Pour le découvrir, je reprends la formule générale
* Kl >» f iJ'.Ml 1 Ut .1 'i
» i:iiî ifo
+ V — 1 sin mx = p“S. + y/— 1 . p-S ;
rtl.vl — •, -}- T : =b-3S. •> m- 1 •
et je remarque que la démonstration présentée ci-dessus jevient tout uniment à égaler ici la partie réelle à la partie réelle , et l'imaginaire à l’imaginaire; ce qui donne sur-le-champ les deu* équations incomplètes dont il s’agit. • i- 1 O - n
Mais si, dans le premier membre cpsntr-f- y— h jjj, mx j a partie réelle cos mx, et la partie imaginaire j/ — 1 sin ma:, sont bien en évidence dans tous les cas possibles, il n’en est pas de même dans le second membre p~S,+ y/— , . p ~S . cav ^ loi( , UP | e tennc
p"S„ paraisse réel, il ne l’est cependant que pour la .valciir .réelle de P" (en supposant même qu’il y en ait une, ce qui c*ige que p ne soit pas négatif quand m est un exposant de dénominateur pair). Mais en général ce premier terme p"S, est de la forme a-fé»/—, j et il en est de même de l’autre terme y/—, .y S. ,. —^4,
Si dope on veut former, par la comparaison, deux équations bien précises, U finit faire en sorte que la partie ijéelle et la partie imaginaire soient aussi nettement séparées dans te second membre qu’elles le sont dans le premier. . t U =: i zirv
28. Pour y parvenir, je désigne paf'rFJu vafêuF a«êll« et positive de l’expression p ", en y considérant le cosinus^ pris d’une manière absolue. Alors toutes les valeurs de p " seront exprimées générale-
ment par n(dbi)*, ou par
pr e= n (cas mcn -f- y/ — i sin me<&) ,
/zsr étant la demi-circonférence, et le nombre e un entier quelconque, pair dans le cas de p ou cos x positif, et impair dans le cas delcos x négatif.
Substituant cettç valeur générale de p“ dans la première équation , d’où l’on est parti, et mettant plus généralement, au lieu de l’arc x, l’arc e'<s r±x, on aura cette équation
cos m(e'<® , =fcx)-f- y/ — i sin»»(e'-ar± x)
= II (cosmewS. — sin mevsrS) -f* fl (sin meurS 0 -f- cos mevrS) y/— i ,
où les parties réelles et les parties imaginaires sont nettement séparées. On aura donc, eu comparant, les deux équations exactes
cos m (e'<ar i ,r) = n (cos/newSo — sinmcwS), sinn»(e'<a , ‘tx) = n (sin mco-S, -f- cosme-orS),
où il ne reste plus qu’à voir quels sont les entiers e' et e qui vont ensemble pour la correspondance parfaite des deux membres dé Ces égalités. Or, si l’on imagine que l’are x diminue jusqu’à l’arc o, la série S devient o , la série Si Be réduit à t , et l'on a aussi fl = r. Les deux équations précédentes deviennent donc cos me'iar = cos mett , et sin me & = sin mensr ■ d’où il résulte que, pour l’accord des formules, les deux entiers e et b sont toujours égaux entre eux.
ag. Ainsi les véritables Formules géuérales sont • - 1 : * 1 r ' * •
cosm(eia-=fcx) = n(cosmcw.S. — sin m&st . S) , sium (car dbar) sa II (si umear. S. ■+• cosmcw.S),
- où le nombre * est le même dans les deux membres, et doit être pris depuis o jusqu’à an; (les nombres pairs o , a , 4 » 6, etc. répon-
dant au signe «f* , et les impaire 1 , 3 , 5 , j, etc. répondant au signe — de l’angle x, que je suppose inférieur à l’angle droit).
3o. Quand le nombre m est entier, ces formules reviennent aux formules ordinaires par l’évanouissement de sin m&ar et par la réduction de cos mem à ± 1 . Mais si m est fractionnaire, la même chose ne peut avoir lieu que pour un certain arc ar-f-eer, e étant un nombre déterminé qu’il est facile dé trouver : et cek même n’arrive pas pour tous les exposans m; car, m étant une fraction de dénominateur pair, et l’arc que l’on considère étant «■—-», de cosinus négatif ; comme le nombre e doit alors être pris parmi les impairs , et qu’il n’y a aucun nombre impair e qui puisse donner sin me®=o. il en résulte que , parmi tous les arcs du même sinus et du mémo cosinus donné, il n’y en a pas un seul auquel les formules ordinaires puissent convenir. Il n’y a donc que nos formules générales qui soient applicables à tous les exposant possibles, et à tous le s arcs d’une même
taugente donnée ï.
3 ■ . Mais si l’on vent se borner aux valeurs de coamx et sin mx, uniquement relatives à Parc simple que l’on considère, on n’aura qu’à faire, dans nos formules, e = o, pour le cas de x plus petit qu’un droit, et l’on aura les formules ordinaires ; d’où Pou voit d’abord que ces formules conviennent à un exposant «juelconque, pourvu que l’angle soit inférieur à l’angle droit.
V • I . il , ....
