Po, T, £,, £j, £3, y,, y„ yj
formule où le signe -f-... remplace des termes qui sont infiniment petits au moins du troisième ordre, lorsque ^, y), ^, sont, partout, infiniment petits du premier ordre.
D'ailleurs, l'égalité
(7) no=:-po(p,(po,T)
demeure toujours valable.
Lorsque Ç, y), <^ sont partout infiniment petits, les quantités N,, T,sont données par les égalités (3); si donc on tient compte des égalités (4 bis) et (7), et si Ton suppose T = Tq, on pourra écrire
les symboles -h... désignant des termes qui sont infiniment petits au moins du second ordre lorsque Ç, y), t sont partout infiniment petits.
D'autre part, les actions de viscosité doivent dépendre d'une fonction dissipative qui sera, elle-même, dépendante de po, de To, et des six quantités que nous avons désignées (Recherches sur l'élasticitéy i^ Partie, Chap. II, n° 5) par A',, A;, A;, F,, H, F;. La fonction dissipative doit d'ailleurs être une forme quadratique définie positive de
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. qS
ces six dernières quantités. Mais, dans le cas où i, y), C sont partout infiniment petits, on peut, comme nous Tavons déjà remarqué, (Recherches sur l'Élasticité, i^ Partie, Chap. I, n** 2) confondre A',, A^,
a;. r;,r;, r; avec
dix , âSi , ôti
y^, ^'-àjl, y'-hl,
^'- ôl' ^»"" dt' ^»- ôt'
en néfçligeant des infiniment petits du second ordre. La fonction dissipative pourra donc s'écrire
/ / / Po^ dadbdc
avec
(27) -^ = /(Po, T„ £;, £;, £'3, /„ y;, y;) -+-• • •»
/ étant une forme quadratique définie positive en t\, s^, s,, y'^, y'^j, y, et le symbole -h... désignant un terme qui est infiniment petit au moins du troisième ordre lorsque ^, y), C» 5'» t^'> C sont, partout, infiniment petits.
Dans ce dernier cas, on doit avoir
ô£ dS d£
"'^-P^^' "^="-P«^' ''^"^-P'âF,'
Nous pourrons donc écrire, d'une manière générale,
-^^-Po-^^-'^ v^=-Po^H-..., v, = -po^4-.
df df ùf
"-=-P^^,"^--- ^-^^-P^JT^-^--" ^^^=-P^i>7;-^---'
les signes -h... désignant des termes qui sont infiniment petits au D. ik
moins du second ordre lorsque $, yj, J[, $', yj', C sont, partout, infiniment petits.
Les équations indéfinies du mouvement sont
^(N.+ v,) + |(T. + T.)-H^(T,-..,) + pg=o.
Lorsque $, T^, ^ tendent vers o, les dérivées ^> ^» -j^ tendent
vers i; les autres dérivées de x^ v, z par rapport à a, 6, c, tendent vers o; en même temps, p tend vers po- Si Ton tient compte des égalités (25) et (28), et si Ton observe quelle est indépendant de a, 6, c, on peut mettre les équations précédentes sous la forme
l du \ Ot, c/ej db\dy, ^ Oy'J ^ Oc\ây, ^ dyj âr- ^ ^*
, ^ ^ /do, d/\ d fdot df\ à (do, df\ d'-n ^"^^ \d-a[d7.^dil)-^UL[à'^Â)'^^^^
1 Oa\dy, dyj'^ db\dy, dy'J'^ dc\ds^'^ dB'J dt' "^
Dans ces équations, les symboles -f-.. . représentent des quantités qui sont infiniment petites au moins du second ordre lorsque $, yj, 2^, $', rj', J^' sont infiniment petits quels que soient a, 6, c.
Formons maintenant les conditions aux limites.
En tout point de la partie immobile de la surface qui limite le milieu, on doit avoir, quel que soit/, les égalités
(8) ;=ro, Yl:=0, Ç = o.
Considérons maintenant un point matériel pris sur la partie déforniable de la surface limite.
Kn l'état initial, cette surface était la surface S, le point matériel considéré y occupait la position a; la demi-normale en a, à la sur-
RFXIIERCHES SUR L ÉLASTICITÉ. 97
Dans ces équations (32), (33), (34) et (35), les signes -h . . . désignent des quantités qui sont infiniment petites au moins du second ordre lorsque $, y), Î^, l\ 'r\\ s' sont, partout, infiniment petits.
