DUHEM
On
en eflet.
d dx dx da
[da,
i da )dJ-^
d , db^
[daj
.db Ux
(dxy \dai
1 de Ux
OU bien, en vertu des égalités (2) de ia première Partie de ces Recherches sur l'Élasticité.,
d dx^à^da d^i db d'% de dx da ~' da' dx da db dx da de dx
Cette égalité, jointe aux égalités (r) et (6), donne la première des relations
r d dxy -, ,^ [ d dxy „.,,- r d dxy ^ ,,-
[drrd^lr^'''''' L^^J.^'^'^'"' [T.d^lr^y'''
r d dxy ., ^ r '^ àxy ^ -
,[d:idb\,=^=""'' ■■■' I^ITJ^J.^*^""^' •••'
Considérons maintenant l'identité
dl dl Ojc dt à y ()^ âz
ôa ôu' Oa ôy ôa ôz ôa
et différentions-en les deux membres par rapport à x; nous trouvons l'identité
^ (M ô^l ôb Ô'I <k
ôa- dr ôa ôh ôx ôa ôc ô.r
(P^(lr à^ày ô^l ôz ôl^ôx ô^ô^ôy à^ ^ àz^ ~ ôx^ ôa ôxÔY ôa ôx ôz ôa ôx ôx ôa ôy ôx ôa ôz ôx ôa
Mais les égalités (i) de la première Partie de ces Recherches sur l'Élasticité donnent
ôx ôx ôy ~ ôy ôz ôz
L'identité précédente devient donc
d^àa d*^ db d'I de ô dx da^ ôx âa db ôx da de dx dx da
d2 àx d^l dy d^l dz^ dx* da dx dy da dx dz
dz (da d dx da d dv da d dz\ da \dx dx da dy dx da dz dx da)
Selon les égalités (i), (6), (7) et (8), cette identité donne, en tout point de la surface S, la première des égalités
Les deux autres s'obtiennent d'une manière analogue.
Multiplions respectivement ces égalités par j-y -r^> -^ et ajoutons
membre à membre les résultats obtenus; nous trouvons la première des égalités
/ p I [dx. dx ^^^ dx ^\
Les deux autres s'obtiennent de même.
Multiplions respectivement les égalités (9) par /, m, n et ajoutonsles membre à membre en tenant compte des égalités (i); nous trouvons la relation
Nous aurions trouvé la même relation en multipliant respectivement les égalités (10) par a, f{, y, en ajoutant membre à membre les résultats obtenus et en tenant compte des égalités (2).
Proposons-nous de former h^ •
P. DCHEM.
Nous avons
d(Q> d(K> d dx dx . dx dx da
d(Q d dx , dx dx db ""db
d(5b d dx . dx dx de ^Te
d<S) dv . àv dx âa
d(^ d dy ^dy dx db ^db
(^(ô d dy ^dv dx de ^Te
<J(B d àz . dz dx da ^Ta
c)(0 d dz '^ ^dz dx db ^Tb
(>(0 d dz . dz dx de
'dh
l)(y,5) d ~ D(6,c) dx
dx d^
\){y,z) d dx \){y,z) d dx ■^ l)(c, a) dx db ' l)(a, b) dx de
\i{z,x) d dy D(6, c) dx da
\){z,x) d dv ^ \){z,x) d dy "^ l)(c, a) dx db \){a, b) dx de
D(a?,y) d «(ft.c) dx
dz âa
D(.r, V) d dz \)(x.Y) d dz ■^ \M,c, a) dx db ' ])(a, b) dx de
Selon les égalités (26) de la première Partie de ces Recherches sur V Klasiicitéy cette égalité devient
c?cO ^ / da d dx db d dx de d dr
dx \ dx dx da dx dx db dx dx de
da d dv db d dy de d dy
dx dx da dx dx db dx dx de
da d dz^ db ^ dz àc d dz\
dx dx da dx dx db dx dx de)
Les égalités (8) et (i) donnent alors la première des égalités
(12) ^ |^j*^K.cO(aJ-i-(3(,'4-yX)?,
Les deux autres s'établissent d'une manière analogue.