3a. Ensuite, pour un arc de cosinus négatif, on fera c— 1 , ce qui revient à considérer dans la formule i’arc <nr — x plus grand qu’un droit ; et l’on aura ' ' “
cosm^ — x) — n(coswsr . S„ — sinmca-.S), sin m{nsr — x) = n(sinm<ar . S„-+- cos m®.S),
qui ne reviennent plus aux formules ordinaires. D’où l’on voit que,
meme en se bornant aux valeurs relatives à l’arc simple , les formules ordinaires se trouvent fautives , quand le cosinus de cet arc est négatif.
IY.
Développement des mêmes fonctions cosmx et sinmx par les puissances descendantes du cosinus de l'arc simple x.
33- Au commencement de ce Mémoire , nous avons développé cosmx et sinmx en séries suivant les puissances ascendantes du cosinus de l’arc x que l’on considère: mais les géomètres ont aussi donné des formules pour développer ces fonctions par les puissances descendantes de 1a même variable, ce qui présente de nouvelles difficultés qui méritent un examen tout particulier.
En supposant l’arc x plus petit«qu’un droit, et par conséquent le cosinus p positif, on a trouvé plus haut les séries exactes
cosmx = p m S., sinmx = p m S,
qui contiennent les puissances de p et q mêlées ensemble : or, au moyen de l’équation q' =. i — p *,o n pourrait faire disparaître toutes les puissances paires de q , et il viendrait deux séries qui procéderaient suivant les puissances descendantes de p ou cosx, ce qu’il s’agit d’obtenir. Mais , comme il serait diffi cile d’arriver à des séries régulières, par la simple substitution, on observe qu’en vertu des deux équations connues
a cosx . cosmx = cos(m -f- i)x -}- cos(m — i)x, acosx. sinmx = sin(m-t-i)x + sin(m — i)x,
les cosinus et sinus d’arcs multiples forment toujours deux séries récurrentes dont l’échelle de relation est acosx, — i. Ainsi, en partant des deux premières valeurs de cosmx et sinmx pour m= o
et m= i , il est facile de s’élever aux autres, et de fermer deux tables qu’on peut étendre aussi loin qu’on vent, et d’où l’on tire les deux formules suivantes
cos mx = p m Ja" - ‘ ■*— p -f- — - . a" -5 p — etc., j
sin nue = p"[ ~ — ( m — a) a**~ ) a*~*p — etc.} 7.
(Voyez le Mémoire d’Euler, Nova Acta Petr., tome IX, et le Calcul des Fonctions de M. de Lagrange, Leçon X).
34- 11 paraît que ces formule» n’ont été trouvées que par tâtonnement; mais on peut les démontrer a posteriori, en faisant voir que, si elles se vérifiaient jusqu’à un entier quelconque ni, elles s’étendraient au nombre m-f- 1 ; d’où il résulte qu’elles conviennent à un entier quelconque. (Voyez le Calcul diffèr. de M. Lacroix).
Mais, par la manière même dont ces séries sont obtenues, on peut douter qu’elles soient applicables à un exposant m fractionnaire: on trouve même que, dans le cas de m entier et positif, ces séries vont à l’infini, et que, si l’on tient compte de tous les termes, elles donnent, pour cos mx et sinmx, des valeurs fausses. 11 est vrai que , par la nature des tables dont ces séries ne sont que les termes généraux, on ne doit aller, dans ce cas, que jusqu’aux terme» qui contiennent des puissances positives de p. Mais, comme les termes qui suivent, dit M. de Lagrange, ne sont pas nuis, on ne voit pns, a priori , pourquoi on les doit rejeter; et l’on voit encore moins ce que la formule exprimerait en ne les rejetant pas : difficultés singulières que l’auteur se propose de résoudre dans la Leçon suivante.
35 . Euler est le premier qui ait reconnu et corrigé cette espèce d’imperfection des formules dont il s’agit, et il a fait voir que, pour être générales et nppUcabtes à toutes les valeurs de m, elles devaient être complétées par des formules toutes semblables , mais où l’expo-
RECHERCHES SUR L’ANALYSE
tant m est négatif. M. de Lagrange, danj la Leçon XI* de l'ouvrage cité, parvient, par une analyse à peu près semblable, à cette même conclusion. De sorte que, si l’on représente, pour abréger, la première série />*• | a** * — -f- etc. J par p“O m , et la même
série où l’on changerait m en — m, par p~ m 0 „, on a pour le développement complet de cosmx suivant les puissances descendantes de cosx , la formule générale
• cosmx s= jTO* <+■ *0„.
36. Maintenant t>n voit que, si m est un nombre entier, celte formelle, quoique prolongée à l’infini, revient toujours à une forme finie , par la destruction mutuelle de tous les termes qui contiennent des puissances négatives de p ; de sorte que le résultat est le même que celui qu’on obtiendrait par la simple aériep^O., en n’y conservant que les puissances positives de p ; ce qui s’accorde parfaitement avec ce qu’on a vu plus haut.
Mais, si m est fractionnaire, dit M. de Lagrange, les puissances négatives de p ne se détruisent plus, et la réunion des deux séries p" O. et /?“** 0„ est nécessaire à l’expression complète de cos mx.
