II. — Équations des petits mouvements dun solide vitreux (M
Le travail virtuel des actions d'inertie ne change pas de forme lorsque Ton suppose que ^, y], JJ sont des quantités très petites ; il continue à être donné par l'égalité (72) de la preniîëre Partie; au contraire l'expression du travail virtuel de la viscosité subit de grandes simplifications.
L'expression de la fonction dissipative S, qui détermine l'expression de ce travail virtuel, dépend :
i*^ De l'état de déformation du système au point (a?, y, z) et à l'instant/;
2*^ Des vitesses de déformation D',, D!^, D3, G',, G^, G3 qui déterminent la variation que subit la déformation au point (.r, j, 5) entre les instants ^ et (/ -i- dt).
La fonction dissipative est, d'après les égalités (73) et (74) de la première Partie, une forme quadratique de ces six dernières variables, les coefficients de cette forme dépendant de la déformation au point (x,y^ z) et à l'instant /.
Si, sans changer les valeurs de D',, D.^, D3, G'^ G^, G3, on supposait la déformation au point {x,y, z), à l'instant /, infiniment peu difi*érente de ce qu'elle est en réalité, il est clair que l'on altérerait Jr d'une quantité infiniment petite par rapport à elle-même.
Or, dans le cas qui nous occupe en ce moment, le milieu à l'instant / est infiniment peu déformé; nous pourrons donc, pour déterminer -/, raisonner comme si Tétat du milieu à l'instant /était identique à l'état initial.
Or, dans l'état initial non déformé, on peut regarder trois droites rectangulaires quelconques comme étant les trois axes de dilatation. 11 nous est donc loisible, dans la formule (74) de la première Partie, de regarder A',, A^, A3, T,, T^, T'^ comme les vitesses de déformation rapportées à trois axes rectangulaires quelconques \ la valeur de S devra être indépendante du choix de ces axes.
(ï) Sur le mouvement des milieux vitreux, affectés de viscosité^ et très peu dàjormés {Comptes rendus, t. CXXXVI, p. 692, 9 mars 1903).
jo p. nvmat.
point du milieu» deviendront
, /).N.,-r-V^) àil^-T:) OiT.^TyS /' -. à^l\
^'"^ \ ôa ^ àb - Oc -P'P'-^--:^>
' — 7m~^ ^ — Tb ôi' — -.^•1/'-^ ^'- TSi ;•
tandis que, selon les équations (8i) de la première Partie, on devra avoir» en chaque point de la surface primitive,
i ( Nx -^ •-'x » « -r- ' T- -T- Te » 3 -f- ily -f- -ZyAy = Px.
(31) ' (T, -^T,)a-h(NV-^'v)3-+-(T,4-T,V/ = P,.,
f (Tjr-l-r^)a-r-(T^ — T,)3 -i- ( X. -h v. i y = P..
A ces égalités, il faudra joindre Téquation de continuité qui sera, selon les égalités (22) de la première Partie et (2) de la seconde Partie,
OU, en négligeant un infiniment petit du second ordre,
("> ^"''^^-^^^{ô^^Tb^d-cr
m. — Quantité de chaleur dégagée dans une petite déformation d'un solide vitreux peu écarté de Tétat initial.
Les égalités (86) de la première Partie et (3) de la seconde Partie permettent d'écrire cette quantité de chaleur sous la forme
RECHERCHES SUR L^ÉLASTICITÉ. 5l
tandis que les égalités (85) de la première Partie et (i), (4) et (5) de la seconde Partie donnent
I o p - T r rf?.(T) rfA(T) (dl dr, dK\ , dM{T) dn „, Tf rfy.(T) dMT) /d^ <^ <?C\ rfM(T) (h)-]
P.e.- E LP" rfl' ^ ^T^ \da ^ db^ dc}^^ <CÏ de y
' TrfM(T)/«h) dÇN p.g. — g-^^p-l^^ + ^j.
