V. DUHKM
(jue toute surface 1 qui est onde d'ordre v pour ^, y), ^ est onde d'ordre (v — i) pour to et pour p. D'où la proposition suivante :
Si une onde se propage dans le milieu de telle sorte quelle n'en sépare pas sans cesse les deux mêmes parties y cette onde est du même ordre pour la densité p et pour les composantes u, v, «r de la vitesse; si, au contraire, elle sépare sans cesse les deux mêmes parties du milieu, son ordre pour les composantes w, v, tr de la vitesse surpasse au moins d'une unité son ordre pour la densité p.
Ces énoncés, entièrement généraux, ne supposent nullement qu'il s'agisse d'un milieu vitreux très peu écarté de son état initial. H n'en est plus de même de ce qui va suivre.
Selon l'égalité (^^7), qui peut s'écrire
Tordre de l'onde ï sera, par rapport à T, supérieur au moins d'une unité à Tordre de cette onde par rapport ii //, r, (v, pourvu que l'on suppose différent de o le coefficient de conductibilité k{ T).
Commençons par examiner quelles sont les ondes du second ordre par rapport à u, ç, iv qui peuvent persister dans un milieu vitreux très peu écarté de l'état initial.
Posons
(47) //,— //,= U, Tj— r.niV, iVj— «',=:W.
11 existera, en chaque point de la surface 2, un vecteur t), •?, ^ tel que
OaP dh9 àc'' ôl'
\ ôaP ôbi dC^ ùt' ^ ' '
KECHERCUES SUR l'ÉLASTICITÉ.
Moyennant ces égalités (/j8), et en observant que la surface 2 est au moins onde du troisième ordre pour la température T, les égalités (19) nous donnent
ôa db Oc
= — (X -h /i) (/t) 4- mt? 4- w\K>)/ — fxt),
Oa Où Oc
— —{l-hix) {IV 4- mtp -h n^>)m — jul-^^,
(^r/ Ob Oc
Les quantités
O'i Ou Oi^ "" Ot '
OH ^i' Ot^ " Ot '
(>2; Okv
Ot^ ~ Ot
varient d'une manière continue en traversant la surface 1.
Si X est différent de o, Tonde considérée est du troisième ordre en ^, Y], ^; si X est égal à o, elle peut être seulement du second ordre en ^, Y], JJ; dans un cas comme dans l'autre, les quantités
\/-hX., Y/4-Y^, Z/-hZ^
varient d'une manière continue au travers de la surface 1.
Supposons d'abord x différent de o.
La surface S est alors onde du troisième ordre par rapport à ^, r^, X,\ les formules (8) nous montrent qu'elle est onde du second ordre par rapport aux quantités
Nx, Nr, N., Tx, Tr. T,.
Dès lors, les égalités (20) nous enseignent que Ton a, en tout point D. 10
62 V. DUIIK.M.
(le hi surfa(*e 1,
l f>« "^ âO Oc
' ' ()a ôh de
(ia ()/> ôc
OU l)ien, cmi vertu des égalités (49),
(5o) I (). H- ;ji) (/V) -+- ffiV 4- //vv:))m + ;ji\'> -. -. o,
I ().H-;ji)(/1')-+-///'v;M-//VV:)
I (X 4- IJ.){IX) 4- //iV> 4- n ^))n 4- ;ui^ — o.
Multiplions respectivement ces égalités par /, m, n et ajoutons membre ii membre les résultais obtenus; nous trouvons
(). 4- 'ijji) ( /f) 4- niV 4- //^) =11 o
OU bien, <*n verlu de la dernière inégalité (35),
/V) 4- mV 4- /<vi?> =: o.
(^e résultai, re|)orlé dans les égalités ( >o), donne
OU bien, en vertu de la seconde inégalité (35), V) " o, \*> = o, \B> ~ o.
Ainsi, //// milieu vitirux très peu écarté de Vétat initial el affecté de viscosité ne prut présenter aucune onde, du second ordre par rapport aux rit esses, (pii ne séparerait pas constamment les deux mêmes masses matérielles.
On remarquera que la démonstration de cette proposition suppose remploi des inégalités (3j); cette proposition pourrait donc être en disant si le milieu était dénué de riscosité.
BKCHERCHES SUR L ÉLASTICITÉ.
