposition.

34 - Lorsqu'un événemeni: est composé, cestà-dire lorsqu’il résulte du concours de plusieurs événemens simples qui doivent tous avoir lieu en même teins. On estime séparément la proba* bilité de chaque événement simple ; et le produit de toutes les fractions correspondantes aux événemens simples, mesure la probabilité de Tévé" nement composé,

35 * La question précédente de Tart* ( 3 o) oflFre un exemple fort simple de lapplication de ce second principe. On en ferait usage de la même manière pour connaître quelle probabilité il y a que trois personnes, Tune de îage a , Tautre de lage é , la troisième de Tâge c , vivront encore toutes les trois après un nombre d’années désigné par di cette probabilité est exprimée par le prodîut des trois fractions*

par exemple* pour estimer la probabilité que trois hommes âgés de 20 ans vivront encore tous les trois 3 o ans après, il faut chercher ^ au moyen de la table, la probabilité d’atteindre 1 âge de 5o ans lorsqu on est a 1 âge de 20 ans. Cette dernière probabilité e$t^, il faut donc former le produit de trois fractions égales à ^ cette troisième puissance diffère peu de la fraction décimale 0,3636 ou fj. Ainsi il y a environ i a à parier

contre 2 i trois hommes de 20 ans vivront tous les trais au-delà de leur cinquautiènie annce. Si le nombre de ces hommes âgés de 20 ans était dix, au lieu d’étrc trois, la probabilité quils atleindroiit tous leur cinquantième année serait environ 34 sur looo* Il y a plus de 28 à parier contre i que cela n'arrivera pas, La pratique de ces opérations exige évidemment Tusage des logarithmes. On trouverait, par le même procédé, que si le nombre des hommes âgés de 20 ans est 3o, la probabilité quils parviendront tous les trente à lage de cinquante ans est seulement ^ ^ ^ ou celle de

retirer une boule blanche d un vase dans lequel il y aurait 26000 boules dont une seule blanche- On connaîtrait aussi par la même règle des probabilités composées quelle probabilité il y a que de deux personnes, Tune âgée de 20 ans, Vautre de 26, la première vivra encore après 10 ans, et la seconde n existera plus* En elFet, Tévénement dont on cherche la probabilité est alors formé de deux autres ; savoir i^**^ que le moins âgé vivra lo ans de plus; 3 , que le plus âgé ne vivra pas 10 ans de plus,

La probabilité du premier événement est

Va 8i4

la probabilité du second événement est

donc ie produit — AI?

II? , qui étant réduit en

décimales, diffère peu de mesure la proba^

bilité de l'événement compose : savoir qu'après lo ans écoulés, le moins âgé vivra encore, et le plus âgé n existera plus,

Trois iè m e ProposUion ,

36 * Lorsqu'un événement peut avoir lieu de différentes manières, en sorte quil dépend de certains événemens partiels dont un seul doit arriver, on estime scparcmeiit la probabilité de chaque événement partiel, et la somme de ces probabilités mesure celle de révénement proposé.

57* Voici deux questions propres à faire connaître l'usage des principes précédens : dans la première on se propose de trouver quelle probabilité il y a que de deux personnes, dont Tune est âgée de 20 ans, et lautrc de 35 , il y en aura au moins tme qui vivra encore dans dix ans. On peut résoudre directement cette question ; mais il est plus facile de déterminer la probabilité de Tévéne ment contraire. On remarquera d'abord que , pour contredire celui qui affirmerait révénement dont il s'agit, il faudrait soutenir que les deux personnes , Furie de 20ans, Fautrede 35 , seront toutes les deux mortes après dix ans écoulés. Cet événement, contraire à celui que Fon considérait d'abord, est composé de deux autres. Il exige premièrement que le plus âgé n existe plus après dix ans (ce dont la probabilité est, comme nous Favons dit art* (28),

), secondement, que le plus jeune soit

mort dans ce même intervalle de dix ans

( ce dont la probabilité est ~ )

donc la probabilité de 1 événement composé est le produit des deux fractions précédentes ou celui-ci HT diffère très peu de 0,012. Or Tévérie-

ment dont on vient de mesurer la probabilité, est précisément contraire a celui que Ton considérait On appliquera donc ici la remarque qui termine 1 arL ( 5 oJ , c est-a-dire que Ton retranchera de Tunité la probabilité 0,012 que l'on vient de calculer ; le reste 0,988 est la probabilité que de deux personnes âgées , lune de 20 ans, 1 autre de 35, il en existera au 7 noins une après dix ans.

