nous reste donc à faire l’analyse çle l’état

constant de la population dans iin iieii sujet au mouvement extérieur, cesM-dire àrarrivée ou à la sortie d un grand nombre d'hommeè qui n ont point pris naissance dans ce lieu, ou qui y sont nés, mais qui rabandonlient pour habiter d'autrçs pays* Cette question t^st plus composée q^ic la précé™ dente, et tia point encore été Tobjet d*un examen mathématique; elle peut être résolue par les principes que nous avons établis*

Ou remarquera, en premier lieu, que, dans ce cas, la loi depopulalion devient encore stationnaire, ou tend de plus en plus à le devenir:en efïét, quelles que soient les causes qui déterminent, dans une ville capitale, ce mouvement que uôus avons appelé extérîeur, si Ion conçoit qu*elles subsistent sans altération pendant un certain laps de teins, il s'ensuit quelles doivent produire des effets constans ou presque constans. A la vérité, il y a quelques parties de ce mouvement qui sont très-varjables de leur nature, comme le concours des voyageurs ou la résidence des homnies de guerre; mais si l’on fait d abord abstraction de ces deux circonï^tances, et si Ion considère principaïemeut rafiluenca ou la sortie des persoïiiies que divers motifs portent avenir hahiteT la capitale, ou à s'en éloigner pour ailleurs, on peut dire que l'effet est presque entièrement fixe ou quîl change lentement. Quoi qu U eu soit, il est iiécessaira, en premier lieu, de se former une jdée exacte de celte loi de popiilatîon, en la regardant comme stationnaire* Ainsi le nombre total des habitaiis demeure constant,

quoiqu’il se compose de personnes nées dans divers lieux. Il en est de même du nombre d’habitans d un âge quelconque. Ce nombre serait différent pour un autre âge , mais, pour un âge déterminé, ilne change pas avec le tenis; on le trouverait sensiblement le même , en procédant au dénombrement à deux époques successives peu éloignées l’une de l’autre.

68. Afin de rendre plus générales les conséquences du calcul , nous prenons pour unité de tcms, non une année, mais un intervalle quelconque , aussi petit, ou aussi grand, qu’on le voudra. Cette unité sert à mesurer les âges; ainsi le nombre correspondant à l’âge exprime combien cet âge comprend d’unités de tems et de parties d’unité. Nous supposons qua la fin d’une certaine unité de tems, ou intervalle actuel, ( par exemple a la fin de 1 année i8oo) on faille dénombrement général des vivans de tout âge, en plaçant dans une meme classe ceux qui sont nés dans un même intervalle, et nous continuons de regarder comme constantes toutes les causes qui concourent à régler 1 ordre de la population. Nous considérons , outre cet intervalle ucivids (1 année i8oo) tous les intervalles qui l’ont précédé, et nous les distinguons par le rang qu’ils occupent. Nous remontons de 1 intervalle actuel au i**. qui l’a précédé immédiatement, puis au qui a précédé celui-ci, au qui.a précédé le 2 “'., ainsi de suite. Par

exemple, ces intervalles précédons seraient, en prenant 1 année pour unité, les années i Soo — i,

i8oo 2, 1800 5 , 1800— 4 ' t*tc. On représèntera

par V„V.V,V;Vj, etc., tous les résultats du détiombrement général des Imbitansfait à la fin de l’iiitervalle actuel : est le nombre de ceux qui sont nés dans cet inlervalle même, (l’année 1800) et, par conséquent, dontlâge, compté à l’époque précise du dénombrement, est compris entre o et 1 ; V, est le nombre de ceux qui sont nés dans le premier des intervalles précédens; (l’année 1800—1) leur âge actuel est compris entre i et 2; V,e8t le nombre de ceux qui sont nés dans le second des intervalles préccdens ( 1 année 1800 ~ 2 ) ; leur âge est compris entre 2 et 3 , ainsi du reste pour tous les âges.

Cela posé, nous remarquons, en premier lieu, que si l’on faisait le dénombrement général à la fin d’un intervalle quelconque différent de celui que l’on a désigné comme actuel, et soit que l’on choisît un des intervalles qui suivent, ou l’un de ceux qui précédent, on trouverait précisément les mêmes nombres V. V. V, V3 que l’on a trouvés d’abord. Cest-à-dire que le nombre des personnes d’un âge donné quelconque, par exemple, de l’âge compris entre h et h-f-i , serait trouvé le mériie dans tous les déiiombremens que l’ou ferait à différentes époques.