T rfM(T) /a; d|\
Si l'on veut exprimer la quantité de chaleur dégagée dans une modification réelle ou virtuelle, on voit que l'infiniment petit principal de cette quantité se réduit à
Les trois quantités a,, a^, a, sont sensiblement égales entre elles et égales à i; on a donc
/•(T, <7,, <7„) = Ar(T, <7„ <73, îT, ) = Â(T, <r3, <7,, (jj) =/(T). Si Ton observe en outre que Ton a
^, A-, -h i, -V-, 4- ^ j A-3 = o, a: , .T, 4- a:, .Tj -+- AVj .73 = 0,
:i2 ^. IM (fE«.
on voit que le^ é^ralité^ ^ V^) ^^ ^ preoiii^re Partie deTÎennent
On a, ii*aillear.<ï, en sopp^^ant qae — <f ^^ ^ soient infiniment
petits comme i, r,, ^« et en :»e b«>mant aox infiniment petits principaux,
et Tégalité (93^ de la première Partie prend la forme
' àfM^ ôb^ ôc
La comparaison des égalité:» 1 2.S ^ et ( 26) donne la relation supplémentaire
IT. — Problème de M. O.-E. Meyer.
Nous allons simplifier encore le problème qui nous occupe au moyen des hypothèses suivantes :
1^ Les actions auxquelles le milieu est soumis sont purement superficielles, en sorte que Ton a, en tout point,
2** La température est uniforme et constante pendant toute la durée du mouvement, en sorte qu'il est inutile de la faire figurer dans les équations et quo Ton a, en outre,
(29) 9,(T)=:consi.
Dans ces conditions, les équations des petits mouvements d'un
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. 5i
tandis que les égalités (85) de la première Partie et (i), (4) et (5) de la seconde Partie donnent
ïf rf(p,(T) , (i\(T) /à- &n ^ dK\ ^ dM{T) dn
„, T r rfy.(T) rfA(T) {ai ^dv^dt:\ rfM(T) «hjl
L, Tf- rf<p.(T) rfA(T)/<?^ dn <^^\ rfM(T)dC-|
P.g. — g-^^jT-l^+^j.
TrfM(T)/«)C <^f\
TrfM(T)/^ ^\ \db'^ âaj'
' PoS* = -
E rfT
Si l'on veut exprimer la quantité de chaleur dégagée dans une modification réelle ou virtuelle, on voit que l'infiniment petit principal de cette quantité se réduit à
, .. .r, r -r '^(hA'l)fdil ôov <iôÇ\"| ,
(a5) rfQ = p,[^c.T-g--j^'(^4--^-^ ^-é7)\^-''
Les trois quantités a,, a^, a, sont sensiblement égales entre elles et éeales à i; on a donc
/•(T, <7,, <7„) = Ar(T, <7„ îTa, cr, ) = ^(T, cr,, cr,, <7j) z=/(T). Si Ton observe en outre que l'on a
fi p. nrHFJf.
Iji ^iihiUif' de IVt^t iiVqriilîbre pris pour état initial équivaut, comme l'on ^àit Voir plu> loin. Chapitre II >. aux conditions
partant
tandis que les conlitions de signe imposées à la fonction dissipative équivalent aux inégalités \^RecAerc.hes sur rHvdro Ivnnmique. V^ série. I** Partie, inégalités «'37 1. \Z^) et 39 »]
parlant / — i;z > r*.
Les deux équations i'^i) et ('33; sont donc toutes deux du type
oîi Ton a
da*' ôh^ Jt-
et OÙ A. B. C sont lr«»is quantités positives.
Nous avons à plusieurs reprises attiré Inattention sur cette équation ^*;. qui joue un rôle essentiel dans diverses questions de Physique* mathématique.
Soit 1 une surface tracée dans l'espace des a, 6, r: peut-elle être, pour la fonction V. une onde du troisième ordre ?
\jÀ surface 1 partage l'espace en deux régions, que nous désignerons par 1 et 2. Si nous menons à la surface ^ une demi-normale
Sur In théorie éUctr^thiiandque de HrlmhoUz et Ui théorie électromagnétique lie ht bsmi^re .'irchi%;ei nêe,rlnn4aUe$ de$ Scienrei e.rarte< et nnturellei. série U. l. W iiH)i» p. >>7'. — Hecherr.hei tnr l tirdrod>namiqiie, T' série, i* Partie, équation (106 ».
UECIIEKCIIES SUR l'ÉLASTICITÉ. 53
solide vitreux deviennent, en vertu des égalités (8), (19) et (20),
Si l'on faisait, dans ces égalités,
on retrouverait les équations que M. O.-K. Meyer(*) a obtenues au moyen de considérations moléculaires.
f.es équations sont du type auquel s'applique le théorème de Clebsch généralisé (^); la formation de leur intégrale générale se ramène à la formation de l'intégrale générale de Véquation aux dilatations et de l'intégrale générale de Véquation aux rotations.
