a+2^)j(^--^-f--.^-^--^j./nT
L'égalité (53) transforme celte dernière égalité en T/» ^,s<^^^ ,-■ ^d\0'Y
po J ' I <>(i ^' da } ôa
-H[(AH.3M)^.AA&-H(>. + .,x)/^.AAe']^'j.te
Cette égalité, à son tour, peut s'écrire
((•>.',) ^ ---r. - 3(A + aM ) Aaô')' dis— •*( A + aM) TaO' j^r/S
.,.|^(A+aM)-^+a + afx)-^J
+ [(A4-aM)-^+().H-afx)-^J |.fe a(Â + 3u) /•, |-. „ rfA9 ,, ^dM'\dà6'
^^(A + aM)-^+a + a^)^^J-^jrf«, a(>.-+-2u) /'l r . ^,àM ,. ,àA6'\ à à6'
r i ^,.<^^'J /i sàlO'-\ à dO'
+ |^,A + aM)-j^H-a + a^)^-^^
+ [^(A4-aM,^-H(X-t-a;.)-^J^^jrfi
RECHERCHES SDR L ÉLASTICITÉ. I 1 1
aa+2fi) A dB' d r. ...aie
Si l'on fait croître au delà de toute limite tous les rayons vecteurs de la surface 2, cette formule se simplifie et devient
(65) ^--^-2(A-^2M) Aa()')«^5t
2(X-^2fx) r( r . ju,àie ,, ^^A^^ h|^(A4-2M)-^-^(X-^.^)-^|
[^ 'Oc ^ Oc I Oc \
Dans les égalités (G/|) et (65), le signe -+-..• représente des termes qui sont infiniment petits du troisième ordre lorsque ^, r^, X,, $', yj', X/ sont, partout, infiniment petits.
Considérons maintenant l'expression, analogue à l'expression (55),
(66) P==MfÇf[{^u>,y-i-{\Gi,y-^(Au>,y]dadùdc, que, par abréviation, nous écrirons
(67) P = M^f(lu>yduy.
ôa ôb
De cette égalité (67) nous tirerons
— — . 2 M^ / Ao) Aco' dT3.
Raisonnant ensuite comme nous l'avons fait pour tirer l'égalité (Sp) de l'égalité (56), mais en substituant dans nos déductions les égalités (.14) à l'égalité (53), nous trouverons que l'on a, pour un milieu indéfini.
Dans cette égalité, le signe 4-... désigne des termes qui sont infiniment petits au moins du troisième ordre lorsque ^, yj, Ç sont, partout, infiniment petits.
Considérons enfin l'expression, analogue à l'expression (60),
^=^''Lm)'<thm]
dm.
Raisonnons comme nous l'avons fait pour tirer l'égalité (63) de l'égalité (60), mais en faisant usage des égalités (54) au lieu de l'égalité (53); nous trouverons que l'on a, pour un milieu indéfini,
(71) ^rr:— 9.MV rAcoAo/^GJ-2fJL^ r(Aa)')*(^5T,
H-... désignant encore des termes infiniment petits du troisième ordre lorsque $, y), X,, \\ y\ , X,' sont, partout, infiniment petits.
En raisonnant comme nous l'avons fait pour obtenir la formule (65),
KECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. 1 i3
nous trouverons que Ton a, pour un milieu indéfini.
<)Aa)'\^Aco'
/„<)Aw fiAo/\dAco'
-h... désignant toujours des termes infiniment petits au moins du troisième ordre lorsque $, yj, 2^, ^\ r/, s' sont infiniment petits
Ces diverses formules vont nous permettre d'établir plusieurs propositions touchant la stabilité des milieux vitreux.
IV. — D'une autre condition nécessaire pour la stabilité d*un milieu vitreux illimité ( * ).
La première proposition que nous démontrerons est la suivante :
Considérons un milieu intreux indéfini dont les régions infiniment éloignées sont maintenues immobiles. L'état initial de ce milieu ne pourrait sûrement pas être un état d'équilibre stable si l'on avait à la fois les
( * ) Considérations sur la stabilité et, particuUèrcmerU, sur la stabilité des corps élastiques ( Procès'Verhaiw des- séances de la Socirtc des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, Séance du «5 juin njo'i). — D'une condition nécessaire pour la stabilité d'un milieu vitrewc illimité {Comptes rendus, l. CXXXVHI, p. 54 1, séance du 29 février 1904).
deux inégaJUtès
Cette pronosition est vraie que le milieu soit dénué de viscosité ou doué de viscosité; elle demeurerait vraie si les actions de viscosité étaient des puissances actives au Heu d'être des résistances passives.
Cette proposition nous donne des renseignements plus complets que la proposition démontrée pour les milieux vitreux à la fin du paragraphe II. En effet, si les inégalités (52) entraînent les inégalités (73), les inégalités (73), au contraire, pourraient fort bien être vérifiées sans que (3 A -h 2M) fût négatif. Il est vrai que la proposition démontrée à la fin du paragraphe II s'applique a un milieu limi té par une surface immobile quelconque, tandis que celle-ci suppose le milieu illimité en tout sens.