En vertu de Tégalité (i 1), ces égalités peuvent encore s'écrire
RF.CHERCHES SUR l'ÉLASTICITK. i65
Nous avons
âa "~" âx ôa âv ôa dz ôa
Cette égalité, jointe aux égalités (12) et (2), donne la première des égalités
Les deux autres s'établissent d'une manière analogue.
En vertu de l'égalité (11), ces égalités peuvent encore s'écrire
L'équation de continuité
nous montre que les surfaces S et S sont, en général, ondes du premier ordre pour la densité p. On a donc
les égalités (16) se rapportant à un point de la surface S et les égalités (C7) à un point de la surface S.
L'équation de continuité donne
àp^ po à(^
relation qui, jointe à la première égalité (i4) et a la première éga-
l6G p. DUHEM.
lifé (i6), donne
OU bien, en vertu de Tégalité (i i),
(19) c'ar^-'j^C/^-f-mV-h/iX).
L'équation de continuité donne aussi
dp __ po ^ ()jr ~ ô» dr '
relation qui, jointe à la première égalité (12) et à la première égalité (17), donne
ou bien, en vertu de l'égalité (i i),
La comparaison des égalités (18) et (20), ou bien des égalités (19) et (21), donne
(22) P = K.ii.
La condition pour qu'une onde, du second ordre par rapport aux composantes ^, y], ^ de l'élongalion, soit d'ordre supérieur au premier pour la densité p s'exprime alors indifféremment par Tune ou l'autrfi des relations, équivalentes entre elles,
(23) a^-h[3(j -+-7X1=0, ( 2/1 ) /4> -h m ^^ -h fi\ = o.
Ces relations n'expriment nullement que \^ perturbation d'ëlongation propagée par l'onde soit transversale ni dans le milieu primitif, ce qu'exprimerait l'égalité
( 23 bis) / J -+- m (/ -f- /i JC = o,
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. 1G7
ni dans le milieu déformé, ce qu'exprimerait l'égalité (24 bis) a<>-+-pVH-yXi=:o.
Considérons les composantes w, v, w de la vitesse d'un point matériel; on peut les exprimer en fonctions de a, è, c, / ou bien en fonctions de .r, y^ z, t. Dans le premier cas, on a
. Kv dl(a,b,c,t) ân {a, b, c, t ) ôKia, b, c, t)
^ ^ ôt dt dt
La surface S étant, dans l'espace des (a, è, c), une onde du second ordre pour l'élongation ($, y], Ç), est onde du premier ordre pour la vitesse (m, 9, w). Soient t), t?, xjp les composantes de \^ perturbation de vitesse que propage cette onde; nous aurons, en tout point de la surface S,
'-' [r:];=-. fê];=-. [^"]:="". [^];=—
et des égalités analogues concernant v et w. Les égalités (6), (20) et (26) donnent alors
(27) t) = — ^^', t?=— ^ï;,^, \sp = — 0ï;,3e.
Z)a/i^ fe milieu primitif y Vonde S propage une perturbation dèlongation et une perturbation de vitesse orientées suivant la même ligne.
Dans l'espace des {x, y, s), la surface S est onde du premier ordre par rapport aux composantes w, v, w de la vitesse; si l'on désigne par U, V, W les composantes de h perturbation de vitesse qu'elle propage, on aura
''^> [g;=-. m'r^-- mr^^- [t:];=--
et des égalités analogues concernant i^ et w. D'autre part, la première égalité (25) donne
du J^da â^ db d>| ôc
âx ~" da ôt Oœ âb dt ôx de dt dx
l68 p. DUUEM.
Celte égalité, jointe aux égalités (6) et (i), donne l'égalité
Celle-ci, comparée à la première des égalités (28), donne la première des égalités
(29) u = ~Kx^, v=— Kxg, w=— Kxje.
Les deux autres s'obtiennent d'une manière analogue.
