Nous nous bornons ici à exposer les résultats

de ces constructions ; ils dérivent des propriétés élémentaires des lignes courbes :

84. i“.ba population totale, ou le nombre des vi- ■vans de tout âge est exprimée { fig. 1 ) par l’aire totale de la courbe v v' v" etc. ; c’est-à-dire par la surface comprise entre la courbe et les droites ov*et ov«. Une partie quelconque de la population . par exemple, le nombre des vivans dontl’àge est compris entre oh et oh' est exprimée par Taire partielle hvv’li' que la courbe termine au-dessus de l’intervalleHh’, et qui est comprise entre les ordonnées vh et V Ce n’est donc point l’ordonnée qui est la mesure proprement dite du nombre des habitans d’un âge marqué ; c’est Taire partielle qui a pour base l’intervalle fini ou infiniment petit des limites de cet âge.

85 . 2”. Le nombre total des naissances annuelles K est exprimé (fig. 1) par Taire rectangulaire ov« ni qui a pour hauteur la première ordonnée ov«et pour base l’intervalle 01, ou Tunité de tems.

Les nombres V, V, V3 etc. inscrits dans la table ( B ), article (8), sont représentés, par les aires partielles qui reposent sur les intervalles successifs 01 12 23 égaux à Tunité, et qui sont terminés par les arcs de la courbe.

Les nombresM„ M, M, M,, etc., inscrits dans la même table sont représentés par les petites surfaces mi„m,m.,mm4 etc. La première bv«n est terminée par deux droites et par un arc de la courbe; la seconde m. est terminée par les arcs bv« et bc ' et par la

droite v«c'; la troistèiiiem, est terminée par les arcs bccd', et parla droite bd' , Il en est de même de m, mm-, etc. les arcs bc' ed^ de' ef', etc., sont respectivement les mêmes que bc cd de ef , etc.

86. 5 ". Pour connaîire par ces constructions la durée moyenne de la ^ie entière, il faut (fig. 2) former un reclarjgle v« 0 u, y„ dont la première ordonnée soit v«, et en augmenter la base o jusqu’à ce que l’aire du rectangle soit précisément égale à faire totale comprise entre la courbe vaw*' et les droites ov« ova. Cette longueur ou„ est la mesure exacte de la durée moyenne de la vie.

Si l’on veut connaître la durée moyenne de la vie, à partir d’un âge donné oh, il faut former un rectangle v h u , v., dont la hauteur soit fordouoée vh, et augmenter la base h 11,, jusqu’à ce que faire thu .v, du rectangle soit égale à faire restante comprise entre la çourbe v v« et les droites hv hv»,

87. Pour connaître la durée probahie de la vieoiieette durée intermédiaire , telle qu’il y a autant d’hommes qui parviennent au dc-là qu’il y en a qui meurent avant de l’atteindre, il faut marquer (fjg. 5 ) le milieu P de la première ordonnée, et par ce point p mener une parallèle aux abeisses jusqu’à la rencontre de la courbeaupoint æ, la longueur p® mesure la durée probable de la vie entière.

Si 1’ on veut connaître cette durée probable à jîar- , tir d’un âge doniiéo h, il faut marquer le milieu p' de l’ordonnée v h, et par le point p* mener une parallèle à faxe h v* jusqu’à la reucon-

tre de la courbe au point La longueur p^°'estla mesure de la durée probable de la vie à partir d’un âge donné.

88. 5 ". Pour connaître l’âge intermédiaire B art. (21) tel qu’il se trouve dans la population existante, autant d’hommes qui ont un âge plus grand, qu’il y en a qui ont un âge moindre, il faut concevoir (fig.4) une ligne Bb qui partage en deux parties égales l'aire totale que la courbe termine , ensortc que la partie oB de cette aire, qui est la gauche de la ligne soit égale à la partie blîv» qui est a la droite.

89. 6”. Pour connaître rôy/e moyen, c’est-à-dire l’âge que l’on trouverait si l’on ajoutait ensemble les âges actuels de ceux qui composent la population , et si l’on divisait la somme de ces âges par le nombre des vivans ; il faut concevoir ( fig. 5 ; une axe Aa servant d’appui au-dessous de l’aire totale v«o Vtf , et tel que cette aire demeure en équilibre, le poids de l’aire partielle située à la gauche' de l’axe faisant équilibre au poîd de l’aire restante située à la droite. La distance comprise entre l’axe Aa et la première ordonnée ova, niesure Fâge moyen ou cet âge qu’aurait chacun des vivans, si tous mettaient en conmiun leur âge actuel.