Pour démontrer cette proposition, considérons la fonction
En vertu des égalités (55), (60), (66) et (70), et des inégalités ( 73), cette grandeur ne pourra jamais être négative. Si Ton impose aux valeurs absolues de 6, 6', co,, co^, (O3, cd'^, co'^, cd,, des limites supérieures convenables, U sera sûrement inférieur à une quantité positive quelconque A, donnée d'avance. Si donc l'état initial du système était stable, on pourrait sûrement aux valeurs absolues initiales de ^, t\f ^» ^'. tq'» ^' imposer des limites supérieures telles que U n'atteigne la valeur A pour aucune valeur de t.
Les égalités (56), (63), (68), (71) et (74) permettent d'écrire
(75) ^=-4(A-+-2M) /a^Aô'^bj--4M^ TawA^'^bj
— 2(X-+- 2ix) C{Ae'ydTn-2ix 2) AAw')'^«iy
+ . . . désignant des quantités qui sont infiniment petites au moins du troisième ordre lorsque ^, yj, v[, $', yj', ^' sont, partout, infiniment petits.
RECHERCIIF.S Sl'R i/kLASTICITK. I|5
Les égalités (Sc)), (65 ), (69), (72) ot (74) donnent, à leur tour,
(76) ^=4(A4-2M)y(A6')'rfBj
Le signe + . . . désigne toujours des infiniment petits d'ordre supérieur par rapport à Ç, y\, ^, Ç', ï)', C-
Peut-il arriver que le terme explicitement écrit au second membre de l'égalité (76) soit nul? Pour cela, en vertu des inégalités (73), il faut et il suffit que l'on ait, quels que soient a, b, c :
(79) Aw'j = o, Aci)', = o, Aco', = o, I ., â Aw/ d Aw/
I ,- (^ Aw/ <^ Aco)
(80) ; àb '^ ()^> -, {^ Aci)/ d Itti'i
Tî6 p. milIEM.
En vertu de l'égalité (77) et de la première inégalité (73), les égalités (78) deviennent
d\0 ÔIO ô^e
Ou Oh OC
et, comme AO est nul à Tintini,
(81) A^yrrr. o.
De même, en vertu des égalités (79) et de la seconde inégalité (73), les égalités (80) deviennent
()n ()o Oc
et, comme A(0/ est nul à Tinfîni,
(82) Aw, =: o, A(i3j=:0, Aa)3-:o.
Les quantités
doivent, dans tout l'espace, vérifier les équations (81), (82), (77) et (79); elles doivent, en outre, s'annuler à l'infini; cela exige que l'on ait, dans tout l'espace,
(83) wj -^ o, coj =1 o, ci)o ~ o,
(85) gdJ =0, coi=::0, r,)j — o,
(86) fy=io.
Les égalités (83) et (8 >), jointes aux trois dernières égalités ( ^2), montrent qu'il existe deux fonctions F(a, h, c), F'(a, A, c), finies continues et uniformes dans tout l'espace, telles que l'on ait
0¥ ^ ÔV
\ ^ " du' "--' Ob' ^ - Oc
RECHERCHES SUR L ÉLASTICITÉ. I î 7
Les égalités (84), (86), (87), jointes à la première égalité (55), exigent que Ton ait, dans toutTespace,
AF=:o, AF'=:o.
F et F' sont donc de simples constantes et les égalités (87) deviennent
Ç=rO, yi=0, Ç:=0,
^'=:0, Y)'=zO, r=rO.
Telles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que le terme explicitement écrit au second membre de l'égalité (76) devienne égal k o.
Hors ces conditions, ce terme est essentiellement positif; il est infiniment petit du second ordre lorsque $, yj, J^, ^', yj', Xj sont, partout, infiniment petits.
On voit donc que, tant que les valeurs absolues de $, y), Î[, $', rj', C et de leurs dérivées partielles du premier ordre en a, 6, c ne surpasseront pas certaines limites, ^-j- aura sûrement le signe de son premier terme et sera positif; si l'équilibre initial du système était stable, on pourrait limiter supérieurement les valeurs absolues initiales de Ç, Y), 2^, $', Y)', X,' et de leurs dérivées partielles du premier
ordre en a, A, c, de telle sorte que -^ ne puisse devenir négatif pour
aucune valeur de t.
Considérons, d'autre part, la valeur prise, à l'instant / = o, par la
quantité -^ qu'exprime l'égalité (11).
Posons, à cet instant / = o,
|;-K'Ço, -oi^K^rio, ç;=K'Co.
L'égalité (75) nous donne alors
(^\ =--4K«(A-+-2M) AA0o)*^iiJ-4K«M2 r(Aa)o)'rf«iy
l l8 p. DUHEM.
Visiblement, nous pourrons prendre pour K^, $o» ^o» ^o et pour les dérivées partielles en a, h, c de $o» ^o» ^o» des valeurs assez petites pour que (-jr) ait le signe des termes qui, au second membre,
occupent la première ligne, et ces termes sont positifs.
Si donc l'état initial du système était un état d'équilibre stable, nous pourrions disposer des valeurs initiales de ^, y), J^, $', y)', s' de telle sorte que les trois conditions suivantes fussent sûrement remplies :
i*" U ne surpasserait pour aucune valeur de t une quantité positive A, arbitrairement donnée d'avance;
2'' La valeur initiale de -j- serait positive;
3"* -j-r ne serait négatif pour aucune valeur de /.
Les deux dernières conditions contredisent la première; le théorème énoncé est donc démontré.