Moyennant ces égalités (48), et en observant que la surface 2 est au moins onde du troisième ordre pour la température ï, les égalités (19) nous donnent
Oa ôb de
— — (X -h /x) (/t) -h m\*> 4- /i^)/ — fxt),
ôa ôh ()c
Les quantités
varient d'une manière continue en traversant la surface I.
Si X est différent de o, Tonde considérée est du troisième ordre en ?, Y], 'C; si 5^ est égal à o, elle peut être seulement du second ordre en $, Y], !^; dans un cas comme dans l'autre, les quantités
varient d'une manière continue au travers de la surface 1.
Supposons d'abord x différent de o.
La surface 2 est alors onde du troisième ordre par rapport à ;, yj, t; les formules (8) nous montrent qu'elle est onde du second ordre par rapport aux quantités
Nj;, Ny, Nj, Jj., ly, I-.
Dès lors, les égalités (20) nous enseignent que Ton a, en tout point D. 10
(>i p. DITHEM.
OU liien, (mi vertu des égalités (49) et (52),
(53) < (A-+-M)(/5'-h/;i(j+/iae)m-i-Mg 4-(X-+-/x)(/0-f-mV>4-r)«))m-t-^t? zno.
Ces équations déterminent .^, (7, Je lorsque l'on se donne t^, \*>, UP ou
inversement.
On les résout élégamment de la manière suivante : Multiplions-les respectivement par /, ///, n et ajoutons membre h
membre les résultats obtenus; nous trouvons Tégalité
(54) (A -h 2M) (/^ -f- m(J -h n3t) -h (À 4- 'iii)(lV -h m'<^ 4- n^) — o qui, reportée dans les égalités (i4^)» donne
/ / A4-M ?,+-^^ /^hjx \ jx
D'après ce que nous avons vu au commencement de ce paragraphe, la surface 2, onde du second ordre pour ;, r,, T, sera onde du premier ordre pour la densité c. Si nous posons
(5(>) p» — pi=l{,
nous aurons, en tout point de Tonde 1.
(hï tfft Oc
l/égalité (^22), jointe aux égalités (43), (^i). (56) et (5;)» donne (58 ) A — — po{/J — m g -+- /i 3C ^
ou bien, en vertu de l'égalité (^54\
RECHERCIIKS SUK i/kLASTICTTK. G5
La surface S est onde du troisième ordre par rapport à T; si Ton différentie successivement l'égalité (27 bis) par rapport à a, b, c, on en tire, en tout point de la surface 2, les égalités
T d^(l) à /d\] d\ (m\ P'E cfT âa\âa '^ Oh "^ f)c )
^*^Ja[ rM-^ Ob' "^ r)c» J-"'"'
11 existera d'ailleurs, en chaque point de la surface S, une grandeur G telle que
Moyennant ces égalités et les égalités (4^)» '^^^ égalités (60) donneront sans peine
Ainsi, au sein d'un milieu vitreux, affecté de viscosité, bon conducteur et peu écarté de l'état initial, il peut se produire des ondes du second ordre par rapport aux composantes //, k\ «r de la vitesse. Ces ondes séparent constamment les mêmes parties du milieu. Elles sont du premier ordre pour les quantités N^., N^., N,, T^, T^,, T, et pour la densité p ; elles sont, au contraire, du troisième ordre pour la température T.
Par des méthodes semblables à celles qui ont été employées en la deuxième Partie de nos Recherches sur l* Flydrodynamique , ce théorème peut se généraliser et devenir le suivant :
Au sein d'un tel milieu, on peut observer des ondes d'ordre v(v ^ 1) par rapport aux composantes w, r, u- de la vitesse. Ces ondes séparent constamment les mêmes parties du milieu. Elles sont d'ordre (v — i)pour les quantités N^, N^, N„ T^., ï^, T^ et pour la densité p ; elles sont, au contraire, d'ordre (v -t- i) pour la température T.
66 I». nriiKM.
II. — Des ondes du premier ordre en //, i-, ii , dans un milieu vitreux, très peu écarté de Tétat initial, animé de mouvements très petits et bon conducteur de la chaleur.