58 . La seconde question a pour objet de connaître quelle probabilité il y a que de deux hommes, dont les âges sont donnés , le plus jeune survivra au plus âgé. Cette question est beaucoup plus composée que la précédente, car levénemeiit que l’on considère sc forme d’une multitude d’autres. On peut chercher séparément quelle probabilité U y a que le plus âgé mourra dans la première année, et que le plus jeune vivra encore à la fin de cette première année. On peut ensuite chercher la probabilité d un second événement; savoir; que le plus âgé mourra dans la seconde année, et que le plus jeune sera encore vivant après celte seconde année. On trouvera ensuite quelle probabilité il y a que le plus âgé mourra dans la troisième année, et que le pins jeune vivra encore à la fin de celte année.

ce qui constitue uii troisième événement partiel. On doit énumérer successivement tous les événemens partiels de ce genre, afin d’épuiser toutes les combinaisons possibles qui peuvent amener l’événement proposé; savoir, la survivance du plus jeyne. Or il est facile d’estimer la probabilité de chacun de ces événemens partiels, par exemple celle du troisième cas ; il consiste en ce que le premier meure dans la troisième année , et le second vive encore à la fin de celle année. Si l’im est âgé de jo ans on trouve pour la probabilité de sa mort dans la troisième année : car de 5 io hommes de cet âge, il y en a communément 20 dont la mort survient à celte époque. Si le 2'. est âgé de 5 o ans, on trouve ^ pour la probabilité qu’il vivra encore à la fin de la 3'. année; donc le produit^’ lo S+JÎ deux fractions mesure la probabilité du troisième

événement partiel. On répétera un semblable calcul pour chacun des événemens partiels que nous avons indiqués, et l’on trouvera pour le premier liî, pour le second ?; ’■% pour le troisième iî- pour le quatrième f- 7^, : insi de suite jusqu’au dernier produit qui sera 777 en admettant pour la loi des probabilités de la vie celle que donne la table (C) Après avoir trouvé ces différeus produits qui forment la suite,

1 ^ tj±

3 ic 34? îto

on ajoutera ensemble tpus les termes conformé-

menl à la troisième proposition article ( 36 ). La somme fera connaître quelle probabilité il y a que de deux hommes âgés l’un de 5 o ans, l’autre de ^o, le premier survivra au second ; cette probabilité diflère extrêmement peu de 0,78

L’usage des annuités viagères présente assez fréquemment des questions de cet ordre, et l’on voit quelles exigent un grand nombre d’opérations : mais on connaît divers moyens de faciliter ce calcul. Il faut aussi remarquer à ce sujet que la valeur de la probabilité cherchée est affectée de l’incertitude propre aux derniers nombres des tables : mais les produits qui répondent à ces derniers nombres sont en général de petites fractions. Au reste, on ne doit pas perdre de vue que les résultats précédens, et ceux qui dépendent des tables de mortalité , ne sont autre chose que des évaluations moyennes conformes à l’ordre commun. Elles sont incertaines, si l’on considère un cas particulier, elles sont moralement certaines pour une muUiliidc indélinie de cas analogues.

Quatrième proposition.

59. Pour estimer la valeur d’une somme éven~ tueUcj c’esf-à-dire, d’une somme que l’on doit recevoir, si un certain événement à lien, on cherche la probabilité de cet événement, et on multiplie la fraction qui l’exprime par la valeur absolue de la somme promise. Le produit est la valeur mathématique moyenne de la somme éventuelle. Par exemple on promet à un particulier de lui payt^une somme

de looo francs, s’il retire une boule blanche d’une urne qui contient sept boules blanches et trois noires. La valeur de cette soiinite éventuelle de 1000 francs est le produit de lOoo par la probabilité ~ ou 700 francs. Le sens de celte proposition est que si un très-grand nombre de particuliers étaient tous dans le même cas que le premier, et, si mettant en communies sommes reçues par chacun ils partageaient également entre <aix la somme totale, la part de cliacun serait 700 francs ou en différerait très-peu. Plus le nombre do ceux qui se réunissent est grand, plus il est certain que la j>art commune différera extrêmement peu de celle que l’on vient d’assigner. La différence de ces deux quantités décroît sans limite à mesure que le nombre des associés augmente, et en même tcnis la probabilité d’obtenir la valeur mathématique moyenne s’approche de plus en plus et sans limite de la certitude.

4 o. Pour coimaitre la valeur actuelle d’une somme qui ne doit être payée qu’apres un certain nombre d’années désigné par m, il faut, dans les calculs de l’intérêt composé, élever à la puissance ra la fraction dont le nmnéralenr est i, et qui a pour dénominrUeurrvmité augmentée de rintérèt annuel de l’unité. En multipliant cette puissance m de la fraction par la valeur absolue de la somme promise, on trouve la valeur acUielle de cette somme.