Secondement, la même remarque convient au nombre des naissances et à celui des décédés de tous les âges, enfin au nombre des personnes de tout âge qui arrivent ou qui sortent.

Désignant par ]\ le nombre total des naissances qui ont lieu pendant le cours de l’intervaUe actuel, on comptera ce même nombre de naissances dans chacun des autres intervalles. Nous désignons aussi par le nombre de ceux qui arrivent dans le cours de 1 intervalle actuel, et qui étaient nés pendant ce même intervalle (l'année 1800); par A, le nombre de ceux qui arrivent pendant l’inlcrvalle actuel ( 1 année 1800 J, et qui étaient nés dans le premier des intervalles précédens f l’année 1800—1 ); par A, le nombre de ceux qui arrivent pendant 1 intervalle ^actuel (iSoo , et qui étaient nés dans le seruînd des intervalles précédens, 1800—a, etc ; et par A3A;jAj, etc., les quantités analogues, c'està-dire les nombres respectifs de ceux qui arrivent pendant l’intervalle actuel, et qui étaient nés dans les troisième, quatrième, cinquième, etc. intervalles précédens, savoir les années 1797, 1796, 1795, etc.

Or, il résulte de la disposition stationnaire de la population, que ces nombres A„A, A.Aj, etc. ont les mêmes valeurs, quel que soit rintervalle désigné comme l’intervalle actuel, c’est-à-dire, que si, pourun intervalle quelconque, on venait à compter tous ceux qui sont arrivés durant cet intervalle, et qu’on les distinguât selon l’époque de leur naissance , en marquant combien il y en a qui sont nés dans l’intervalle qui précède immédiatement, combien sont nés dans Je second des intervalles qui précèdent, combien dans le troisième des in-

îorvalles précédens» ainsi de suite, on trouverait que les nombres respectifs des arrivés de tous les âges scraîent A„ A, A3 A^, etc^j quantités égales à celles que Tou avait trouvées d abord-

II en est de même des décédés de tous les âges ; désignant par M le nombre total de ceux qui meurent durant un intervalle actuel, ce nombre sa divisera comme Tindique lequation

M—-H etc.

Tous ces nombres partiels etc. se

rapportent à ceux dont le décès a eu lieu pendant Tintervalle actucL est le nombre de ceux qui étaient nés dans cet înlervalle actuel, M, étaient nés dans le premier des intervalles précédens, dans le second, ainsi de suite.

Enfin celte remarque s'applique aussi à ceux qui sont sorti i du territoire durant rintervalle actuel dont la fin est T époque précise du dénombrement B est le nombre total de ceux qui sont sortis, et Téq nation

Betc.

îtidiqïieles nombres partiels dont B se compose. Tous ceux dont les nombres sont B, B^j etc., sont doue sortis durant rintervalle actuel. B^ sont liés dans rintervalle précédent, B, sont nés dans le second des intervalles précédens, B^ dans le tioisièrae, ainsi de suite.

69. Après avoir exprimé ainsi le fait principal, qui consiste dans la permanence de toutes les parties de la population, il est facile de connaître les rela-

tionsqu’oDt entre eux les nombres qui sont l’objet du calciiL

En effet, si durant le premier des intervalles qui sWile après l’intervalle actncl, par exemple, si dans le cours de l'année 1801 , il ne s’opérait aucun changement dans-la population existanle , cest-à-dire qu il n’y eût ni, arrivées, ni morts , ni sorties , mais seulement un nombre total N de naissances ; et que l’on renouvelât le dénombrement à la fin de ce prcmi<r des intervalles suivans, (1 année 180} ) on trouverait un nombre N de vivaiis nés dans l’intervalle à la fin duquel le second dénombrement se fait ( l’année 1801); mais cela n’est point ainsi, et l’on n’en trouve pas le nombre J\, mais le nombre V, tel qu on 1 avait trouvé au premier dénombrement. Cela provient de ce que durant cet intervalle, (l’année i8oi) i'-. il est arrivé un nombre A., d’< nfans ivés dans ce même intervalle ; 2*. il est mort un nombre d’enfans nés dans cet intervalle; 3*. il est sorti un nombre B d’enfans nés dans ce même intervalle. Ainsi le nombre N est devenu N-hA,—M„—B..

