DE L'ÉTAT INITIAL

I. — Équilibre d'un milieu vitreux faiblement écarté de Tétat initial.

Les considérations développées dans la première Partie de ces Recherches nous montrent de quelle manière on peut logiquement mettre en équations les problèmes relatifs à l'équilibre et au mouvement d'un milieu vitreux. Mais cette mise en équations, fort compliquée d'ailleurs, est plutôt figurée qu'effective. A chaque instant, nous avons fait figurer dans nos équationsdes quantités telles que c^, o-j, 0-3 ou que lesix;,, j/, %i\ or, pour obtenir effectivement les expressions de ces quantités en fonctions de ?, y], X, et de leurs dérivées par rapport k a, Z>, c, il faudrait au préalable résoudre l'équation (10) de la première Partie, qui est une équation complète du troisième degré par rapport à la variable S.

C'est donc seulement dans certains cas particuliers où l'on aura, par des hypothèses convenables, grandement simplifié le problème, que l'on pourra parvenir à une mise en équations effective de ce problème.

f> p. nrrim.

donne b premi^^r** 'li»^ eçklitè^

Dm lors. \^ éqaatioa^ (70; de la première Partie, Térifiées en tout point d'an miliea en éqaiiibre, peaTent »*écrire

i^IO 1 —7 -. — — S^' 1, -r- 1. »,

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Quant aux équations (71) de la première Partie, il est permis de les écrire en donnant aux quantités N/, T^ les valeurs qu'elles prennent non pas en un point de la surface déformée, mais en un point de la surface primitive; on peut également regardera, ^, y comme les cosinus directeurs de la normale à la même surface.

Les égalités (8) et (10), jointes aux équations (71) de la première Partie nous donnentalors les équations d'équilibre d'un milieu vitreux très peu écarté de l'état initial, ce dernier n étant pas forcément un état (l'équilibre sous l'action de forces nulles. Ces équations sont les équations de Green et de Lamé, complétées comme l'a indiqué M. Poincaré (').

Nous n'insisterons pas sur ces équations bien connues.

CM H. PoiNCARK, Leçons sur la Théorie de l'Élasticité, p. 54; Paris, 189a. Leçons sur Ui théorie mathématique de la Lumière, p. 3i; Paris, 1889.

RF.r.MEnaiES srn l élasticité.

ou, selon les égalités (19) de la première Partie,

+ 4?;(T)(e.e,+ £,£,-i-£,ï,)-?;(T)(yÎ4-yî-t-y;). Posant

I ;îp„[?,(ï) + 5i?;(T)i = ,\(T).

nous pourrons écrire

+ JM(T)(a£Î + aeî + aeÎ4-yî + yî+yî).

Les égalités (45) de la première Partie deviennent alors

p,e,:=— p.9,(T) — A(T)(£, + £,+ £,) — aM(T)£„

Po cj =— P„?i (T) — A(T) ( £, + £î+ £3 ) — aM(T) £„

p,^,=:-M(T)yj,

PoA'j--- — M(ï)y,.

Les égalités (61) et (62) de la première Partie donnent sans peine

\ Nar=po<?i, Nr=P«^î» Nî—po^j.

I Tx=;p„A'i, 'fv— po^',, T;=p„A', OU bien, on vertu des égalités (7) et (i),

N,-.-„,rn-*(T,(| + *; + ^)-,«,T,^;,

\()'{ Oh ().: 1 i)c

■'V=-Mrr.(,|-g).

48 r. ncHKM.

Or, la déformation infiniment petite dont

III) l>;^/, d;^/, H,<//, ti,^/, tij^//, iw^di

sont les composantes peut se ramener à trois dilatations W\di^ W^dt^ W^dt suivant trois certains axes rectangulaires; rien ne nous empêche de supposer que i*es axes sont ceux auxquels il faut rapporter la déformation (i i) pour obtenir la déformation

i\dt. i.iU. y^di, r,^/, r.f//, r,^/.

cas auquel nous aurons

f r,^o, Tj^zo, r,=:o.

Si nous posons alors

n{o. o, o» zzr A(T», hk o, o, o ► — a(o, O, O > :=: B(T),

régalilé i 74'i de la première Partie deviendra

D*autre part, on sait que JP,. Ji.t 9^ sont les trois racines de Tëquation [Recherches sur T Hydrodynamique f i** série, première Partie, égalité ^29^1

«;, fi. h. — D

ou bien

LVgalité * I j^ devient alors 1» s \ T h,-n,-l»; ■