VII. — Formation de la relation supplémentaire
II nous sulBra de trouver une autre expression de la quantité ^/Q pour obtenir, par le rapprochement de ces deux expressions, la relation supplémentaire.
Admettons que la propagation de la chaleur ait lieu exclusivement par conductibilité.
La conductibilité du milieu en chaque point peut être définie par les trois coefficients de conductibilité suivant les directions des trois axes de dilatation, directions que nous désignerons par les indices i, 2, 3; visiblement, ces coefficients peuvent être représentés par
Posons
puis
E Osi dT E ây, dT
RECIIKKCIIES SLU I. ELASTICITK.
*^ '" E dT'
{ïj = -
E dctdT T d'<b
Oi = — r;
E c^£,JT
— ï J^ ^'~ E (Jy,dT
E d/tdT ou bien, en vertu dos égalités (3 j) ot (4'^)»
«'= Ë|.^'''5j75^r-<'^'>''->''"'''^dJ77rJ'
nous aurons, en vertu des égalités (34), (4^) et (83),
( 86 ) f/Q = — ( c aT + c, Ô£, H- c, Ô£, + e, <Σj + g, 6-/, + g, ô-/j + gj oy, ) rf/w
Posons
' /t)i\' ( dx\^ ( dx\^ dx dx dx dx dx dx
"' = U) °'*"UJ '■+1*} "'+'^7 *e' + '* s8'-^'â?îî5..
/(j-\^ /()3\». /«;5\' j- dz
"■^\d^,) '^^[db) "■■^[d-c) ''^^■'db-dc
ôy dy dy dy
dz dz dz dz
-'^'d-cih^^-^'d^rb-^'^
/|0 1*. nniEM.
Soient, pour abréger,
K, = K.t-î +K,t-' +K,UÎ, L'égalité (89) deviendra
/^ ar ,, <)T ,. <)T\ 1 . .
Considérons une surface fermée S; dans le temps dt, la partie du milieu que limite cette surface fermée dégage une quantité de chaleur
(9^) • Qdt^dtjqdl,
q étant donné par la formule (91), où a, p, y sont les cosinus directeurs de la normale a l'élément r/S vers X intérieur de la surface S.
11 suffît de transformer, en l'égalité (92), l'intégrale de surface en une intégrale étendue au volume que circonscrit cette surface, pour obtenir le résultat suivant :
Chaque élément de masse dm = p r/cr dégage, dans le temps rf/, une quantité de chaleur
ù (^ dl ,. c^T ^ SÏW , .,
RECIIEUCIIES SrR l/KLASTirJTÊ. '^Ç)
la fonction K(T, t, g^', t") vérifiant, quels que soient T, t, -t', 7", l'égalité
K(T, (7, cr', (xO^KCT, cr, cr%^').
Nous les roprésonterons ahréviativomont par
Nous y gagnerons d'ailleurs en généralité, car nos formules deviendront également applicables aux milieux cristallisés; K,, Ko, K, dépendront, dans ce cas, non seulement de T, de o-,, To, (73, mais encore de l'orientation des axes r, 2, 3 au sein de la matière cristalline.
Soit dL un élément dont la demi-normale n fait, avec les axes de dilatation, des angles ayant pour cosinus cos(//, 1), cos(/î, 2), cos(/i, 3). Dans le temps dt, et dans le sens opposé à la normale /?, l'élément dL est traversé par une quantité de chaleur
(89) qdldt^A K,-7"C0S(/I, 1) H-K5-y-C0S(/l, Ci) 4- K3-^cos(/«, 3) L/2^/, AT AT AT
— y -T-> -j.r étant les dérivées de la température prises respectivement
suivant les directions t, 2, 3.
Or on a
OT __ ÔT . , ôT ^ ÛT ,
Si l'on pose
cos(«,
.r) = X, cos(/», r) = ?, cos(h, z) — -/.
on a
cos(/î, i) = aA;,4-f3-Ti + y5&„
cos(/*, 2) = aA^,-h(3.T,-+-y3b,, cos(/?, 3) = aA;3-^P7,4-yt^3.
IIECHEKCIIKS Slll L KUVSTICITÉ. /j l
D'autre part, cette même quantité de chaleur duit être dunnée par l'égalité (88), si l'on y pose
I), -- D', dl, «, = D; dl, Dj = D', dl, (îi = G', dt, (f j irr G j dt, Gj = G'j dt.
On doit donc avoir
/d|Td| dT&n àrro^ dVX ^^\da; dt "^ dj- dt '^ dz dt'^ dt)
+ 2 (p J>x + J j G', + 2 U 1'^ + ^j ti'f + 2 (^p l)j + ^) <i'j
<; /.. dï ,. dT „ dT\
-~dxy''d:i-^*'''dy-^^'d^)
à (,, dl . d'ï ,, dT\ -Tyy^'-T.^'^'Ty-^'^'-dl)
d /,, dT ,, dT .. dT\ -dli'^'d^-^^'d^-^^'-d-z )----''•
G^cstla relation supplémentaire que nous nous proposions cPétablir.
4'| p. DUHEM.
Nous allons aborder, en cette seconde Partie, un cas particulièrement simple que nous définirons de la manière suivante :
I** Les actions, tant intérieures qu'extérieures, sont newtoniennes;
2** Les quantités Ç, y], Ç et leurs dérivées partielles de tous les ordres par rapport à /, a, h, c sont assez petites, en tout point, pour que l'on puisse, dans les calculs, les traiter comme des infiniment petits du premier ordre.
Dans ces conditions, les égalités (8) de la première Partie deviennent
tandis que l'égalité (4 bis) de la première Partie devient „) <B-, = .,*.....= |^|-.| = «.
Les égalités (27) et (28) de la première Partie ou bicMi encore les égalités (3o) de la même Partie donnent
n Ode y ^ ddn ^ IV ^^s
''-db'
'»=Tc'
' db ôa
Dans le développementde la fonction O suivant les puissances croissantes de £,, £2, £3, y,, Ya» Ys» arrêtons-nous aux termes du second degré par rapport à ces variables. La fonction O, devant dépendre exclusivement de T et de J,, J2, Jj, devra être indépendante de J,, du premier degré en J2 et du second degré en J,, sans contenir le produit Jf Ja; nous aurons donc
^ = (po(T) + 9,rr)J, + 9.(T)Jî-^9;(T)J,