II. — D'une condition nécessaire pour la stabilité initiale d*un milieu quelconque, cristallisé ou vitreux (M*
Nous allons, en premier lieu, démontrer la proposition suivante : Si, en un milieu cristallisé, la fonction
9s(po» i^o> ^i> ^»» ^3> yi> yu '/s)
est une forme définie négative en £,, So* ^3» T<> Ya» T.i» Vétat initial du milieu ne saurait demeurer stable lorsque les diverses parties de la surface terminale sont maintenues immobiles.
Supposons, en effet, que l'état initial du milieu soit stable.
Aux valeurs absolues initiales de $, y), X^ et de leurs dérivées partielles du premier ordre en a, b, c, de $', r\\ C» nous pouvons imposer des limites supérieures telles que les quantités
demeurent toutes inférieures en valeur absolue à des limites données d'avance, et cela quel que soit t.
Donc, si l'état initial du milieu était un état d'équilibre stable, on pourrait limiter supérieurement les valeurs absolues initiales de ^, y], ^, et de leurs dérivées partielles du premier ordre en a, i, c, de ;', y]'.
( * ) Considérations sur la stabilité et, particulièrement, sur la stabilité des corps élastiques ( Procès-vcrbaiLV des séances de la Société des Menées physiques et naturelles de Bordeaux, séance du 9 juillet iQoS). — D'une condition nécessaire pour la stabilité initiale d'un milieu élastique quelconque (Comptes rendus, l. CXXXVIII, séance du •29 février 1904, p. 54 1).
f)6 p. DUIIEM.
Les égalités (25) deviennent
/ N;^=no— A(po,To)(ei-i-£j-+-e3)-2M(po,To)£,-+-..., l NV = no— A(po,To)(£i-f-ei-f-£3) — :2M(po,To)e2-H.-., 1 N,--3lIo-A(po,To)(ei-H£,+ £3)-2M(po,To)e3+...,
^^ jT, = ~M(po,To)y,4-...,
I Ty = -M(po,To)y,4-..., ! T,=:-M(po,To)73-f-...,
tandis que les égalités (28) prennent la forme
1 V^= — X(po, To) (£; -+- £; 4- £'3) — 2fx(po, To)£; -r . . . ,
l vj.=-).(po,To)(£;-4-£;-h£;) — 2fx(po,ïo)£;H-...,
] v, = -).(p„To)(e;4-s;4-£;)-2pL(po,To)£; + ....
I v>=: — ^(po,To)y;-+-...,
\ T. ■= — fX(po,To)*/3 -+-....
Les équations (29) deviennent
,^ , <^- fôl ôr, àt:\ d . d*r, .
tandis que les équations (3o) prennent la forme
I [ V(£, -+-£, -+-£3)4-'.îM£, ]aH-\l-/3?-^MyîV
\ -t- I X (s, -t- s.-r- £3) -i- 3,u £; ]a H-fx 7,3 -r- fx y;-/ H-. . . = o,
(3:>) ! My.«-t-[V(M--£,-^£3)^2M£,]3-r-Myr/
I -^- F •/':i Jt -t [X ic, -h £, -r £'3 ) -r .î.tX £', ] 3 -r- .U y', y -|- . . . = O,
I My» a :- My, 3 -t- [ A(£i - £, -r- £3 ) -4- aMcjJy
* f^ 'h ^ -^ .^ y I .3 -r- [X (£; -^ £; -r £3 ) -^ JfX £'3]y -h. . . = O.
RFXHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. 97
Dans ces équations (32), (33), (34) et (35), les signes -h . . . désignent des quantités qui sont infiniment petites au moins du second ordre lorsque $,7), ^, ^', yj', s' sont, partout, infiniment petits.
II. — D*une condition nécessaire pour la stabilité initiale d*un milieu quelconque, cristallisé ou vitreux (*).
Nous allons, en premier lieu, démontrer la proposition suivante : Si, en un milieu cristallisé y la fonction
?î(Po» To, Êi, Êj, £3» '/ij "/i» 73)
est une forme définie négative en £^, £0, £3, Yi, 72» Ys» létat initial du milieu ne saurait demeurer stable lorsque les diverses parties de la surface terminale sont maintenues immobiles.
