V. — mj-h ai — bi

ainsi dé suite, il pourrait se faire que v„ fût plus grand que N ouv, plusgrand que ou v, plus grand que V,, etc. Ce sont les valeurs respectives des nombres a„b,m, oua,b.m,ou a. bi m„ etc., qui déterminent l’un ou l’autre résultat , lorsqu’on a procédé avec soin au dénombrement des habitans de tout âge, dans un pays étendu où l'on peut omettre 1 effet du mouvement extérieur, et dont la population est devenue constante, on a toujours trouvé que les nombres Vo v, v, V3, etc., vont en décrois¬

sant déplus en plus; maison a remarqué souvent une disposition contraire dans les états de dénombrement des grandes villes. Quelques-uns des nombres qui répondent aux âges moyens sont suivis de nombres plus grands, ce qui rend manifeste 1 affluence ex¬

térieure.

7^. Nous exposerons maintenant des conséquences d’un autre genre qui concernent la durée de la vie.

Considérons tous les mouvemens de îa poptilatîon qui s'accomplissent pendant rinterYalle de tenischoisi pour îiiiité, et qui peut être aussi grand ou aussi petit que I on veut. Ces iiiouvenieris résultent de qiiat:e causes; savoir : les naissances, les arrivées, les décès^ les sorties. H naîl durant chaque iiitervaüe un même nombre d'eufaus, et ce nombre constant est désigné par N. Le nonibre total A de ceux qui arrivent pendant Tintervalle actuel se forme dune muîtilude dautres; savoir:

a, âi art etc.

Les arrivés dont le Bomdre est a,, sont nés dans un des intervalles précédons dont le rang est marqué par l’indice h. Si l’on examine quel tems s’est écoulé depuis le milieu de l’intervalle corres* pondant à h, qui est celui de la naissance, jusqu'au milieu de l’inlervalle actuel correspondant à o, qui est celui de l’arrivée, on voit que ce tems écoulé comprend un nombre h d'intervalles; il mesure l’âgo qu’avait au moment de son arrivée chacune des personnes dont le nombre est a, ; car l’âge est compté, comme nous l’avons dit, en nombre d’unités de teins. Ce nombre h d’intervalles écoulés depuis le milieu de l’intervalle qui répond à h jusqu’au milieu de l’intervalle actuel, mesure avec d’autant plus de précision l’ége au moment de l’arrivée, que l’intervalle pris pour unité est plus petit; et comme cette unité peut être aussi petite qu’on le veut, l’indice h exprime en eifet i âge de ceux qui arrivent en nombre a;,,

Cette conclusion s’applique, non-seuleinent à tous ceux qui arrivent, elle conviant aussi aux décès et aux sorties. En général, 1 indice h qui accompagne un nombre tel que a ,, lUi,, b„, fait connaître l’âge qu’avaient à l’époque de 1 arrivée, de la mort, de la sortie, ceux qui sont arrivés, décédés ou sortis pendant l’intervalle actuel.

75. Supposons maintenant que l’on veuille ajouter ensemble tous les âges qu’avaient atteints au moment de leur décès ceux qui sont morts pendant l’intervalle actuel, il est facile de voir que cette somme se trouvera en multipliant chaque nombre, tel que aj, par l’indice h et ajoutant tous les produits. On a déjà fait un calcul semblable dans 1 article ( 26). Cette somme a donc pour expression:

O ni,-t-2 m -f -3 ma-i -4 104-h

On formera do la même manière la somme des âges qu’avaient atteints, au moment de leur arrivée, tous ceux qui sont arrivés pendant 1 unité detems. Cette somme est :

oa -4-I a. H-ab, -h 3 + 4 f> 4 H“ +

11 en sera de même de ceux qui sont sortis pendant l’unité de tems ; en ajoutant ensemble tous les âges quils avaient au moment de leur sortie, on trouvera :

O b„ -h J b, -h a b, -h 3 b3 -h 41^4 -1- 5 b: -h etc.