Dans le milieu déformé, ronde S propage une perturbation de vitesse qui est parallèle à ta perturbation correspondante d'élongation que propage l'onde S dans le milieu primitif et ^ partant, à la perturbation de vitesse que propage cette même onde S ( * ).
Les égalités (18) et (20), jointes aux égalités (29), permettent d'écrire
(18^/^) ^ = ^(aU-f-(ÎV4-yW),
(20 bis) p-l^(aU + (îV-+-yW).
Pour qu une onde du second ordre par rapport aux composantes $, rj, Ç de l'élon galion soit, par rapport à la densité p, d'ordre supérieur au premier (4R. = o, P = o), il faut que l'on ait
(3o) aU-h?V-H7Wz=o
ou, en d'autres termes, que cette onde soit, dans le milieu déformé, transversale par rapport aux composantes u, v, w de la vitesse; et cela suffit si la vitesse dl, avec laquelle la surface d'onde se propage dans le milieu primitif n'est pas égale à zéro.
Si, dans la première Partie de ces Recherches sur l' Élasticité, on con-
( * ) Sur la propagation des ondes dans un milieu parfaitement élastique affecté de déformations j^nies {Comptes rendus, t. CXXXVI, 8 juin 1903, p. iSjg).
sidère les égalités (2) et (8), on obtient sans peine l'égalité
dsi âa: Ji^ dx dy â^ dy dz â dz ôx âa dx da ôa dx da ôa âx ôa
Cette égalité, jointe aux égalités (8), permet d'écrire, en tout point de l'onde,
Posons
[È]'r^"{ra-^-rJ-Ta^)-
K — à-^-i, ^y nu. ^' V
n — ^'^i^'^yr^^'v db do •' 00
C — à-r.. dy .àz
de ' de '' de et l'égalité précédente deviendra la première des égalités (')
([èir""*- fêi^"^'*- [*];="■'"•
[^j'=K«(/.BH-mC), [^]*=K(3(/»B4-mC), [^]|= Ky(«B + mC).
[^]|=:K«(;nA + /B). ....
Les autres égalités (32) s'établissent comme la première.
Les égalités (3i) nous donnent les expressions des quantités Â, B,
(^) Ces égalités ont été données dans le cours que nous avons professé en 1901-1902 à la Faculté des Sciences de Bordeaux. M. Hadamard, qui les avait obtenues de son côté, les a publiées en 1908 dans ses Leçons sur la propagation des ondes et les équations de l'Hydrodynamique, p. 249.
170 p. DUUEM.
C en fonctions des quantités ^, ç, 3C; parfois nous aurons besoin d'exprimer les mêmes quantités A, B, C en fonctions des grandeurs $, ^ et X; nous y parviendrons de la manière suivante : La première égalité (3i), jointe aux égalités (10), donne
fdx àx ôydy dz^ dz\ ^ \ôa ôc ôa ôc ôa de) ^
Moyennant les égalités (i) et (8) de la première Partie de ces Recherches sur l'Élasticité, cette égalité devient la première des égalités
(33) K'B=y3 4^-+-(i + 2£,)^ + yiX,
Les deux autres s'obtiennent d'une manière analogue.
IL — Propagation d'une onde au sein d'un milieu dénué de viscosité. Composantes de Télongation rapportées au milieu primitif.
Passons maintenant à des considérations dynamiques.
Pour ne pas les compliquer outre mesure, nous ne garderons pas ici toute la généralité qu'avaient les formules établies en la première Partie de ces Recherches. Nous admettrons, aussi bien au cours du présent Chapitre qu'au cours du Chapitre suivant, que chaque masse élémentaire est soumise seulement à une action extérieure newtonienne; nous désignerons par X^, Y^, Z^ les composantes du champ et nous supposerons ces quantités continues ainsi que leurs dérivées partielles des divers ordres.
En second lieu, au présent Chapitre, nous supposerons le milieu dénué de viscosité.
En revanche, dans les considérations que la première Partie de ces Recherches a développées, nous introduirons une généralisation; cette généralisation, sans compliquer les calculs, augmentera beaucoup la portée des résultats.