La méthode que nous venons d'employer ne s'applique pas aux ondes qui seraient du premier ordre par rapport aux composantes w, V, ^v de la vitesse. Dans ce cas, en eflTet, la condition qui permet, en la j>remière Partie de ces Hecherches, de passer de l'égalité (78) à l'égalité (79)» n'est plus vérifiée aux divers points de l'onde; on ne peut donc plus écrire, en général, les équations (82) de la première Partie, ni, partant, les équations (20) de la seconde Partie.
Soient S la surface d'onde à l'instant /, dans l'espace de ^, v, z, et a, p, Y les cosinus directeurs de la normale menée de la région i vers la région 2. Par un raisonnement semblable a celui que nous avons développé en nos Recherches sur l'Hydrodynamique, i** série, 2*^ Partie, Chapitre III, § I, nous montrerons que l'on doit avoir, en tout point de la surface % et à tout instant,
i -+- ( vxî — v^, ) 3c -h (T-j — T5, ) ;3 + (7v, — Tv, ) y = o,
(T., - T,, ) a + (N^, - N> , ) ? -H (T^. - T,,) y H- ('sî —-ri )^ -H (Vv, — Vj., ) j3 4- (T^j - - r^, ) y — o,
+ {'yt — -VI ) 3C -f- ( T^j - T;,, ) 3 4- ( V,î — V„ ) "/ ^ O.
Cette condition est générale. Au sein d'un milieu très peu écartéde l'état initial, elle peut être remplacée par la suivante :
On a. en tout point de la surface H et à tout instant,
i -+- ( Vxl — Vxi ) / -f- i T,j - T-, )m-h( Tvi — Tvi ) /* — o,
-f- ( T.-î Tsi W 4- ( Vv2 — Vy, ) W 4- ( Tj-s — Tj., ) W -= O,
4- (T>2 — Tv| ) / 4- (Tj-z 'al ) "i -^- i^ci — '-^zi ) /' ~ O.
if) 'h
I/ondoest du premier ordre par rapport aux composantes ii, v, wde la vitesse; des lors, si Ton conserve les notations (47), il existera, en chaque point de la surface 2, un vecteur o, -ç, ^ tel que
da '
OU
— iiV,
da
de
a a ôh oc
l/onde est, d'ailleurs, du second ordre par rapport à la température T; les égalités (19) et (G5) donnent donc
=:: — (X -f- ,a) ( /b -+- ///V> -+- /AVJM /— jJll'.),
^ ^ — (>. 4- fJi) ( /O 4- m V -f- nX^^ ) m — |ul ^'^
= — (X H- /x) (/i:) 4- /n\'^ 4- /i^*') /< — fJt^.
Supposons, tout d'abord, que x soit différent de o; Tonde du premier ordre par rapport à u, r, w sera du second ordre par rapporta $, y], ÎI; selon les égalités (8), elle sera du premier ordre par rapport à Nj., N^, N^, T^, T^, T^; les égalités (G4) deviendront
I{'^Xi— V:ri ) i H- (^C2 — "^Zi ) ffl + {'^yt — 7^ , ) // = O, (^-î — -^ci ) / + ( Vy2 — v^., ) m 4- (7^5 — 7^, )n — o, ('rJ — '^n ) ^ -^ ('^urs— "^xi ) fil 4- (v-, — V-,) n — o
OU, selon les égalités (66),
l (X4-fA)(/U4-///V4-/i^*0/ 4-|JiU-io,
(5o) * (X4-/x)(/U 4- ///V^ 4-/iVJÎ^)m4-^V — o,
[ (^ H- /^) (^^^ -^- ''' V 4- /i^) n 4- iu^V^'^ =^ O.
Nous avons vu que ces équations n'admettaient d'autre solution que
68 V. DUIIEM.
Donc, au sein d'un milieu viireua\ doué de viscosité, très peu écarté de l*état initial, on ne peut obsener aucune onde du premier ordre par rapport à la vitesse, rpn se propage de manière à ne pas séparer constamment les mêmes portions du milieu.
