CHAPITRE IL
DE LA PROPAGATION DES ONDES DANS LES MILIEUX VITREUX TRÈS PEU DÉFORMÉS (*).
I. — Des ondes du second ordre en //, t-, tr, dans un milieu vitreux très peu écarté de l'état initial, animé de mouvements très petits et conducteur de la chaleur.
Le théorème précédent est soumis à certaines restrictions, celles-là mêmes qui définissent le problème de M. O.-E. Meyer. Nous allons le généraliser en nous servant, pour le démontrer, non plus des Formules que renferme le paragraphe 4 du Chapitre I, mais des formules qui ont été données aux trois premiers paragraphes du même Chapitre.
Considérons, dans Tespace des a, b, c, une surface fixe ou variable 1 qui soit onde d'ordre v pour ^, y], 2^. Cette surface sépare l'espace en deux régions i et 2; la normale, menée de la région i à la région 2, fait avec les axes de coordonnées des angles /, m, n.
Du côté I de la surface 2, les fonctions $, y;, s admettent les déterminations analytiques ^^, r^,, l^ ; du côté 2, elles admettent les déterminations analytiques $2» ^2» ^2- Posons
(43) ç,-ftr=F, r),-rn = (], C,-C,= H.
Toutes les dérivées partielles de F, G, H, par rapport à a, b, c, /, jusqu'à l'ordre (v — i) inclusivement, s'annulent sur la surface 2. Il n'en est pas de même des dérivées d'ordre v. Selon les lemmes de M. lladamard (Voir nos Recherches sur C Hydrodynamique ^ \^ série, 2^ Partie, Chapitre II, § 5), il existe un vecteur ^, (J, je, défini en
( ' ) Sur es (m^lca au srin d'un milieu vitreux affecté de viscosité et très peu déformé Comptes rendus, l. CXXXVI, ïi mars 1903, p. y'i'i).
D'ailleurs, d'après ce que nous avons vu, une onde d'ordre n(n^3) par rapport à l'une des fonctions 0, P, Q, R est aussi d'ordre
au moins égal a n par rapport a sa dérivée par rapport a /: -rjy -j-y
âQ âR dt' dt' D'autre part, les égalités {l\o) nous donnent
ôt "" ôaôt dcôt ôbôt ^^^^ '^~'dt~'ôbdt'^ôaôt 'dcôt'
ôt " ôcôt "^ ôbdt ' ôaôt'
Nous voyons alors que toute onde d'ordre n (n ^ 2.) pour les fonctions $, Y), s ^^^ ^^ général, onde d* ordre n pour les composantes u, c, iv de la vitesse.
En revanche, elle est, en général, onde d'ordre (n — i) pour les dérivées partielles de X,, r\, t, par rapport à a, b, c, partant, selon les égalités (8), pour les quantités N^., N^, N„ T<p, T^., T..
En résumé, si l'on considère les petits mouvements d'un milieu vitreux, oQeclé de viscosité^ très peu écarté de Vétat initial et soumis aux conditions imaginées par M. O.-E, Meyer, ces petits mouvements peuvent présenter des ondes. Ces ondes, d'ordre n (n ^2) pour les composantes m, v, w de la vitesse, sont en général d'ordre (n — i) pour les quantités N,-, T,-. Pendant toute la durée du mouvement, elles séparent les mêmes masses matérielles.
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