et c’est pour cela qu’il est égal à V. On a donc cette relation N-f-A,—B.=V„

On voit pareillement que, si durant l’intervalle dont il s agit, 1 année 1801 , il n’y avait eu ni arrivées, ni morts, ni sorties, et qu’à la fin de cet intervalle on comptât le nombre des vivans nés dans l’intervalle précédent, ( l’aimée i8oo } on en trou-

verait précisément uii nombre : car ce nombre avait été donné par le premier dénombrement ^ et il n aurait subi aucun changement Mais cela n est point ainsi J et le second dénombrement ne donne pas 1111 nombre d'hommes nés dans rintervalle qui précède immédiatement celui que Ton considère comme actuel; il en donne un nombre V,- Cela provient de ce que^ durant cet intervalle actuel , il est arrivé un nombre A, d’hommes nés dans rintervalle précédent J il est mort un nombre Mj d'hommes qui étaient nés dans cet intervalle précédent^ et il est sorti un nombre B, de ces hommes nés dans Viotervalle précédent Cest à raison de ces changemens que le nombre trouvé n'est pas mais On a donc cetto relation.

Oii trouvera de la même manière que le second dénombrement donnerait un nombre V, d hommes nés dans le second des intervalles qui précède Tintêrvalle actuel, si pendant cet intervalle actuel il n'y avait eu ni arrivées, ni morts, ni sorties ; roai^ que sont arrivés, sont morts, sont sortis, et que tous étaient nés dans ce second des intervalles précédons* C esta raison de ces changemens que le nombreV, est devenu V.H-A^^—iVl^ -B^ qui doit équivaloir à

On forme ainsi les équations.

N-HA —M —B,=-Vo V„-hA,—M, “

etc*

Y.-hA,-B, ÏU,—V,H-A,—B, M3=-V,-*^V3-4-A,—îb etc*

OU

Ces équations contiennent tontes les conséquences générales du mouvement extérieur et constant de la population* Elles remplacent les équations (i) et (n) de TarL (6) , et sont plus générales parce qu'on y considère l'cfîet des arrivées et des soriies.

Si 1 on omet dans ces équations (3) et (4) ^ les nombres A et B, en les regardant comme nuis on presque nuis, ce qui a lieu communément dans un territoire fort étendu, on trouve les équations (i) et (a) de lart (GK

Si Ion ajoute ensemble toutes les équations (4)J on a réquation suivante:

Mcr-|—etc* — etc*

—Bi——Bo— etc*

ou M=N+A —B, (5).

M désigne ici le nombre total de ceux qui meurent dans le coxirs d’un intervalle pris pour unité de tems , N désigne le nombre de ceux qui naissent, A le nombre de ceux qui arrivent, et B le nombre de ceux qui sortent*

^o* Cette relation exprimée par Téquation (5), et qui serait évidente par elle-même, donne lieu aux remarques suivantes*

Le nombre moyen des décès annuels comptés dans une ville capitale dont la population est sensiblement constante , ne pourrait équivaloir au nombre moyen des naissances, que si le nombre de ceux qui arrivent, dans le cours d'un an, compensait exactement le nombre de ceux qui sortent*

Cela n'a pas lieu communément; fafïluence extérieure est plus que suffisante pour compenser la sortie des natifs, et par conséquent le nombre des décès excède celui des naissances. On a quelquefois méconnu ce résultat, parce qu'on n'a point eu égard au nombre des enfans qui sont transportés dans les campagnes \oisines et qui , étant morts en nourrice, ne sont point inscrits sur les registres des décès de la \ille où ils sont nés* On se formera une idée plus distincte des résultats J en considérant les enfans envoyés à la campagne comme une partie de la population des villes 5 et ne formant les nombres A B que des hommes qui, nés ailleurs, arrivent dans la ville pourThabiter, ou qui, nés dans la ville, se rendent ailleurs pour s y établir* C est en cela que consiste le mouvement extérieur proprement dit Quant aux étrangers ou voyageurs dont le séjour est momentané, on les regardera comme ne faisant point partie de la population des villes.

71. Nous avons démontré dans les art (lo)et(i 1] que les deux suites N V, V, V3 etc., et i\I„ M M:, M, M , etc., ont entre elles cette relation, savoir : que les termes M^ M, M:, M., etc., de la seconde sont les dilférences N — — V, V,

etc*, des termes de la première.

On connaîtrait la première suite au moyen d'un dénombrement effectif des personnes de tout âge, et de rénumération des naissances ; on connaîtrait

la seconde en observant tous les décès qui ont

lieu dans le cours d’une année, et déduisant des registres publics les nombres M„ M. M, Mj etc.