Concevons maintenant qu ayant trouvé les trois sommes précédentes, on retranche la seconde de la première, et qu'au reste on ajoute la troisième,

c’est'à-dîre que Ton trouve la valeur de rexpression suivante , la somme des âges des décédés, moins la somme des âges des arrivés, plus la somme des âges de ceux qui sont sortis , cette valeur sex^a ainsi î^e présentée:

o(m, —a,H-b,)-H i OH-a ( m^—

5 ( inj -i- ai — b 0 J etc*

Actuelleiiient on mettra au lieu de chacune des quantités telles que mj, — a,, la valeur donnée par les équations ( 4 ) de lart, et Ton trouvera ce qui suit ;

O (N*-v,)h- i (v„-v0^=iCvi — v,)-h3[v,—v:O +

4 ( V^ —v^)etc* , ou V„-hVïH-V,-hViH-V4-**V5+etC*

Or cette dernière somme est égale au nombre total V des habitans.

On démontre ainsi la vérité de la population générale que nous allons énoncer j et qui est une des conséquences les plus remarquables de Tétât constant de la population.

Si Ton fait Ténumération de toutes les personnes qui sont, ou décédées,ou arrivées,ou sorties,pendant le cours de Tuaité de tems, (par exemple une année entière ) et si ayant obsei'vé Tâge qiTavait atteint chaque personne au moment du décès, de Tarrivée, ou de la sortie, on ajoute séparément tous les âges des décédés, ceux des arrivés et ceux des habitans qui sont sortis, la somme des âges des morts moins la somme des âges des arrivés plus la somme des âges de ceux qui sont sortis, équivaut toujours à la population totale.

n6 On peut considérer comme un cas particulier celui où l’on fait abstraction du mouvement extérieur. Lorsque les recherches s’appliquent a un territoire assez étendu, l’effet de ce mouvement est une partie fort petite de l’effet principal, en sorte qu’on peut le regarder comme insensible. G est pour cette raison que ceux qui ont formé la théorie mathématique de la population ont toujouis de considérer cet élément : mais nous avons du le rétablir ici, afin que les mêmes principes puissent convenir à nii territoire quelconque.

Si dans l’énoncé de la proposition précédente on veut supprimer ce qui se rapporte au mouvement extérieur, on regardera comme nuis les nombres des arrivées et des sorties. Alors la proposition générale devient plus simple, et l’on en conclut que dans un pays dont la population est devenue constante , la somme des âges qu’avaient à leur décès tous ceux qui sont décédés pendant le cours d une année entière, exprime le nombre total des habit ms.

Au reste, cette dernière proposition, dont il est facile de reconnaître la vérité, n’est qu’une autre expression du résultat de 1 article (26), savoir que la durée moyenne de la vie est mesurée par le rapport de la population totale au nombre des naissances annuelles.

Celte niême remarque fait voir aussi, comme

nous Tavons dit dans les articles (6 j) et (66)? pour les lieux sujets aux mouvemens extérieurs, on ne peut point connaiti'e durée de la vie moyenne

en divisant la population totale par le nombre des naissances.

Pour former lexprèssion exacte de cette durée, il faut diviser la somme des âges des décédés parle nombre des décès. Or la première quantité ^ ou le dividende, est égale à la population totale plus ta somme des âges des arrivés pendant Tannée moins la somme des âges de ceux qui sont sortis pendant cette année; et le nombre des décès de Tannée est égal au nombre des naissances, plus le nombre des arrivées moins lé nombre des sorties. En examinant avec attention la valeur de ce quotient et celle de chacun des élémens qui le forment, on connaîtra précisément en quoi la durée moyenne de la vie diffère du rapport de la population totale au nombre des naissances. Les remarques de Tarticle (66) suffisent pour montrer Torigine de cette différence: mais le calcul précédent en donne la valeur exacte.