Supposons, en effet, que l'état initial du milieu soit stable.
Aux valeurs absolues initiales de $, y), 2^ et de leurs dérivées partielles du premier ordre en a, b, c, de $', r\\ C» nous pouvons imposer des limites supérieures telles que les quantités
^1» ^J> ^3> g\^ gif gzy
demeurent toutes inférieures en valeur absolue à des limites données d'avance, et cela quel que soit /.
Donc, si l'état initial du milieu était un état d'équilibre stable, on pourrait limiter supérieurement les valeurs absolues initiales de $, yj, 2^, et de leurs dérivées partielles du premier ordre en a, i, c, de ;', y]'.
( * ) Consulcraùons sur In stabilité et, particulièrement, sur la stabilité des corps élastiques ( Procès-verbaux des séances de la Société des Sciences physiques et naturelles de BordeaiLc, séance du 9 juillet iQoS). — D'une condition nécessaire pour la stabilité initiale d'un milieu élastique quelconque {Comptes rendus, l. CXXXVUI, séance du •29 février 1904, p. 54 1).
î)8 p. DUHOI.
X! de telle sorte que la quantité
(36) V ——( jj 9t{pof'^of eiy e^, e^, gi, g^, g^) dadb de
-^^fff{ï,''-hn'^-i'K")dadbdc
demeure, quel que soit /, inférieure à une grandeur positive Adonnée d'avance.
Les égalités (24) permettent d'écrire
(3; ) U = — / / j 9,(po, To, £„ £,^ £„ y„ y„ y,) da db de
-h^ f ff{l'^-i-n''-^K'^)dadbdc-i-...,
-r... désignant une quantité qui est infiniment petite, au moins du troisième ordre, lorsque $, yj, J^ sont, partout, infiniment petits. De Tégalité (37) on tire
-r-... désignant encore un terme qui est infiniment petit, au moins du troisième ordre, lorsque $, r;, Z, $', tj', X,' sont, partout, infiniment petits.
Mais les égalités (29) donnent
fff( ;' i' + r/ »i' + r r ) da db de
RECHERCHES SLR L ELASTICITE. 99
-h. . . désignant des termes qui sont infiniment petits au moins du troisième ordre lorsque $, y), ^, $', yj', J^' sont partout infiniment petits. Cette égalité, à son tour, peut s'écrire
Mais tout point de la surface £ est un point immobile, cas auquel, en ce point, on a, quel que soit /, les égalités (8), qui entraînent les égalités
(Suis) l'=o, r/izzo, Ç' = o;
l'intégrale par laquelle débute le second membre de l'égalité précédente porte sur une quantité nulle. Au même second membre, on peut, en vertu du théorème d'Euler sur les fonctions homogènes, remplacer la somme
EL,' ^ EL,' ^ ^,' + i/ y + i^y ^ ^w
rs
par 2/; l'égalité précédente se réduit donc à r r Aç'f -4- r/r/4- Ç'r ) da dh de
— a/ / I fdadOdc-^,..,
lOO p. DUHEM.
et l'égalité (38) peut s'écrire
— 3/ / j/dadbdc-h
De cette égalité (Sq) une nouvelle différentiation par rapport à / tire l'égalité
où (5) représente un carré symbolique.
Or on a
zn 95(po, To, £'1, £;, £'3, y',, /,, yi).
D'autre part on a
J J J\ lda\de,^ Ot\ ) ^ db\dy, ^ Oy'J ^ de \dy, ^ dy'j\ ^ Vàa \dy, "^ dy'J '^ db\de, ^ de'J ^ dc\dy, '^ dy'J] ^
RECHERCrtES SUR l'ÉLASTICITÉ. IOI
Au second membre de cette égalité, la première intégrale porte sur une quantité nulle. En effet, l'élément dH est immobile et Ton a alors, quel que soit t, les égalités (8 bis), qui entraînent les égalités
{S ter) r=o, n'^o, Ç"=o.
Quant a la seconde intégrale, on peut la transformer au moyen des égalités (29).