90 7°. L’efFetdela mortalité à un âge donné, oùle nombre des hommes de cet âge qui meurent dans un certain laps de tems pris pour unité, est aussi représenté par la ligure de la courbe. Pour connaître la mesure de cet effet, il faut par l’extréinlé

T de l'ordonnée vh, qui répond à l’âge proposé ; mener la tangente vtT qui rencontre au point t une ligne ti, parallèle à l’ordonnée vh et distante de cette ordonnée d’un intervalle hi égal à l’unité de tems. Si du point d’intersection t on abaisse une perpendiculaire tm sur l’ordonnée vh , la ligne vm sera la mesure de l’effet de la mortalité, à l’âge marqué par l’abcissc oh.

91. S°. La cause qui tend à détruire la population n’exerce pas la même action à tous les âges; elle est beaucoup plus intense an commencement et à la fin de la vie, que dans la partie moyenne de son cour 5^. La mesure de cette intensité variable avec fâge n’est pas la ligne vmqui exprime l’effet absolu de la mortalité; elle est le rapport de cet effet au nombre des vivans de l’àge proposé. Pour connaître ce rapport, il faut par le point v et par le point i extrémité de la parallèle it, mener la ligne vni qui rencontre au point n la perpendiculaire mt; la ligne ran représente la valeur du rapport.

La ligne lu T, ou la sous-tangente, fait connaître le rapport inverse ; elle exprime la stabilité de la vie â un âge quelconque.

92, Chacune des quantités que l’on vient d’énumérer , et dont les constructions précédentes donnent la mesure, pourrait-elle meme être représentée par l’ordonnée d’une courbe. On peut aussi joindre aux tables de population ou de mortalité des colonnes où sont contenues les valeurs numériques de ces résultats correspondans à tous les âges. Ces figures

011 ces tables rendent plus manifeste Vinfluenee des diverses conditions sur la marche et la durée de la vie humaine. On pourrait encore représenter , par des constructions semblables, les résultats qui cori' cernent le mouvement extérieur; mais il serait inutile d’insister sur ces applications qui se présentent en quelque sorte d’elles-mémes.

Il existe toujours une certaine ligne courbe qui représente, dans des circonstances données , le décroissement graduel d un grand nombred hoinmes nés ensemble ; mais il n y a aucune loi analytique régulière qui réponde à la ligure de celte ligne. On ne peut douter d’ailleurs quelle ne subisse des changenicns considérables en vertu d’une multitude de causés naturellos ou physiques , dont l’action serait long-tems prolongée. Cette figure serait celle d’une courbe logarithmique si la stabilité de la vie était la même à tous les âges : mais cette supposition est inadmissible. On se rapproche un peu plus des faits observés en comparant la partie moyenne de la ligne au cours d une droite inclinée vers Taxe. II faut se rappeler que les parties dccette courbe très-voisines des deux extrémités et surtout de la première, sont peu connues et sujettes à de grandes variations.

90. Les auteurs des premières recherches sur la théorie mathématique de la population ontsupposé la loi parvenue à son état constant, et ils ont omis t!e considérer l’effet du mouvement extérieur, parée qu’ils voulaient appliquer leurs principes,;! des

ras où ce mouvement est peu sensible. Nous avons donné à ces recherches une étendue nécessaire, en y comprenant la question du mouvement extérieur; nous y avons ajouté aussi l’analyse du mouvement variable: mais nous ne donnons point ici cette analyse, dontilseraitpèut-êtrefort difficile de présenter les résultats sous une formeélémentaire. Au reste les notations employées, dans le cours de cet écrit, ont l’avantage de conduire immédiatemment aux expressions diHerentielles qui conviennent ’à la question prise dans le sens le plus général. On forme ces expressions , en attribuant une durée înfmitnent petite à l’intervalle que nous avons désigné comme unité. Au moyen des équations générales, toute la recherche se (trouve réduite à l’application des principes ordinaires de l’analyse mathématique. On parvient ainsi à connaître les lois que suit la population dans ses divers changemens, les indices certains et l’étendue de ses progrès , l’effet de la suppression d’une cause de mortalité , en un mot toutes les relations mathématiques qui subsistent entre les divers élémens d’une population variable.