78. Si Ton veut poursuivre Texameii dont nous donnons le principe dans Tarticle (75) ^ on voit qu^il est facile de déduire le nombre des habitans de tout âge de Tobservation des décès annuels. En effet, supposons qu^après avoir fait Ténumération de tous ceux qui sont morts, ou sortis5 ou arrivés dans le cours d un an, 011 ne tienne compte que de ceux dont Tâge, au moment du décès, de la sortie ou de Tarrivée, surpassait un an, et que dans cet âge on prenne seulement la quantité dont il surpasse un an \ la somme de ces excédans d âge comptés aU'delà d'un an sera

1 f m,-h b,—a, )-hs ( wi3 aj) 4-5 (mt-H b, — a4> H-

4 (ms -h bâ —aj ) 4- c*c,

et remplaçant tontes les quantités telles que m . -H

a par leurs valeurs déduites des équations

(4) de Tart. 69) , on aura :

, ^Y.-V .) 4 - 3 CV>-V 3 ) 4 - 5 (V,-Vd 4 - 4 Cn-’^ 5 ) H-etc.

y 4.^ -i-v3-+-v,,4-v,-f- etc., c’est-à-dire le nombre des hahitans dont l’âge surpasse un an.

Si ensuite on, fait l’énumération des décès, des arrivées et des sorties, en ne tenant-compte que des habitâns dont les âges au moment du décès, de l’arrivée, et de la sortie, surpassaient 2 ans, et ne prenant dans leur âge que l’excédant au-dessus de 2 ans, la somme de ces excédans d âge sera:

1 (m 34 -b:i —33)4-2(01/,-4114—aii) 4 ' 3 [rasd~b 5 —a 5 )-|-etc.

Mettant au lieu des quantités telles que m^ + b — a;, leurs valeurs tirées des équations (4) de l’article (69), la somme sera :

i(V,—V: 0 -H 3 (V 3 —V 4 )+ 3 (V/, Vs)-h 4 (l^s—V 6 ) 4 -elc.

ou v4-V3-è-V4-i-V3 etc. c’est-à-dire le nombre de»

habitans dont l’âge surpasse 2. .

Ainsi, la proposition énoncée dans l’article (73) est très-générale : elle s'applique a un âge quelconque. 11 faut dans le calcul delà quaulité ainsi exprimée, la somme des âges des décédés plus la somme des âges dé ceux qui sont sortis moins la somme des âges de ceux qui sont arrivés , ne compter que l’elcédant de l’âge, à partir d’un âge donné, comme

5 ans J ou ^ ans, ou lo ans; alors la quantité calculée fera connaître précisément le nombre des habitans dont lage actuel surpasse 1 âge donné,

7g, Nous avons vu que ion peut choisir à volonté rintervalle de tenis qui est pris pour unité et sert à mesurer les âges. On pourra donc en prenant pour cet intervalle une demi-année ou un quart d’année, distribuer la population en un plus grand nombre de classes, et en général, connaître avec toute la précision désirable Tétât de la population de tous les âges.

Les remarques précédentes montrent distinctement cette conséquence fondamentale , que les registres du mouvement annuel de la population parvenue à un état constant, contiennent, sans aucune exception , les résultats qu’on pourrait déduire d un dénombrement effectif. Il faut seulement connaître la méthode exacte qui doit être suivie pour extraire par ordre ces résultats des registres annuels; cest pourquoi nous avons exposé avec détail les principes de cette méthode.

Lorsqu’on est fondé à faire abstraction du mouvement extérieur, ce qui arrive communément, la seule énumération des décès et des naissances fait connaître la population de tous les âges. Si dans les villes on joignait à cette énumération des naissances et décès, celle des arrivées et sorties, on pourrait suppléer au dénombrement effectif, et réciproquement, si, outre Tobservation des morts et des naissances, on possédait les résultats d’un

dénombrement fait avec soin, on en pourrait conclnre le mouvement extérieur, et U ne resterait rien à désirer jiour la connaissance générale de la population. On peut apprécier ainsi toute la justesse des motifs qui déterminent les magistrats à entreprendre dans les grandes villes une opération aussi nécessaire.