On trouve par exemple quelav deuractucHe d’un capital de 10000 fr. , qu’on ne doit recevoir qu’a-

près qu'il se sera écoulé 2 5 années, est égale au produit de loooo pur la vingt-cinquième puissance de

la fraction j j ^ ou Celte puissance difî'ère peu de , en sorte que la valeur cherchée est seulement 2960 fr., ou plus exactement 2909 fr. 8. C’est le résultat du calcul de l’intérêt composé, le taux anuuel de rintérêt étant de cinq pour cent. Si la même somme ne devait être payée qu’après cinquante années, la valeur actuelle serait 871 fr. 94, et pour cent années elle serait 76 fr. aa c.

Le sens de cette proposition est que, si l’on recevait aujourd’hui la valeur actuelle trouvée par le calcul, et qu’ou plaçai cette somme à l’intérêt composé pendant le nombre d’années après lequel le paiement doit être fait, ou retirerait à la fin de ce terns un capital de 10000 fr.

Cette proposition n’appartient pas, comme les précédentes, a 1 analyse des probabilités mais elle est necessaire dans tous les calculs d'intérêt composé. Ce sont les résultats frappans de l’accumulation des intérêts qui ont suggéré l’invention des caisses d amortissement; elle repose entièrement sur cet esprit de persévérance qui est le propre des établissemens publics.

4 i. Nous venons d’énoncer tous les principes qui servent de fondement au calcul des rentes viagères constituées sur une ou plusieurs têtes, à celui des annuités différées, et des assurances sur la vie. Il n’y a aucune de ces questions qui ne puisse être

facilement résolue par l’application de ces règles générales. Koiis n’insistons point sur la démonstration de ces règles et sur leur usage, parce qu’elles ne sont point l’objet principal de cet écrit; il nous suffît de les avoir indiquées. L’élément principal dont toutes ccs recherches dépendent est une table de mortalité, déduite d’observations exactes et qui convienne spécialement à l’objet de la question,

IIII. Considérations géné'i''aies sur tes causes qui déterminent {a ioi de Population.

42. Pour se former uue idéç distincte de tous les élémens delà population, on l’a considérée dans son état permanent; mais il est évident que cette loi constante ne peut être rigoureusement établie. Elle ne subsiste jamais sans quelque altération, et il importe beaucoup de connaître les causes qui le modilient, et celles qui tendraient à la conserver ou à la rétablir.

On reconnaît d’abord qu’elle est assujetie à des variations accidentelles et fortuites qui se compensent réciproquement dans l’intervalle de plusieurs années. L'état de la population, dans un pays donné, est un effet très-composé auquel concourent plusieurs causes de différente espèce. On peut supposer d’abord que ces causes se sont développées, et que leur action est parvenue à son dernier état; il faut alors considérer les variations fortuites, telles qu’on les remarque dans la plupart des effets de la nature. Il en résulte que les nombres de la table ne.

doivent pas être déterminés par les observations d’une seule année. II faut réitérer les observations pendant plusieurs années consécutives, parexemple, dix, quinze, ou un plus grand nombre. On ajoute ensemble les valeurs qui répondent à ces dilTérentes années, et on divise la somme par le nombre des valeuis; c est ce résultat moyen qui doit être inscrit dans la table. Par exemple, on observe pendant quelques années le nombre annuel des naissances, et Ion inscrit dans la table la valeur moyetine, ou la somme des valeurs divisée par le nombre des années. On ne considère aussi que le nombre moyen des décès annuels. On procéderait de même pour déterminer le nombre moyen des personnes qui meurent a un âge donné. En général, un nombre quelconque inscrit dans les tables relatives à la population , représente une' valeur moyenne donnée par le concours des observations pendant plusieurs années consécutives. C’est ainsi que l’on détermine le nombre moyen des mariages annuels, le rapport de ce nombre à la population totale, le nombre moyen des naissances pour les deux sexes, et le rapport de ces deux nombres.

43. On doit remarquer ici que les recherches administratives qui ont la population pour objet sont de deux sortes. Les unes consistent dans un dénombrement éflectif, qui montre à une époque précisé létat actuel de la population, considérée sous les trois rapports civils fondamentaux, savoir: le sexe, l’âge, l’état de mariage.

Les autres ont lieu chaque année et font conuaître tous les changemens survenus sous ces mêmes rapports de lage, du sexe et de Fétat de mariage; elles expriment le mouvement annuel de la population.