< • ' * 3ç. QuaBt à sin mx, si l’on différencie la formule précédente
par rapport à x, on trouve, en observant que ^ est égal à — <f , la
formule
sin mx = ç(p m I» . ..,
où je désigne parp"l., la série p"j a— 1 ^ — (m— 2),3' s ^+ etc. J,
et par , 1a même série où l’on change m eu — m. Et l'on
doit appliquer à cotte expression tout ce qu’on a dû de la prennéra relative â ooamac.t .««J .< ».j ; *.’«• •»
DES SECTIONS ANOüWÏRKS.
Imperfection des formules précédentes.
38 - Telle» sont donc, d’après Euler et M. de Lagrange, les véritables formules générales qui expriment 00s mx et sinmjp par les puissances descendantes de p ou cosx.
Mais, quoique ces formules paraissent assez bien établies, et même qu’elles se vérifient pour un exposant entier quelconque, on va voir qu’elles sont tirées d’une analyse défectueuse , et qu’elles n ont pas du tout la généralité qu’on leur suppose.
Et en effet , pour les démontrer ^ on considéré d’abord 1 expression générale de cosmx , qui est
(/>+ vV —"«)“+ ( p — Vp'— 0"
cosntx = -t j-* >
et l’on observe qu’il n’y a plus qu’à trouver le développement des binômes suivant les puissances descendantes de p. Or, par une analyse qu’il est inutile de rapporter, on trouve iFabord , pour le premier (p + Vp l ~— 'Y> ce développement général
(p + s/p^Y^W— m(yp)^ + ^—^(^p) m --*== a p* 0 ~ ,
et changeant m en — >01, o » a tQiU desmfo celui de \p+ Vp'~ l )“"> qui équivaut à — vV“~ 1)’ : d’où l’on conclut sus-fochamp la formule générale dont il s’pgit*
Mais, sans revenir ici sur le» calcul» d’Euler ou de Lagrange, ou peut reconnaître au premier coup-d’qeil que fie développement de {p+ \/p % -^\y est tont-à-ifoàt fautif dans la question que l’on considère. Car, p ou epsm étant ipi essentiellement plus petit que l’unité, (/> + vV‘— 0“ 9 nécessairement toutes les valeurs imaginaires, fondis que la séyc a pTO^ 9 an rooips une valeur
réelle. L’équation (p-\-Vp‘ — 1)"= a/?"O m ne peut donc ici avoir lieu; et si l’on veut remonter à la source de l’erreur, on verra qu’elle est dans la supposition tacite de 1. Dans l’analyse d’Euler et dans celle de Lagrange, on détermine même le premier coefficient de la série par le cas particulier de p égal à l’infini; ce qui répugne tout-à-fait à la nature de la question. A la vérité, on peut trouver ce même coefficient d’une autre manière, en cherchant, par le binôme de Newton, le premier terme du développement de {p -f- S/p* — i )“ ; mais le vice du calcul y est toujours le meme; car, pour avoir ce premier terme, on commence par réduire le radical \/p ‘ — i , qui est ici imaginaire , dans la série
P a p (a p )‘ (a pf (a P y (a p)i (a/») 1 ' etC ‘ '
qui est toute réelle, et par conséquent iàulive, à moins qu’on ne suppose p>i. Ainsi, dans toute cette analyse, on suppose toujours p ou cosx plus grand qne l’unité. Il est possible que, dans ce cas, la série zp* O, soit le développement exact de (p-\-\Zp‘ — 1)” (et cela même est vrai); mais 1 ne pouvant plus représenter un cosinus, l’expression (p-f- Vp‘— 1)* ne peut plus répondre à une quantité de la forme cos mx-f- \/ — 1 sinnur; et la formule générale qu’on a tirée de ce développement cesse d’être applicable aux lignes trigonométriques dont il s’agit. Elle ne peut plus convenir ’ qu’à des cosinus d’angles imaginaires; ou plutôt, comme on le verra plus loin , elle convient à des abscisses de secteurs réels considérés . dans l’hyperbole équilatère.
39. Cette étrange hypothèse de p=.a>, dont Euler lait usage pour déterminer les coefficiens de sa formule, n’a point échappé à ce grand géomètre, qui en fiait expressément la remarque à la fin
de son Mémoire. 11 avoue que ce cas particulier dont il s’est serv^, et qui est si contraire à la nature des choses, peut rendre les formules fort suspectes : mais si l’on fait attention, dit- il, que le développement de l'expression (/> -f- vV* — i)“-f-(/> — \Zp' — j)* est d’abord établi d’une manière générale, et sans aucune idée d’application à la théorie des angles, tous les doutes doivent s’évanouir d’eux -mêmes, surtout quand on observe ensuite que la formule s’accorde si bien avec la vérité.
40. Mais il faut convenir que ce raisonnement ne lève aucun doute. Car, en supposant même que la formule se vérifie dans les applications (ce qui n’a pas lieu), il resterait à voir pourquoi une formule, tirée d’une analyse qui suppose nécessairement p> i , serait encore bonne et applicable lorsque p est < i , et peut ainsi répondre à un cosinus.