Tout compte fait, Tégalité (/|o) peut s'écrire 1
(40 ^=-fff9tipo.^o.B\.B',,E',,y[,y',,y',)dadbdc
làa \dy, ■*" ây, J '^ db\âe, -^ Wj ^ Oc \dy, "^ dy'J ]
Le signe -h. . . continue à désigner des termes qui sont infiniment petits au moins du troisième ordre lorsque Ç, yj, ^, ^', rf, 'C,' sont, partout, infiniment petits.
Le terme explicitement écrit en Texpression (4i) de -j-f peut-il
s'annuler? Si Ton tient compte de l'hypothèse faite au sujet de ç, on voit que, pour que ce terme s'annule, il faut et il suffit que l'on ait
<i>j(po, To, £;,£;,£;, y;, yi, yi ) = o,
da\dt, ^ ôe\ ) "^ db\ây, "^ ây'J "^ ()c\dy, "^ âyj ""^'
(42) {±[à9t^à/\^±fà^^àl\±/â^âl\
J àa \dy, "^ ây'J '^ âb\ ôe, "^ de', ) '^ ôc \dy, ^ ()y\ ) -""^
da\ây, ây'J âb\dy, dy'J '^ dc\dt, dt'J ~ '
La première des égalités ( V^) exige que l'on ait, quels que soient a, 6, c,
(43) e[=Oy e; = o, £;=o, y'j^o, yi^o, y'^ — o,
en sorte que les trois dernières deviennent
j d â(^i d â^ d dof
l âa Osi Oh ây^ de â'/t ~~ *
^ ' \ da Oy^ db ôs^ Oc Oy^
I 0(^i (^9, Oot ! Oa Oyi Ob Oy^ Oc Oi%
Les égalités (/|4) entraînent l'égalité
J J J L \ào Oe, "^ Ob Oy, "^ Oi OyJ ^ / 0^ Oo, 0(^i\ \0a 0/i Ob OSi Oc OyiJ i Oo. OOi OOi \ "I . .. ,
qui devient, en vertu des égalités (i),
/Ooi 0(^^ f. Ooi \
KOy^ Oit "^ Oyy ' /
Au premier membre de cette égalité (V>)> 'a seconde intégrale s'annule, car i, y], ^ sont nuls en tout point de la surface S. Si Ton tient compte, en outre, du théorème d'Euler sur les fonctions homogènes, cette égalité devient
/ / /?j(Po, T„, £,,£„Êa,y,,7„y,) c^aû^6<ic = o.
La fonction (p^ ne pouvant être négative, elle exige que l'on ait, quels que soient a, 6, c,
?2(po, To, £„ £2, £„ yi, y„ y,) = o
RECHERCHES SUR i/ÉLASTICITÉ. lo3
OU bien, puisque 92 est une forme définie positive en c^, £3, £.,, y<» Ta» Y»»
(46) £, — 0, c,-=o. £, — 0, yi -o, y-j^o, yn— o.
Les égalités (43) et (46) sont donc les conditions nécessaires et suffisantes pour que le terme explicitement écrit, en l'expression (4 1 \
de -^ soit égal a zéro.
Les égalités (46) équivalent aux égalités
(4;) \ ==>î-l- Wj^ — a),c,
tandis que les égalités (43) équivalent aux égalités
l cj = /-i 4- Wj c — (1)3 6,
(48) ' yi'=rx;-f-&);rt — o);.c,
f ç'zzrx;4-o);6-w;c,
., . l ^l> ^^î» ^3» '^l> ^^>ît ^.T
étant douze quantités indépendantes d(w/, h, c. Mais les quantités $, Y), C, données par les égalités (47)» doivent, selon les conditions (8), s'annuler en tout point de la surface 2; selon les conditions (8 bis)^ il en doit être de même des quantités ^\ y)', C données par les égalités (48); pour cela, il faut et il suffit que les douze constantes (49) soient égales à o, ce qui nous donne, quels que soient a, b, c.
Telles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que s'annule
la quantité explicitement écrite en l'expression (4i) de ^
Les termes explicitement écrits en l'expression ( ^i) de -^ sont donc infiniment petits du second ordre lorsque Ç, yj, l, ^', y]', Xj sont.
lO^I p. DUHEll.
partout, infinimont petits du premier ordre; leur somme ne s'annule que lorsque les six quantités ^, r^, Z, ;', rj', Z' sont nulles quels que soient a, b, c\ hors ce cas, cette somme est essentiellement positive.