Supposons mainlenanl
L'oncle (lu premier ordre par rapport à //, i', u* serait aussi du premier ordre par rapport à $, yj, s; dès lors, en gardant les notations (13), il existerait, en tout point de la surface 1, un vecteur ^, (J, OC tel que
Oa Ob Oc
lf='«.
dis
tJÙ
an
OC
(^es égalités, jointes aux égalités (8), donnent
( Nx. - Nx, ) / + ( T,, - T,, ) m 4- ( T,., - T^, ) n
--:-( \H-M)(/.f-hmÇ-f-n:ïe)/ — M.^,
( \ + M)(/^--hmff-h/tJC)m — Mg,
.- — (A-f-M)(/^4-/;ig + /iae)/i -Moe.
Kn verlu des égalités (66) et (68), les égalités (64) deviennent
H-(>. -f-fjL )(/\:)-h wX>-i-/i\»>)/ -hfxl!) — o,
... ! (A 4-M)(/^" -^ rn^ -\- ndX,) m 4-Mg
' i- (>. -h/x )(/rM- //K^-h /i^)m4-/x '9=0,
( A 4- M) (/^ -+- m(/ 4- /iOC) /i H- MOI!, -+-(>. -h ,a \( /i:) 4- /// V -\- n^^)n 4- /x \V*> = o.
rkchkkchks sik l^klastiché. 69
Gomme nous l'avons vu, ces égalités entraînent les égalités (54) et(55).
L'égalité (22) nous donne, en chaque point de la surface S,
ou bien, en vertu des égalités (67),
p,— - p, — — Po(/J-h mCJ-i- nX)
OU enfin, en vertu de l'égalité (54)'
(69) p, - p,r^ p,^±2^ ^/o 4- //iV> -H ny^>).
La surface 2 est onde du second ordre pour la température!; 11 existe donc une grandeur 6 telle que, sur la surface 5i,
Moyennant les égalités (65) et (70), l'égalité (27 bis) donne
(62) c^__^|f^I)(a', + /«T;^ + /iu;^).
Donc, au sein d*un milieu vitreux, affecté de viscosité, bon conducteur de la chaleur et écarté de l'état initial, on peut observer une onde du premier ordre par rapport auœ composantes //, i», w de la vitesse. Une telle onde sépare toujours les mêmes portions du milieu. Elle est surface de discontinuité pour les quantités N^, N^ , N^, T^, T^ , T- et pour la densité s; au contraire, elle est onde du second ordre pour la température 1\
lU. — Des ondes dans un milieu vitreux, dénué de viscosité, très peu écarté de Tètat initial et animé de mouvements très petits.
Tout ce qui précède suppose essentiellement, comme nous l'avons indiqué, que le milieu est doué de viscosité; notre analyse devient illégitime si les coefficients A et a sont égaux à o.
7Ô p. ôcheM.
La propagation des ondes dans un milieu vitreux» peu écarté de Tétat initial et doué de viscosité obéit à des lois bien connues depuis Poisson et Cauchy; les méthodes suivies pour établir ces lois supposent, en général, que la température est uniforme et que les actions exercées sur les divers éléments du milieu sont nulles; il importe de se débarrasser de ces restrictions; c'est ce que nous allons faire par l'analyse suivante :
Supposons que la surface £ soit une onde du second ordre pour les fonctions ;,r,tî^, partant, selon les égalités (8), du premier ordre pour les grandeurs Nj^, \, N,, T^, T^, T-. Les quantités r^., iy, r,, Tj^, t^, t, étant nulles, les égalités (20) donneront, en tout point de Tonde,
Oa
Ob
Oc
(Conservons les notations (43). Il existera, en chaque point de la surface 1, un vecteur j, (/, 3C tel que
on'
Oni'Oh'iOc'^Ot
-t - ')ZyiPmVn''.i,
ou
OnPOb'iOc'Ol O^'H
roVTft^ - ■- ^^^*''''"''''' î/ {P -+-f/^r^ s -^ 2),
OaPjb'fOc'^Ol
Selon Tégalité (27), Tonde est au moins du second ordre par rapport a la température T; dés lors, les égalités (8) et (7?.) nous donnent les égalités (52); en vertu des égalités (.52) et (72), les égalités (71 ) deviennent
i V .\ -r- M j ^ l'f -H //l tj -r- /i JV: j 4 -H (^ M — po J^o' ) ^f ^= O,
(73) ) (A-hM)(/,i -f-//îf/-h/iaC)m-f-(M — poî>^')f/ =0,
l (A-r-MjiLi-hmCi-h ft:K)n 4- (M — po i>^') ^ = o.