S’il en était ainsi, il faudrait prouver que celte supposition de p > i , qui est actuellement nécessaire pour l’exactitude de chacune des deux équations
(p + Vp‘ — 0“" = t-p— 0„,
disparaît d’elle-même dans l’addition de ces formules, de manière que la formule résultante est également applicable aux cas de p > ou < 1 . C’est, en effet, ce qui arrive dans le cas où l’exposant m est un nombre entier positif ou négatif, comme je vais le faire voir tout à l’heure; mais c’est ce qui ne peut plus avoir lien dans le cas de l’exposant m fractionnaire.
41. Pour le démontrer, je suppose qu’ou développe, par la for-' mule de Newton, la puissance m' du biftome p -f- \'p‘— i , on aura d’abord, en séparant la partie rationnelle de la partie affectée du radical,
fa
0 +vV-,)"=< •+
+ V P '~ « {mp*- 1 -}--
P* < (/)*— O' + Ctc.
0+etc.j,
on aura de 'même
{p—Vf — «)"=>
—V / p ‘— i a - 'y - -? —*(/>•— O+ctc.}
Si l’on ajoute ces développenjens , la partie affectée du radical [/ p ‘ — i disparaît, et il vient simplement
(p + VV—i)’ + (p— V'V— ')"
= * \p“ + p— * (p*— i) + — m ~ ~^ p“~* (p*— i )» 4- etc. | ,
équation parfaitement exacte, quel quo soit m, et quel que soit p plus grand ou plus petit que l’unité.
Si, avant de faire l’addition des deux expressions précédentes, on avait substitué au radical \/p*—\, le développement
p — — -r~\ — etc.,
ap (ap)’ (a pŸ
qui n’eat légitime qu’autant que p est > i , les parties provenantes de ce radical développé ne s’en seraient pas moins détruites dans la somme des deux formules, et par conséquent on pourrait encore y supposer sans erreur ^quantité />< i , ou faire p= co$x, auquel cas le premier membre (p-f- Vp*—»)" -J -{p — \/p'- — «)" répondrait précisément à acos mx. Ainsi, la fausse supposition qu’qn
DES SECTIONS ANC.VLA.mES.
aurait faite se serait encore évanouie du résultat, qui resterait aussi exact qu’auparavanf. ,
Mais, au lieu de former le développement de (j > — S/p'—^Y par la voie que je viens de suivre, on observe qu’on a l’équation identique
(p — Vp'->Y = (?+ V>*— 1)~“»
qui est vraie quel que soit p; et que par conséquent, pour avoir le développement de ( p — \/p'—\) m , il suffit de changer m en — m dans celui de ( p -J- V/>‘ — ij“, lequel répond à la série ifTO m ,
On a donc cette nouvelle expression de {p— V/>* — •)"
m.ra+i .m + 2.m+3
laquelle, en y mettant, au lieu du radical Vp ' — », *a valeur — jj— «le.) répond à la série s /* r *"0.«-
Or, ce nouveau développement de (p — V/**” O"? qui ne contient que des puissances p -' *, etc., ne peut être
identique avec le premier, où les puissances p m ~‘ y p“~*, etc. sont toutes differentes, à moins que m ne soit un nombre entier.
Donc , si m est une fraction , 01 » ne peut plus dire que, dans l’addition des deux formules
( p + Vp' — iY — yo. Y! * '
(p - VP^T) = 2p~*0 m ,
les terujes qui projiiatment du développement de Firrelicmnelle
RECHERCHES SUR LÎAÏ1ALTSE
Vp' 1 se détruisent mutuellenient, et que par conséquent la supposition de p~> i ait disparu du résultat.
Mais si m est un nombre entier, le second développement de ( p — \/p' — 1 )“ ne contenant aucune puissance p~“, p~ m ~*, etc. qui ne se trouve aussi dans le premier, ces deux développemens de la même quantité seront nécessairement identiques; et par conséquent, dans l’addition des deux formules précédentes, * tout ce qui provient du développement fautif de \/p * — i disparaîtra, comme plus haut, du résultat, qui par conséquent sera encore applicable dans le cas où p est < i , et répond ainsi à un cosinus.
4i. On voit donc par là que la formule d’Euler ne peut convenir qu’à un exposant m entier, auquel cas elle doit rentrer, et rentre en effet dans l’une ou l’autre des deux séries (A) et (À') qu’on a trouvées dans le premier paragraphe, et qu’on écrirait simplement dans l’ordre renversé : ce qui n’apprend plus rien de nouveau.
Cependant Euler et Lagrange regardent cette formule comme applicable à tontes les valeurs de m ; et dans son Mémoire , Euler donne l’exemple particulier de m = -j, où il trouve que la formule se vérifie. En effet, si l’on pose, pour abréger, ap = u, la formule donne, dans le cas de m = ;,
/ . i 5 • ai
1 ' U aut/n 8» Vu ]fi«Vu
3 cosi* = é ;
\v~u + ■+■ SïïtTÏÏ + etc ’
— etc. ,1
d’un autre côté, on a acos \ x sss v/j + ô ; or y^a -}- u développé en série suivant les puissances descendantes de u, donne
V u ~^~ y u zuÿu iu'\/u 8«Vu*^*8uVu e **->
ee qui est précisément la réunion des deux séries précédentes dans le développement de acos-;X.