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. I7I
Nous avons supposé, en la première Partie de ces Recherches^ que les déformations du milieu étaient rapportées à un état initial homor gène et isotrope; la possibilité de rapporter l'état actuel du milieu à un tel état initial définit le milieu vitreux. Au présent Chapitre, nous admettrons encore que l'état initial (a, b, c) auquel nous rapportons les déformations soit homogène, mais nous ne supposerons plus qu'il soit forcément isotrope; en d'autres termes, nous admettrons que le milieu étudié puisse être soit un milieu vitreux, soit un milieu cristallisé.
Si nous passons en revue les raisonnements développés dans notre première Partie, nous verrons que, pour un milieu vitreux soumis exclusivement à des actions extérieures newtoniennes et dénué de viscosité, l'isotropie de Tétat initial n'a été invoquée que trois fois :
Une première fois, en passant des égalités (45) aux égalités (45 bis) de la première Partie, pour déterminer de quelle manière e,, e^^ e^, gi » 5^2» gi dépendent de e, , £2, £3, y, , y^, 73 ; au présent Chapitre, nous ferons exclusivement usage des égalités (45) de la première Partie.
Une seconde fois, en passant des égalités (85) aux égalités (85 bis) de la première Partie, pour déterminer de quelle manière e,, Co, eg, g,, ga, gj dépendent de £,, £3, £3, Yu Ta» Y3; au présent Chapitre, nous ferons exclusivement usage des égalités (85) de la première Partie.
Une troisième fois, enfin, dans l'étude de la propagation de la chaleur par conductibilité, lorsque nous avons admis que les trois quantités A,, k.2, k^ écrites en l'égalité (89) de la première Partie étaient les trois déterminations A(T, a^ , a^, œ,), kÇÏ, o-j, 0-3, a, ), A(T, a,, a,, da) d'une même fonction X:(T, a, a', a'); mais les formules qui suivent cette égalité (89) ont une forme indépendante de cette hypothèse; nous pourrons donc en faire usage.
Les égalités (82) de la première Partie et (G) du présent Chapitre nous enseignent que l'on a, en tout point de l'onde.
172 p. DUeEM.
Proposons-nous de former la quantité
l^dx dy àz \^
Les quantités N/, T, sont données par les égalités (62) de la première Partie où, selon les égalités (61) de la même Partie, les quantités (L\, (j\ doivent être réduites à e^, gi.
Nous aurons alors
avec
(36) <p.^!Lx^^I^^^]V^P,
^ ^ ôx p ày p âz
,5 , { [ à /âxy d dx ày à dx dz'\
r — (—Y à^àx dy ±àxdzl "^ ^* L àx \0b) "^ ây db ôb "^ ôz âb ôb\
+ e r — /^— V-+- — — ^ ^^^1 *L dx\âcj ôy de ôc âz de de]
[d dx dx d dx dv d JJclb'dc'^'dy'db'^'^dl
d dx dz db de
d dx dx d dx dy d dx dz'\ '^~~dctb'^ TzTedb]
dy d dx dz da dz de da
dx de db dy
td dx dx d dx dxdcdâ'^dy'dc
d dx dx d dx dy d dx dzl