Multiplions respectivement ces égaillés par /, m, n et ajoutons-les
HKCHKKCIIKS Slll L^KLASTICITK. 6t)
Comme nous l'avons vu, ces égalités entraînent les égalités (54) et(55).
L'égalité (22) nous donne, en chaque point de la surface S,
ou bien, en vertu des égalités (67),
p,— pi=i— Po(/^4- m(J -h/iK) ou enfin, en vertu de l'égalité (54)* (69) p, p, = p^-^.±i^(/n 4- mM> 4- /i^O.
La surface 2 est onde du second ordre pour la température!; il existe donc une grandeur 6 telle que, sur la surface 5i,
Moyennant les égalités (65) et (70), l'égalité (27 Ois) donne (62) c- .= - ^ I '■^^P(lv -H mV 4- mii> ).
Donc, au sein d*un milieu vitreuœ, affecté de viscosité^ bon conducteur de la chaleur et écarté de létat initial^ on peut observer une onde du premier ordre par rapport aux composantes 1/, ç», w de la tntesse. Une telle onde sépare toujours les mêmes portions du milieu. Elle est siurface de discontinuité pour les (piantités N^, N^ , N^, T^, 1\, T^ et pour la densité p; au contraire, elle est onde du second ordre pour la température T.
IIL — Des ondes dans un milieu vitreux, dénué de viscosité, très peu écarté de Tétat initial et animé de mouvements très petits.
Tout ce qui précède suppose essentiellement, comme nous l'avons indiqué, que le milieu est doué de viscosité; notre analyse devient illégitime si les coefficients A et [x sont égaux à o.
D. Il
^ô p. bUHEM.
La propagation des ondes dans un milieu vitreux, peu écarté de Tétat initial et doué de viscosité obéit à des lois bien connues depuis Poisson etCauchy; les méthodessuivies pour établirces lois supposent, en général, que la température est uniforme et que les actions exercées sur les divers éléments du milieu sont nulles; il importe de se débarrasser de ces restrictions; c'est ce que nous allons faire par l'analyse suivante :
Supposons que la surface 22 soit une onde du second ordre pour les fonctions ^, yj, !^, partant, selon les égalités (8), du premier ordre pour les grandeurs N^^, N^., N^, T^, T^,, T^. Les quantités Tj,, ty, r„ Tj.* t^, t, étant nulles, les égalités (20) donneront, en tout point de Tonde,
[ d7i ^ âô ^ â~c ~^P' d? -"'''
(71) • : -\ r-. 1 j hpo r-z =: O,
'' j Oa Ou Oc ' Ol*
\ — -IhT^'^ ÔL ^ ôl' -^^^ ô? — "^^•
Conservons les notations (43). Il existera, en chaque point de la surlacc S, un vecteur ?, y, JC tel que
f -,- ,^'-, — - r-.i-^zyinmn'K.
I Oaf'Jù'fOc'Ol' ^ ^
Selon Tégalité (27), l'onde est au moins du second ordre par rapport à la température T;dès lors, les égalités (8) et ('jn) nous donnent les égalités (j2); en vertu des égalités (32) et (72), les égalités (71) deviennent
(A-i-M)(/J-+-//^(|'^-/i,'ïC)/ 4-(M — p„Ob«),f —o, (73) J (A4-M)(/<;f-f-//if/-h/ïX)/;i-f-(M-poî>^')f/ =0,
Multiplions respectivement ces égalités par /, m, n et «joutons-les
RECHERCHES SUR L ÈUSTICITÉ. 7I
membre à membre. Nous trouvons
(74) (A-t-aM — poi)b')(/JVm(?4-/iX) = o,
Si nous n'avons pas
(75) Li -hniÇi-h n;)X, = o,
nous devons avoir
, ax y- . /A-+-2M
et les égalités (73) donnent alors les relations
qui expriment que l'onde propage une perturbation longitudinale. Les égalités (56) et (57) peuvent être conservées ici; elles donnent encore l'égalité
c'a =— po(/eT-h m()"-+-/i3C).
D'ailleurs, l'onde étant au moins du second ordre par rapport à la température, on peut écrire l'égalité (70) qui, jointe aux égalités (72), (76) et (27), donne