Mais il faut observer, à cause de ^ < i , que ces développemcns sont
illusoires, et aussi fautifs que celui de \Jp' — i =/) — ^ (»/>)* — l * c ‘
dans le cas de p < i. Eu supposant, par exemple, un angle x égal aux deux tiers d’un angle droit, on a p = ± et it= i , et la vraie valeur de acos^x est \/ 3 , qui est <a : or, par la série, on trouverait
acosix= i + t — l+ï — f + t— 7?+fg — etc. toujours >a, ce qui est lout-à-fail faux.
Ainsi, cet exemple de = j est une nouvelle preuve de ce que j’ai avancé; et les formules dont il s’agit ne peuvent être exactes, dans le cas de m fractionnaire, que lorsqu’on suppose p^> i. Alors les séries sont convergentes, mais, comme je' l’ai dit, elles ne répondent plus qu’à des sections considérées dans l’hyperbole, et c’est ce qu’on verra au n° 5 a.
43 . O11 a vu plus haut que, si m est un nombre entier, la fausse supposition de p > .1 disparait dans l’addition de nos deux séries et op~“ 0 „ : mais il est évident que la même chose n’a pus lieu quand , au lieu de la somme, on prend lu différence de ces deux expressions. Ainsi, mèinc dans le cas de l’exposant entier, 011 u’a point l'équation
1)” — (p — V>*— ')" = 2p m O m — *p~ m 0 „, à moins qu’on ne suppose p > 1. On ne peut donc avoir av/ — 1 sin mx = np“O m — op— 0 «, cl il faut rejeter cette expression de irinlMX, non point par la raison
feECHERCHES SUR L’AS ALT SE
qu’elle serait embarrassée d’imaginaires, mais bien parce qu’elle est tout- à-fait fausse. ‘ •
44- Quant à l’autre formule qu’on a donnée pour sin nue, et qu’on obtient sur-le-champ , par la simple différentiation de celle qui exprime cos mx, il faut lui appliquer tout ce que j’ai dit de cette dernière , et en conclure qu’elle ne peut être elacte que dans le cas de l’exposant m entier.
Recherche directe des véritables formules.
45. Après avoir montré le défaut des séries précédentes, il nous reste à chercher directement les véritables (si toutefois ces formules générales sont possibles), et à dissiper tous les nuages qui pourraient encore obscurcir ce point d’analyse.
Or, eu considérant d’abord cosmxr, nous avons trouvé plus haut la série exacte
cosmx
où l’on a < 7 *= 1 — p *, q*= i — a P'-fP*> 9*=i — 3p‘+Zp* — p *, etc. 11 ne reste donc qu’à substituer ces valeurs de q’, q*, q ', etc. , et à ordonner toute la série par rapport aux puissances descendantes
P", P m ~\ P’~\ etc.
Or, si l’on fait, pour abréger,
= —374 ==b > a.3.4.5.T-= c » etc .»
et si l’on représente la série cherchée par
cos mx — A p" — C/y* -4 — D p"~' -f- etc. ,
ou trouve, pour les coeffiçieus successifs, A, B, C, D, etc.
A = i-j-a + i-f-c-f-rf+e-j* elc. ,
B = a 4 * ih -f- 3c H - 4- 5e 4“ €>/ — elc. ,
= £-f- 3 c + G<f-f- 10e 4 - i 5 f + 21g + etc.,
^3 . D = c -f- \d+ 10e 4 - 30 f -f- 35 g 4 - 5 üA + etc > etc. , etc. ,
cocflicieus dont la composition en a, b, c, d, e,J\ etc. est évidente; mais dont il s’agit maintenant de trouver l’expression finie en fonction de l’exposant m.
Four cela , j’observe que le premier coelficient A , si les termes successifs i,a, b , c,d, etc. en étaient respectivement multipliés par i, J, J', J 3 , T 4 , etc., deviendrait 1 -f-rt/ > -t-/y'* + ç^ 3 4 -etc.
c’est-à-dire , qui équivaut à
O+Kry-Ki— Kr)“
jr‘ + etç. ,
de sorte que A est précisément égal à cette fonction Y quand on y fait y= 1 . Et il est facile de voir que les autres coelliciens H, -C, . D, etc. se trouveraient de la même manière par la différentia tion successive de cette fonction. Et en effet, on aurait
« -f a J + b J‘ + cf 4- djr* + ef 4 - etc. = Y,
a 4- + 3çr* 4- $df 4- $<-7* 4- 6 /r> 4 - etc. = ,
A + 3c4-6r/r‘4- îoêy’-f- • 5/ÿ 4 4 - etc. = ^ ^ ,
1 cV Y
c4-^“H »oey*4- 30 ^ 4 - etc. = 73 . jp, d 4 - 5ey 4 - i5/ r *4- etc. = -1^ . JI-,
etc. , etc.
Or, si l’on fait 7 = 1 , les premiers membres de ces équations de-
RECHERCHES SDR L’ANALYSE
viennent les coelficiens A , B, ^C, ~ D, etc. de notre série ; d’où il
résulte que les valeurs de A, B, C, D, etc. en fonction finie de l’ex posant m , sont les fonctions dérivées successives de la (onction
Y = ^ 1 ^ ^ , où l’on fait ensuite y= i, et que je
dénoterai simplement par (Y), (Y'), (Y"), (Y”), etc.