g 4 - Nous terminons cet exposé des principes généraux par une remarque concernant la durée moyenne des générations. On doit entendre par cette durée l’intervalle moyen qui s’écoule, depuis la naissance de l’homme, jusqu’à celle du fils qui lui succède, dans une ligne généalogique moyenne. On considérera séparément une de ces ligues

généalogiques J et rôii niarquera l’époque précise de la naissance d un liomme, celle de la naissance de son père, et successivement les époques de la naissance du premier aycul, du second ^ du troisième, ainsi de suite, jusqu a ce que le nombre des ascendans males soit assez grand, comme vingt ou trente* Connaissant la durée totale de ces intervalles généalogiques, on divisera cette durée par le nombre des intervalles et Ton trouvera Tintervalle moyen propre a la ligne que Ton a choisie* Si Ton opère de même par rapport à un grand nombre de successions du même genre; et si ayant calculé chaque intervalle moyen , on ajoute ensemble tous ces intervalles, pour en trouver la valeur moyenne, on connaîtra la durée moyenne defe générations viriles.

C’est pour donner une définition exacte^ que nous indiquons ce procédé; on y peut suppléer dans l’application , en évaluant les durées des générations comtemporaînes.

Cette question qui appartient à Thistoire naturelle de rhomme, n’avait point été soumi'je à une analyse régulière. Elle intéresse les sciences historiques, et c'est un élément principal de la erhronologie ancienne. Oo pourrait admettre une définition différente de la durée des générations humaines, par exemple ne point se borner aux généalogies viriles, ou restreindre lobjet de la recherche aux séries qui procèdent du père au premier né Jï est

facile de voir comment le calcul serait établi ; mais dans tous les cas, le nombre des observations cjuc ce calcul comprend, doit être assez grand, pour que le résultat soit déterminé avec précision. Ce jioinbre crobservations, qullest nécessaire de réu* nir, et la probabilité qui en dérive, ne peuvent être mesurés que par Tanalysc mathématique.

L'intervalle moyen dont nous parlons est beaucoup plus grand, dans nos climats, que dans les contrées méridionales de T Afrique et de FAsie- Il ne dépend pas seulernent des conditions naturelies, mais aussi des usages civils. Dans plusieurs états de Fancienne Grèce j où des lois, dont les motifs sont en partie ignorés, retardaient beaucoup Fage commun des mariages , la durée moyenne des générations était comptée de 53 ans; c'est le fondement de toute la chronologique grecque. Ensuite les historiens de ce pays, comme Hérodote et Diodore, ont transporté à d'autres tems et à d'autres climats une évaluation propre à FAttiqiie, Cest pour cette raison qu'ils ont fait une évaluation erronée des tems historiques des autres nations. Il faut remarquer aussi que Fintervalle dont il s’agît diffère beaucoup de la durée moyèune des successions royales qui procèdent suivant une autre rcgle ; la valeur moyenne de cette dùVée est mieux coh nue » par ce que nous possédons un grand nombre d'observations constantes.

95. Oh n'a point expliqué dans cet écrit tous les usages des tables de mortalité : niais on én a dé-

montré tous les principes. Ces tables qui étaient entièrement inconnues des anciens, et dont l’orîgîne ne remonte qu’au indien du 17” siècle, intéressent plusieurs sciences, et servent de fondement à des établisscmens utiles. En les supposant {lé*duites avec beaucoup de soin des registres publics, elles représentent la loi moyenne qui convient à la masse de la nation : mais il est évident que l’application qu on en ferait à une personne désignée ne peut être qu’incertaine. Les résultats généraux sont tiais en eux-mêmes; et ils ont le plus haut degré* de certitude si I ou considère un très-grand nombre d hommes: mais ils sont seulement probables , si on les rapporte a une seule personne* Toutefois ies conséquences que présentent ces tables sont très-importantes pour radministration publique: car elles ne sont sujettes à aucun doute raisonnable ^ dès que 1 on admet la multiplication indé-^ finie des chances.

Les Yaleurs moyennes ne dépendent point des circonstances que nous jug ons fortuites ; elles sont déterminées par des causes générales, que souvent il est difficile de discerner; mais que Ton sait é^tre sensiblement constantes ; elles portent 1 empreinte durable de ces causes^ et ne sont modifiées que très-lentement, par le progrès séculaire des institutions el des mœurs* On ne peut être exposé a aucune erreur grave, dans F usage public de ces résullats généraux, si incertains pour ios particiiliers, et si coustaus; pour les ugtious*

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