Les dénombremens généraux ne peuvent être renouvelés qu’a près un intervalle de plusieurs années : car de telles opérations exigent beaucoup de soins et de dépenses 3 et sont sujettes à des difficultés assez graves. Dans certains états, les lois ont établi récemment un dénombremr nt général à la fin de chaque intervalle de dix années. Dans d’autres pays, ces opérations sont moins fréquentes et moins générales , mais on y observe attentivement le mouvement annuel. Cette opération se fonde sur les registres civils qui constatent les naissances, les mariages elles décès; elle consiste dansl’éoumération de ces actes,

44- Il paraîtrait d abord qu ayant formé par un premier dénombrement un état général des habitans, avec Findication de Fâge, du sexe et de Fétat de mariage, et continuant d’observer les changemens annuels, on ne cesserait point d’avoir une connaissance exacte de la population : mais ce procédé servait sujet, dans la pratique, à des difficultés insurmontables; car Finexactitude des âges mentionnés dans les actes de décès, Fimpossibilité de les comparer aux actes de naissances, le nombre des personnes qui sortent du territoire ou qui arrivent , occasionneraient des erreurs inévitables et

qui pourraient devenir énormes. On obtient des résultats plus exacts en observant le rapport du nombre des naissances annuelles à la population totale. Si un premier dénombrement fait avec soin, dans une partie considérable du territoire, a donné ce rapport, on peut le regarder comme ayant une valeur sensiblement constante durant un assez grand nombre d années. Il suffira donc de connaître avec précision le nombre moyen des naissances annuelles, ce qui, dans l’application,.présente peu de dilficultés. On multipliera ensuite ce nombre moyen par la valeur fixe du rapport, et l’on connaîtra, avec une approximation suffisante, non-seulement la population totale, mais aussi les nombres correspondans aux limites d’âge indiquées dans le dénombrement primitif. Cette conséquence suppose que l’on a effectué le premier dénombrement dans un territoire fort étendu, afin que toutes les inégalités for^ tuiles puissent être compensées .à raison de la diversité des lieux et des autres causes qui influent sur l’état de la population.

45. Cette dernière remarque dérive d’une proposition générale sur laquelle on ne peut trop fixer son attention : car elle sert de fondement à la plupart des recherches statistiques. Elle consiste en ce que la répétition indéfinie des événemens que l’on regarde comme fortuits, fait disparaître tout ce qu ils ont de variable. Dans la série d’un nombre immense de faits, il ne subsiste plus que des rapports constans , et nécessaires, déterminés par la nature des choses.

Par exemple, si Ton continuait pendant un tems îndéfioî de projeter un dez régulièrement formé ou une pièce de monnaie, et si l'on tenait compte du nombre de fois que l'on amène chacune des faces, on trouverait que ces nombres deviennent sensiblement égaux, cest-à-dire que leur différence deviendrait extrêmement petite par rapport à chaque nombre, comme la centième ou la millième partie. Mais si la constitution de la pièce projetée était telle qu elle eût plus de facilité a toiiiber sur une des faces que sur une autre, ou ne farderait point a le reconnaître en prolongeant 1 expérience, Il arriverait certainement qu\ine des faces se montrerait plus souvent que la face opposée* Le rapport de ces deux nombres de fois qu elles paraissent Tune et lautre deviendrait de plus en plus fixe* Enfin ü serait presque invaTÎable, et alors U donnerait la mesure de riiiégalité*

46 * Ce principe ne s'applique pas seulement à des événeinens fortuits et indilTéreris, tels que ceux que i on vient de choisir pour exemples. Tl convient à tous les phénoinènes naturels* Les faits météorogiques en fournissent une preuve remarquable* C’est ainsi qu’en observant les températures moyennes de chaque jour, dans un lieu donné, durant plusieurs années consécutives, et prenant la valeur moyenne de ces températures, on a un résultat moyen égal à celui que Ton aurai t obtenu au moyen des ob 3 erYatio*^s faites pendant plusieurs auaées précédentes.

47- On retrouve aussi ce iîiême principe dans la comparaison des quantités d’eaux plu via les qui tombent, en un pays donné, sur une surface horizontale d’une certaine étendue et placée dans le même lieu. Car la valeur moyenne de ces quantités mesurées pendant plusieurs années consécutives , demeure constante au milieu de tant de causes variables qui influent sur l’atmosphère,

48 . C’est par une raison semblable que le rapport des nombres des nouveaux nés des deux sexes demeure sensiblement fixe dans un pays donné. Les causes physiques dont le concours détermine cc résultat nous sont entièrement inconnues ; mais l’efFet subsiste , et il est exempt d'incertitude.