Véquation aux dilatations est
ôt'
(À 4- 2;jl) — A^ 4- { A -h r'.M ) 10 ■
Po-^,,-=o.
Véquation aux rotations est
Ol
dl'
(1) O.-E. Meyer, Zur T/teorie dcr imieren Hcibun^ { Borcliardt's Journal Jûr die reine und nngewandte Mathematik, Bd. LXXVUI, 1H74, p. i3o).
(') Sur la généralisation d'un théorème de Clebsch {Journal de Mathématiques pures et appliquées f 5* série, t. VI, 1900, p. 7.1 3).
Onf'àh^O'.''
Aîriîi. Ar« *:»!//>** ondes du troisième ordn^ que puisse admettre une inlé-^ ::rale V de V équation >i » sont d^s owIps immobiles au travers desquelles toutes let dérivées du troisième ordre de \ varient d'une manière continue, %auf celles qui nf revdtent d'aumne dijTèrentiation par rapport à t.
Toutr inl»^^W' li»? l'rijuation j'i • vérifie aussi les équations que r*>ù •-n •ir-luil par ^les dilTerenliati»>ns sut?0Pssives. Dés Inrs, on peut êteniirr I- théorème précéilent en lui donnant la forni»* que voici :
l^s feules ondes d'ordre n n\^i \ que puisse admettre une intégrale V de l'équation « V} ► s^»nt des ond^s immobiles au tra<'ers desquelles les seuesden\'èes d'ordre n de la fonction \ qui soient discontinuas sont celles qui s'obtien/f^nt sans aucune dvrii-ation par rapport à t.
Selon I»- ihéoréniH de Clebsch îrénéralisé, toute intégrale des équations « 3o » peut M* mettre sous la forme
, <>e çMj «>n
; e^ dU c>P
I ' Ob t)a db
"^ ~~ àc *Jt, dn
étant une intéjrraie de l'équation ( 3j > et P, (>• R trois intégrales de Téquatinn r'3'3 », liées entre elles par la relation
OV di^ ÔW
Il est clair que pour qu'une surface 1 soit onde d'ordre n pour les fonctions ;, r,, 1^, il faut qu'elle soil onde d'ordre (n -h i) pour Tune au moins des fonctions 0, P, Q, R et d'ordre égal ou supérieur à l'/î — i) pour les autres. D'où la conclusion suivante :
Cne surface ï ne peut être onde d'ordre n (/i^2) par rapport aux Jonctions ;. r . ^. que si elle est immobile dans l'espace des a, 6, c.
RECHERCHES SLR l'ÉLASTICITÉ. 5'J
D'ailleurs, d'après ce que nous avons vu, une onde d'ordre n(n^3) par rapport à l'une des fonctions 0, P, Q, R est aussi d'ordre
au moins égal a n par rapport a sa dérivée par rapport a t: -j-y -Tjy
dQ âR
dt' dt' D'autre part, les égalités (4o) nous donnent
l '' ~ ôt ~ dadt'^ dcdt dbôt' ^^^^ '^^ ~' df ôbdt'^ ôaôt dcôt'
"~ Ot ~ dcôt '^ dbdt ' àadt'
Nous voyons alors que toute onde d'ordre n (^n^i) pour les fonctions $, Y), Ç est, en général, onde d'ordre n pour les composantes //, r, iv de la vitesse.
En revanche, elle est, en générât, onde d'ordre (n — i) pour les dérivées partielles de X,, y], w, par rapport à a, h, c, partant, selon les égalités (8), pour les quantités N^., N^, N„ T^;, T^, T,.
En résumé, si l'on considère les petits mouvements d\in milieu vitreux, oQecté de viscosité^ très peu écarté de l'état initial et soumis aiuc conditions imaginées par M . O.'E, Meyer, ces petits mouvements peuvent présenter des ondes. Ces ondes, d'ordre n (n ^2) pour les composantes w, v, w de la vitesse, sont en général d'ordre (/^ — i) pour les quantités N/, T,-. Pendant toute la durée du nwuvement, elles séparent les mêmes masses matérielles.
n. DLUFJM.