Les termes non explicitement écrits sont infiniment petits du troisième ordre lorsque E, y], ^, ^\ yj', XJ sont, partout, infiniment petits.
On peut donc limiter supérieurement les valeurs absolues de $, yj, J^, de leurs dérivées partielles du premier ordre en a, b, c et de \\ y]', Xj
de telle sorte que ^y^soit sûrement positif; pour qu'il en soit ainsi
quel que soit /, il suffira, si le système est stable, d'imposer des limites supérieures suffisamment petites aux valeurs absolues initiales
de $, Y], l, l\ '({, l;.
Considérons maintenant la valeur initiale de^j valeur qui se tire
de Tégalité ( iy).
Lorsque ^, y), C» ?» ^l» ^ sont partout infiniment petits, les termes explicitement écrits sont, en général, infiniment petits du second ordre, tandis que les termes représentés par H-... sont infiniment petits du troisième ordre au moins.
Supposons les valeurs initiales ?!,, y)^, So» de ?', yj', C liées aux valeurs initiales ?o» ^o> ^o» ^^ ?• ^» ^ P^^ 'es relations
où K^ est une quantité positive indépendante de a, 6, c. Le premier terme de ( ^ ) deviendra évidemment
ou, selon le théorème d'Euler,
quantité essentiellement positive si Ton n'a pas
RECHERCHES SUR l' ÉLASTICITÉ. Ï07
Si ^, rj, î[, ^\ Y)', C sont infiniment petits, il résulte des égalités (34) que nous aurons, en tout point (a, 6, c) et à tout instant ^
(53) (A + 2M)AÔ-^(X-H2fjL)J^A0-po^-+-... = o et aussi
M AWj 4- fX ~ Awi — po -^ -h . . . =: o,
(54) ' MAw,-hfX^Aw,— po-^'4-...=::o,
M Aw,-+- fx-- Aw,- po-^ -f- . . . =o.
Dans ces équations, comme dans les équations (i\) dont elles découlent, les symboles -h... remplacent des termes qui sont infiniment petits au moins du second ordre lorsque Ç, rj, Ç, Ç', rj', î[' sont, partout, infiniment petits du premier ordre.
Ces préliminaires posés, considérons l'expression
(55) Wzzz{\^2M) f f fi^eydadbdc,
OÙ nous supposerons tout d*abord l'intégrale étendue au volume que limite une surface 1 dont tous les points sont à une distance finie du pjintO; nous pourrons ensuite faire croître au delà de toute limite tous les rayons vecteurs de cette surface sans que l'intégrale cesse d'avoir un sens.
De l'égalité (55), nous tirerons
(56) ^=i(A4-2M) rAÔAe'é^Bj, puis
(57) ^=2{\-^2M) C{M'yduy-h2{\-h2M) CMM'dm.
Dans ces égalités on a posé, pour simplifier les formules,
dadbdc=.dm, ^=0\ 4r7=^'ut oc^
TO() r. DUHEM.
l'étal d'èquilihre initial de ce milieu ne peut demeurer stable lorsqu'on suppose fixés les divers points delà surface qui le limite. Cette proposition demeure vraie que le milieu soit exempt de viscosité ou qu'il en soit doué, que cette viscosité tende à gêner ou à favoriser le mouvement.
III. — Établissement de diverses formules qui serviront à discuter la stabilité initiale d'un milieu vitreux (M-
C'est à la considération des seuls milieux vitreux que notre analyse va maintenant s'attacher.
Nous supposerons ces milieux illimités; nous supposerons en outre que les régions infiniment éloignées sont maintenues immobiles; et, d'une manière précise, voici ce que nous entendrons par là :
Soit rla distance d'un point (a, 6, c) à l'origine des coordonnées; nous admettrons que, lorsque r croît au delà de toute limite, les fonctions
tendent vers o à la façon de fonctions potentielles; c'est-à-dire que ces fonctions tendent vers o; qu'il en est de même des produits par r de leurs dérivées partielles du premier ordre en a, b,c; des produits par 7^ de leurs dérivées partielles du second ordre en a, 6, c.
Que Ç, rj, î[ soient finis ou infiniment petits, nous poserons, en toutes circonstances,
l âa dh ôc^
db~
de
(ht
dl
"''-Ta-W
y ' ) Sur quelques formules utiles pour discuter Ut stabilité d'un milieu vitrt.ux ( Comptes rendus, t. CXXXVUI, p. 737, séance du '21 mars 1904).