Ainsi l’on trouvera de cette manière :
E = (Y”) = p [m.m — 1 .m — a .m — 3 . -fe- o“ < )
— Gni.m — 1 .m — a . (a“ —s — o“ — 3 )
-|- i 5 m.m — 1 . (a - — *-{- o“ - *) — i 5 /n(a“ l — o" - '}}, etc., etc., etc.
46. Telle est la véritable expression aualy tique des coefiiciens A, B, C, D, etc., et dans laquelle il faut conserver les termes o”, o" -1 , o" - *, etc., parce que chacune de ces puissances de zéro reçoit une valeur particulière, qui est l’unité, ou zéro, ou l’infini, selon que l’exposant de cette puissance est nul, positif ou négatif.
On aura donc, pour le vrai développement de cos mx suivant les puissances descendantes de p ou cosx, en supposant toujours l’angle x plus petit qu’un droit, et ne considérant que la seule valeur de cos mx , qui est relative S cet arc simple; on aura, dis-je, la série générale
DF.S SECTIONS ANGULAIRES
«<**»*= (Y )p m - (Y>— + i(Y'V 4 - ^ (Y>— + etc,
où (Y), (Y'), (Y"), etc. sont les fonctions dérivées successives de la fonction Y = , dans lesquelles on fait /= i.
47- Maintenant, si l’on suppose m égal à un entier positif, o, i , a, 3, 4, etc., on voit que notre série s’arrête d’clle-mème, comme cela doit être, et qu’elle donne la valeur exacte de cosmx.
Ainsi, pour les deux premiers nombres 777=0 et 777 = 1 , on trouve que le premier coefficient seul a une valeur finie’ et que tous les autres deviennent nuis.
Pour 77i = i et 777 = 3, il n’y a que les deux premiers coefficiens qui subsistent, et tous les autres s’évanouissent.
Pour 777 = 4 et 777 = 5, il n’y a que les trois premiers coefficiens qui subsistent; et ainsi de suite, à l’infini.
48. Mais si m est une fr-action, la série ne se termine plus; et même les premiers coefliciens de cette série ne demeurent finis qivautant qu’ils ne renferment pas encore dans leur expression , de puissance négative de zéro. Ainsi, pour m compris entre o et t , il n’y a que le premier coefficient qui reste fini; pour m entre i et a, il n’y a que les deux premiers coefficiens qui restent finis; et ainsi de suite. Au-delà, tous les coefficiens deviennent infinis, et la formule est illusoire. 11 en est de même pour les exposons négatifs. D’où je conclus que ce développement de cos7ttjt par les puissances descendantes p“, p m ~ % , etc. du cosinus p de x, n’est vraiment possible et applicable que lorsque m est un exposant entier positif; auquel cas il rentre dans le développement de cos nix par les puissances entières et positives de p.
49- Une chose digne de remarque, c’est que, si dans l’expression analytique de nos coefficiens A, B, ^C, . D, etc., on négligeait
tous les termes en o", o" o“~ *, o” -s , etc., en les comptant comme
nuis, ou trouverait précisément les coefliciens de l’ancienne série ro ml savoir :
tn . m — 4 • m — 5
— rrs — » elc -
D’où l’on voit d’abord pourquoi celte ancienne série donne toujours pour connue des valeurs fausses : et en second lieu, pourquoi dans le cas de m entier elle donne une valeur exacte si l’on n’y prend que les termes qui contiennent des puissances positives de p-, car cela, revient à rejeter de la véritable expression tout ce qui s’y trouve alors exactement nul.
5o. Par une analyse toute semblable à la précédente, on peut trouver le développement général de siu mx par les puissances descendantes de p. Car on a d’abord
tmmx—q.p m '
d’où l’on peut éliminer, comme plus haut, toutes les puissances paires de q. Or, si l’on représente le résultat ordonné par la série
siu mx = Ap* - ’ — B/)" - * -f- ^ Cp“~* — “ . Dp" - ’ -f- etc. J ,
et que l’on considère la fonction Y = , on aura
Â, B, C, D, etc. respectivement égaux aux fonctions successives ■” d Y d* Y
Y ’ V’ W" d?' etC ‘ qU8nd ° n y fcit - r= '■ Ce qU ‘ d0nn ®
i.(a— — o—)— : 3m(a— ’-fo— ‘)+3(a--<r)},
et l’on appliquera à cette formule de sinnur tout ce que j’ai dit de la première.
5i. On pourrait ensuite compléter ces formules, comme dans Je paragraphe précédent, afin de les rendre tout-à-fait générales, c’està-dire applicables à tous les diflërens arcs x qui peuvent répondre à un même cosinus donné p , positif ou négatif : d’où l’on verrait que la réunion des deux séries précédentes est nécessaire en général à l’expression complète des fonctions cos mx et sin mx. etc., etc.
Mais en voilà' beaucoup, et peut-être trop sur ce sujet, puisque ces séries illusoires, ou divergentes de leur nature , ne peuvent être appliquées aux sections angulaires.