II faut toujours se rappeler: fque la population est considérée dans son étal devenu constant^ quoique sujette au mouvement extérieur; a" que les nombres par lesquels s’exprime le mouvement de la population nous représentent des valeurs movennes données par les observations de plusieurs années consécutives, et que l’usage de ces résultats moyens a pour but de faire disparaître les inégalités fortuites ou périodiques. On voit assez par tout ce qui précède, combien il importe d’inscrire exactement dans les registres annuels des décès, l’age de chaque décédé; mais cette condition est difficile à remplir, et l’on doit supposer qu’i se trouve un très-grand nombre d’indications imparfaites. Voici deux remarques importantes à ce sujet.

So. Premièrement il n’est pas indispensable de connaître l’age précis de tous les décédés. Il suffit qu’il y ait un nombre considérable de décès annuels pour lesquels soit l’âge donné exactement, et cette condition est beaucoup plus facile à remplir pour une partie de la population que pour la généralité des liabitans. Si de plus cette énumération n’est point bornée à certaines professions, à un seul sexe ou à

des circonstances particulièrca ; mais si elle admet line très-grande diversiic d age, de prolèssioi} et de toutes les conditions de la vie, on formera Tétât exact dé celtede la population, et Ton sera fondé a comprendre dans la même loi la population entière- C'est pourquoi il suffira d'observer exactement le nombre loïal des naissances annuelles, et après avoir trouvé la table qui représente lu population partieile^ on axigmentera tous les nombres dans un même rapport, en sorte que celui qui exprime le nombre annuel des naissances devienne égal au nombre total déterminé par Tobservation.

8k Secondement 5 si les âges des décédés ne sont point exactement connus et sont seulement indiqués d'une manière approchée, les valeurs que Ton en déduira pour représenlcr l'état de la population seront elles niêmcs incertaines, maïs Terreur de ces résiilrats aura des limîtes délerminées, et du moins on connaîtra ces résultats par approximaliom

En général, c'est une même chose que de désigner exactement Tâge dans les registres annuels des décès, ou deniimérer exactement pour tous les âges la population existante. Toute la précision de la première opération se trouve dans la seconde j mais s’il y a incertitude sur les âges marqués dans les actes de décès ; si , par cxcmpl \ rerreur pour chaque âge pouvait être d'une aunéc, soit en plus, soit en moins, on admettra pour règle [îratique, en déduisant de ces actes Texprossion de la population totale, que Terreur vraisemblable du calcul

sera, soit en plus, soit en moins , au-dessous de la moitié du nombre des naissances annuelles. Les limites de cette erreur peuvent se déduire des équations rapportées dans les articles. (6) et (69

V Z. Remarques diverses.

82. Nous indiquerons maintenant une partie de la question qui dépend de la théorie mathématique, mais que nous ne devions pa's omettre entièrement, parce quelle est très-propre à rendre sensibles les, conséquences que nous avons exposées.

La loi constante de la population peut être exprimée par une construction géométrique ( Voyez fig. ) Il faut concevoir que l’on trace au-dessus de Taxe oh h’ h” etc. une certaine courbe v v’ etc. les lignes oh, oh', oh”, que l’on nomme correspoiidenlaiix perpendiculaires vh v'h^ v"h’ 'que l’on nomme ordonnées. Les abcîsses croissantes oh oh’ oh” désignent les âges, eu sorte que les différences hh' h'h” sont les teras écoulés. Les ordonnées vh v'h' v”h" représentent les nombre 1 respectifs des vivans de tous les âges. La première ordonnée ov« exprime donc un certain nombre d’hommes nés ensemble, et les ordonnées suivantes expriment combien ü en existe encore après un tems donné. Chaque perpendiculaire montre le nombre des survivons et cette perpendiculaire décroît insensiblement , à mesure que le tems s’écoule, jusqu’à ce quelle devienue nulle, lorsque l’abeisse représente la plus longue durée de la vie.