RFCUKRCHES SUR L ÉLASTICITÉ. I 09
Considérons maintenanl l'expression Nous aurons
ce que l'égalité (53) permet d'écrire
, r/J^/' à M' dO' dlO' àO' dM'\ , + ,(/.+ ,^ ) j (^- - 4- ^ -^^^- + ^^: -^ j .te
le signe -h. . . désignant des termes qui sont inliniuïent petits du troisième ordre» lorsque $, yj, ^, $', yj', ^' sont, partout, infiniment petits. D'ailleurs, Tégalité (Gi) prut encore s'écrire
(62) ^ =- 2( A -f- 2M) /"a^ A^ c/gt - o (à h- 2^) / ( \0')' //ht
- 2( A H- aM) Ta^^c/I - 2 (}. -h 2^) fAry^r/1 -h
Si l'on fait croître au delà de toute limite tous les rayons vecteurs de la surface S, cette formule se réduit ii
(63) ^ — 2(A -+- 2M) CàOAO'dm - 2(X -4- 2fjL) ( {\0'Y dxs'-\- . . ..
Revenons à la formule générale (61); elle donne
d'^ ^ . .. r/ô^' dih' ôfj' oie' ôO' d\0'\ ,
^,(A-^2M)j(^— -^^^- -^—.— ^ — — yir.
loH p. nUHEM.
L'égalité (53) donne
Po Po
en sorte que Tégalité (57) devient -^ = 2 ( A -H 2M) / (A0')« dm
^ilA±iMr TA^AA^^^-^ii^^t^MH^^ll^ TA^AAÔVe
Po J Po J
Cette égalité, à son tour, peut s'écrire
(58) ^ = :i(\-h2M) f(^e')^dm
2(AH-2M)a-f-2jjL) r/(?A0 aie' âi9 â\e' â\e à^r\^^
Po J \ àa^ da db ôb de de )
2(A-+-2M)* r.aà\9
±2^ fAo'-^dl po J ont
^ 2(A4-2M)(X4-2,x) r^QàtjQ' ^^
p.) ./ an, ^
Dans cette égalité, rii est la normale à l'élément rfS, dirigée vers rintérieur du volume occupé par le milieu.
Si l'on fait croître au delà de toute limite tous les rayons vecteurs de la surface 2, l'égalité (.)8) devient
2(A-h2M)(X + 2jjL) r/ diepAS' d\9dM^ âMdM' \^^ Po J \ da da db db de de )
Dans les égalités (^8) et (5()),le symbole -h... remplace des termes qui sont infiniment petits au moins du troisième ordre lorsque Ç, rj, î^, Ç', Y]', ÎJ' sont, partout, infiniment petits.
RF.rHKRCHFS SUR l' ÉLASTICITÉ. I OQ
Considérons nnaintenanl l'expression
Nous aurons
f^d, r/dO' OO" dQ' 09' à6' 06" \ ,
ce que l'égalité (53) permet H'écrire
./V 00-0 M dO' 016' 00' à\6'\ , + a(X -4-a^ )J ^-j-- -^~ + ^ ^^- + ^ -^j.fe
le signe -h. . . désignant des tenues qui sont infiniment petits du troisième ordre, lorsque $, yj, X,, ^\ y]', ÎJ' sont, partout, infiniment petits. D'ailleurs, l'égalité (6i) pc^ut encore s'écrire
(62) ^=:2(A-f-2M) /'AÔAye/w~2{/.4-2fJL) AaO')^^/gT
Aô ^ c/i; - 2 (}. -+- 2 /x ) / A<?' ^ r/l -+-
Si Ton fait croître au delà de toute limite tous les rayons vecteurs de la surface 2, cette formule se réduit à
(63) ^ — - 2( A + 2M) flB A9' ^5T - 2 (X -+- 2fjL) A A^')' dxs'-^.,..
Revenons à la formule générale (Oi); elle donne
d'^ , , ^. ^ rfôO' à 19' âO' â A6' dO' àAO'\^
-J= ,(A-4-2M)J(^^^-4-^-^4---^j^nT
,. X rfàO' aie" ôO' ôie" oo' die"\ ,