5a. Toutefois, il est nécessaire de confirmer ici ce que j’ai avancé plus haut sur la nature de la série ap*O m . J’ai dit que cette série n’était le développement de l’expression (p ■+■ \/p % — i)", que dans le cas de /?> i : c’est ce qu’il est facile de voir directement par l’analyse précédente; car on a
(p 4 . V>‘— 1 )“ = A p" — Bp—‘ -+- 1 Cp — < — ^ Dp—' + etc.
4 -X/p 7 -— i{Ap m ~' ® B^" 3 4 -ic^ l "- i — etc.} , et, si l’on met, à la place du radical \Zp‘ — î , ce développement
P a p a 1 p i 2 s fA a ’.p* a >.p> "* etc. ,
qui suppose nécessairement p > i , on trouvera, en ordonnant toute la série par rapport aux puissances /T, p*~‘, fT~*, etc.,
P + Vp'— 0* =p-(A4-ï) — p— (B4-g'4-IÏ)
+ P \-T~ + * — g A) — etc.
Or, par nos valeurs générales de A, B, C, etc. Â, B, C-, on trouve,
en effaçant ce qui se détruit,
(A.+ A) = a**; a) = ma—;
etc. ,
et paY conséquent, on a
(p + >/p'—i) m = (?PÏT— m(ip]r~* + — a — (a p)~~* — etc. — a
Ainsi, il n’y a aucun doute que cette série ne soit le développement exact de {p-\- V/’* — *)"> m:l ‘ s seulement dans le cas de i.
I) résulte de là que la double formule
(p + Vp'- ■ ± {p - Vf^zlL = r o m ± o»
ne convient point au cosinus ou sinus dn multiple rnx d’un angle x dont le cosinui est p et le sinus \/ 1 — p ‘ , mais bien à l’abscisse P et à l’ordonnée y'p* — ! d’un secteur hyperbolique mp, multiple d’un secteur <p dont l’nbscSe serait p , et l’ordonnée, \Zp‘—i.
lin effet , en nommant ai le double de ce secteur f>,oua, comme on le sait, dans l'hy pci.iole équilalère, a> = l(p -f- \/p % — i); d’où l’on tire c“ =p \/p‘ — i , et portant, e - * =p — \/p ' — i. Ainsi l’abscisse p et l’ordonnée \fp % — 1 répondantes au secteur (p, sont
exprimées par - — et - — — — . On aurait donc de même, pour
l’abscisse P et l’ordonnée , qui répondraient au secteur mp,
les expressions
i „ — mm
t mm +t
— P, et
mais ou a em»= (/>-}- \/p ‘ — i)“ et é~ mm z= (p — Vp‘— i)“; et par conséquent,
( /> -t- \/ p' — » )“ + (p-vV-T)"
(p + Vp^'Y — {p — Vp'— ■ )" v
Ce qu’il fallait démontrer.
53. Il résulte de toute celte analyse que, dans le cercle, on ne peut développer l’abscisse on l’ordonnée d’un secteur multiple (pie par les puissances ascendantes de l’abscisse p < i , qui répond au secteur simple; et c’est ce qu’on a fait nu commencement de ce Mémoire. Que, dans l’livpcrbole, l’abscisse ou l’ordonnée d’un secteur multiple doit être développée par les puissances descendantes de l’abscisse p > ■ , qui répond au secteur simple. Enfin , qu’il y a un cas où la même série convient à la fois au cercle et à l'hyperbole, selon qu’on y fait />< ou >i : c’est celui de l’exposant ou multiple m égal à un nombre entier. Alors on a des séries terminées de même forme, et où l’on ne voit d'autre différence que l’ordre dans lequel les termes s’y trouvent écrits. Ainsi, quand m est un eutier, la même formule peut servir à la multiplication des secteurs circulaires ou hyperboliques, ou, si l’on veut, des angles et des logarithmes. Mais si m est une fraction, il faut des séries différentes; l’une, pour le cercle, et qui procède par les puissances ascendantes, l’autre, pour l’hyperbole, et qui procède par les puissances descendantes de l’abscisse p qui répond nu secteur simple que l’on considère.
Développement d’une puissance quelconque du cosinus ou sinus d'un arc, par les cosinus ou sinus d’arcs multiples.
54- Passons maintenant aux formules réciproques des précédentes , c’est-à-dire à celles où l’on développe les puissances du cosinus ou du sinus d’un arc en une suite de cosinus ou de sinus d’arcs multiples : transformation toujours possible, et qui est, comme on le sait, de la plus grande utilité pour l’intégration des fonctions circulaires.
Soit donc, en premier lieu, la fonction y = cos“J: , qu’on se propose de développer en une série de cette forme :
y = Acosnx-+- B co s(« — i )x-4-Ccos(n — a)x-|-Dcos(r» — 3)x-J-ctc.,
où il s’agit de déterminer les coelficiens A, B, C, D, etc. ainsi que le nombre n.