Si l’on calculait séparément chacune de ces suites par les procédés que l’on vient d indiquer, et qu^on les comparât entre elles, on remarquerait certainement que chaque terme d ela seconde est la différence des deux termes consécutifs de la première; mais cette relation suppose, comme nous l’avons dit plusieurs fois, que l’on fait abstraction du mouvement extérieur, parce que le dénombrement se fait dans un territoire étendu, où Ion est fondé à regarder comme insensible ou nul ce mouvement extérieur; mais si la comparaison dont H s’agit avait pour objet la population d’une ville ou dun pays où les arrivées et les sorties produisent un effet notable, la relation que l’on vient d’énoncer ne subsisterait pas.

Les différences N—V„, Vj—V,, V;—V,, V,—V3 etc. ne seraient pas Mn M, M, M3 etc.

En retranchant de chacun de ces derniers nombres la différence qui lui correspond et qui est écrite au-dessus, on ne trouverait point des restes nuis, comme cela aurait lieu si la relation subsistait ; mais ces restes offrent une propriété très-remarquable qui dérive des équations (4}de 1 art (69).

En effet, la première dé ces équations montre qti’en retranchant du 1". nombre M., la première différeticelV —V,, le resté est A„ —B ,. On conclut aussi de la seconde équation qu en re Iran chaut du nombre M. la seconde différence V„ — le reste

«St A, — B,- Eu général, les restes que l’on trouve en retranchant de chacun des nombres M la dilTéreiice écrite au-dessus sont les quantités.

A„ — , Aj — B, J Aj — , A3—etc ,

On connaîtra donc combien le nombre des arrivés d'un âge quelconque surpasse le nombre des personnes du même âge qui sont sorties; c’est-àdire que l’on connaîtra exactement le mouvement extérieur pour tous les âges.

Ainsi, dans les pays où les arrivées et les sorties n’ont pas un effet sensible, on peut suppléer au dénombrement par l’observation des naissances et des décès annuels; caries nombres V„V, V, Vj , etc., que ce dénombrement donnerait, existent en elFet dans les registres publics qui constatent le mouvement annuel; il suffit de connaître la méthode, d’en extraire ces nombres; mais, dans les villes, et en général dans les pays où la population se forme, en partie notable, d’habitans qui n’y ont pas pris naissance, on ne peut suppléer par aucun procédé au dénombrement effectif. Dans ces pays, il faut, après avoir opéré le détiornbrement, on comparer les résultats avec les extraits des regislres du mouvement anntiel tle la population, et l’on connaît ainsi combien il y a chaque année de personnes de tout âge qui arrivent ou qui sortent. Toutefois on ne peut pas d terminer séparément le nombre de ceux qui arrivent et le nombre de ceux qui sortent; on connaît senlenient, et pour

un âge donné quelconque^ combien l^un des nombres surpasse lantre.

72. La proposition que I on vient de démontrer s’étend à toutes les indications que Von aurait jugé convenable de porter dans les états de dénombrement; car si Ton a distingué les sexes, Tâge, Tétât de mariage, la profession, on connaîtra le mouvement extérieur^ iion-seulemcnt par rapport à im âge quelconque, mais encore avec Tiodicalioii du sexe, de Tétat de mariage et de la profession : c’cst d’après ces principes que Ton doit diriger toutes les recherches relatives à la population des villes.

Nous avons dit qu’en comparant terme à terme les différences îî—Yo, Vo—Yj — Y^etcavec ies nombres Mh> Ms M3 etc.

et retranchant chaque terme supérieur du terme inférieur, on trouve les quantités A,,—— B,,. A,—B,, A—Bj, etc., qui mesurent, pour un âge quelconque, le mouvement extérieur. li peut arriver que quelques-unes de ces dernières quantités soient négatives; cela a lieu lorsque, pour un certain âge, le nombre des arrivés dans 1 année surpasse le nombre de ceux qui sont sortis; alors dans les deux premières suites, c’est le terme inférieur qu’il faut retrancher du ternie supérieur,

73. Les nombres V.V.V.VA4, etc,, qui représentent Tétat de la population dans un pays non sujet an mouvement extérieur, décroissent nécessairement depuis le premier jusqu’au dernier; car on a

V„=N—m„, V,==V„—m,, V,=V.^Tn,, etç.

Ainsi j dans une table générale de population qui porte les nombres v„Vi ViVjV^, etc., chaque terme est moindre que celui qui le précède. Il n’en est pas toujours de même dans les élats de dénombrement d’une ville ou d’un pays où le mouvement extérieur à un elFet sensible ; car le nombre étant N — m„ -h a, — b„ ; le nombre v, étant — b,; le nombre v, étant