En suivant encore ici l’analyse de M. de Lagrange, on tirera de l'équation proposée yz=i cos“x, l’équation différentielle on la dérivée du premier ordre
my sinx -f-j^cosx = o.
et y substituant, pour y et jd, leurs valeurs tirées de la série précédente, on verra qu’on peut satisfaire entièrement à l’équation différentielle , en posant n = m, B=so, D=o, etc..
et
■»ES «ÉètléNS ABOUfcAlRES.
et que, pàr conséquent, on peut toujours supposer, quel que «ou l’exposant m, l’équation
ooi>“x = A { cos mx-\-m cos (m — a)x H 5 -^ cos ( m 4) jc + ctc - } •
où le coefficient A est encore indéterminé et dépend de la nature de la fonction développée eos"x.
Pour déterminer la valeur de cette constante, M. de 1 •arrange suppose simplement zso, et 1 équation lui donne
. = A { . + m + + + c tc , } = A 1 , -f i } ‘ .
et par conséquent
d’où, en substituant, et multiplianl par a“, il trouve
(acos x)“ — cos mx + m cos (m — a)-aH — cos(m 4)‘ r + e * c ■ *
ce qui est la formule connue, qu’il regarde comme générale pour
des valeurs quelconques de l’exposant rn.
55. C’est, ou reste, la même expression qu’Euler avait donnée dans le tome V des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg. par une analysa encore plus simple, et qui n’étant fondée que sur la formule de Newton et celle de Moivre, toutes deux applicables à des exposans quelconques, ne parait laisser aucun doute sur la généralité de l’expression dont il s’agit. Cependant, nous allons voir que cette formule est incomplète, et qu’elle présente le même défaut que j’ai déjà relevé dans les articles précédens.
Mais, avant de rectilier ce nouveau point de doctrine, je dois observer qu’on avait déjà trouvé un cas particulier où la formule est en défaut. C’est celui de m=± et de îcï, « ét*üt la demi-
RECHERCHES SUR L’ANALYSE
circonférence. Car, en ne considérant simplement que la valeur réelle du premier membre , la formule qui devrait nous donner
t/acos«ar = — j/a, ^onne la valeur fausse ît/a. (Voyez une Note insérée dans le second volume de la Correspondance sur l’Ecoip Polytechnique, page aia). Mais ce cas particulier, l'explication qu’on en donne, la formule imaginaire de cos"x qu’on substitue à la précédente, et qui n’est autre chose que l’une ou l’autre des deux expressions que donne Euler, mais qu’il ajoute ensemble pour en faire disparaître le radical \/ — i , ne font voir ni le défaut précis de la démonstration- d’Euler, ni surtout celui de l’analyse de M. de Lagrange ; et cette remarque particulière n’a servi qu’à faire naître beaucoup d’autres objections et de nouvelles difficultés qu’on n’a point encore résolues. C’est ce qu’on peut voir dans le torne 111 du Calcul différentiel et intégral de M. Lacroix (a* édition, pag. 6o5...6i6), et c’est ce qu’on verra bien mieux encore par l’analyse suivante.
Examen de l'Analyse de Lagrange.
$6. Considérons donc attentivement l’équatiou
(acosx)" — cosmx-f-mros(m — a)x-f- — - cos(m — ^)x-\-eic.=P . ,
que l’on suppose vraie pour des valeurs quelconques de m.
D'abord , il est facile de reconnaître que , si m est une fraction
irréductible les deux membres de la formule ne peuvent avoir
actuellement la même généralité. Car le premier, qui devient
✓(acosx)', a n valeurs différentes, parmi lesquelles il y en a au moins n — a d’imaginaires. D’un autre côté, le second membre
cos jj x -f- ~ cos C~ — a^x-f-etc., présente bien aussi n valeurs.
DES SECTIONS ANGULAIRES. fri
(qu'on obtiendrait en y mettant successivement, an lieu de x, les arcs x, x-f-c, x+ac, etc., x •+•(/»— i)c, ce qui ne change rien
au premier membre i/(ac°sxy) ; mais ces n valeurs du second membre font toutes réelles. Ainsi, quoique les deux membres de l’équation présentent le même nombre de valeurs, il ne pourrait y * en avt^r que deux au plus qui fussent égales de part et d’autre; et Il n’y eu aurait même aucune dans le cas où, le dénominateur n étant un nombre pair, on aurait en même temps ensx^égatif. I.a formule dont il s’agit est donc défectueuse en général , et l'imperfection tient encore ici, comme on va le voir, à la détermination incomplète de la constante A.
En effet, si, dans l’expression générale,
l&Jé&f .DlOa JtL/j'Al V.f* *• L-i. • ' 4 '
cos“x=A{cos/7!x-f-mcos(m — a)x-f- ^^ icos(m — 4)x-f-etc .},
on fait x=o, il ne vient pas simplement, comme on le suppose,
J = A { i -4- i }“,* d’où l’on tire A = -4 : mais il vient plus gëné-
,-ttlŒKnq ai <:!*.! UiM. ' a ^ = -
râlement »"= A eosmo{ i -f* i}% où il fiiut remarquer que le
facteur cosmo, dans le cas de w»=- , n’a pas seulement la valeur i ;
mais qu’il en a encore n — i autres toutes réelles, qui sont cos - c,
cos£ac, cos £ 3c , etc., cos £(« — î )c; ù désignant la circonférence.
Ainsi on aurait, pour l’expression générale de la constante A déterminée par l’hypothèse particulière d’un arc x=o dont le cosinus est positif, . •> iu ..