dx da de dy da de dz Oa de \
[d dx dx d dx dy d dx dz dxdâdb'^dydâdb'^dldâdb
d dx dx d dx dy d dx dz'ï)
dx db da dy db da dz db da \)^
/oox V \ (^^ à'k dy d^ . dz d'k\ dx de^
(38) 93 = p2| y-d^di-^diô^-^d^TzJd^lî
(dx d\ dy d'k dz d'k\ âx ôe^ âùd^i'^dbdy'^dbdij'dhlk
( dx d'k dy dl dz dkX dx de^ de dx de dy de dz) de d'k
Kdxdk dydk dzâk\dx fdxdk àydk àzdk\dxldgj^ db dx '^ db dy'^ db dz) de'^\dedx'^ de dy "^ de dz) db\ dk
\(dx^ dydk dzdk\dx fdxdk dydk àzdk\dxldg^ Wde dx de dy de dz) da \da dx da dy da dz) de \ dk
\(dxffk dydk dzdk\dx fdxdk dydk dzdk\dxldg,l ■^ [\da dx "^ da dy "^ da dz) db "^ \db dx '^ dbdy'^ db dz) da ] dk \'
(X = e„ £,,65, yi, yuyz)y
( fdT dx dT dy dT dz\ dx de, (^9> ^* = P| \did^'^^tL'^Tz'di)Talï
fdTdx dTdy dTd^Xdxde^ "*" \dx db ■*" dy db "^ dz db) db dT
fdTdx dTdy dT dz\dx de^ "^ \dx de '^ dy de'^ dz de) de dT
l fdTdx dTdy àTàz\àx fdTdx dTdy dTdzXdxldg^ ■^ Wdx db '^ dy db'^ dz db) de "^ \dx de "^ dy de "^ dz de) db J dT
KdTdx dTdy ^ ^\ ^ (^^^^^ dT dz^\ dxl dg^ dx de dy de dz de) da \dx da dy da dz da) de ] dT
KdTdx ^dy dTdz\dx fdTdx dTdy dT dz\dxldg^ dx da '^ dy da'^ dz da) db "^ \dx db "^ dy db "^ dz db) da J dT
On peut écrire
Les égalités (36) et (12) donnent, en remarquant que p(D = po» (40 [?i]î=-K»[aN,4-(ÎT,H-yT^)(«^H.(îff4-y5e).
Les égalités (37), (8) et (2) donnent
(42) [9,]î = p(ei/» -h ejm*-t-e3 71*4- 2^, m/i-H 2^1/1 /-h 2^3 //n)-f , dx dx ôx
-hKp e, /
/ dx dx\ ( dx ,ôx\ ( tàx àxW
x(aJ4-pç-h7:ïe).
D'ailleurs, les égalités (2), jointes aux égalités (62) de la première Partie de ces Recherches , donnent l'égalité
K(aN,-4-pT,4-yT^)
t, dx ôx ôx
l dx dx\ ( dx ,dx\ ( ,dx dxW
Les égalités (4i) et (42) se réunissent donc en une seule; posons
et nous aurons simplement (44) [?i]î-H[?«]î=-pQ^.
Les égalités (38), (32) et (2) donnent
(45, w;=pj [ (/|.».|+»^-5;) 1%
( ,de^ dSi de^X dx
\ ^£1 dy^ dy^J db
\ dtx dy^ dy^J de
[ t^S\ àgx dgx\ ( dx dx\
\ dix ày^ dyj\ de ôb J
'^\dzx^ "^ dyi ^ dytJx'^dâ'^ Tk ) I fàgz dgz àgz\ / .dx dxW ,
[/ , dei de, dei\ ,dx ~| „
Selon l'élégante notation indiquée par M. J. Hadamard (*), posons
( /A=rE„ mB=E„ «C = E„
^'^ ' (mC-h/iB = G,, /iA4-/C=:G„ /B4-//iA = G,
et
Dans cette égalité (47)» (2) désigne un carré symbolique où Ton doit remplacer, par exemple, (^) par et ^ ^ par ^^-^. J est une forme quadratique en
E], Ej, E3, Gj, Gj, G3;
partant, selon les égalités (46), c'est aussi une forme quadratique en
et les égalités (3i) la transforment en une forme quadratique des trois grandeurs
^, Qj ^«
On peut aisément mettre l'égalité (45) sous la forme
r -,, , / âJ ôx dJ dx ()J ôx\
2[?3],— p/ (^ai; 5H -^ dc; d6 -^ ^ ^ j
/ c^J dx dJ dx d3 dx\ ~^'^\dGld^'^dÊ,'JÔ~^d^, d^J
(dJ dx dJ dx d3 dx\ dïTtd^'^dGlJb'^dE^ ^J
(^) J. Hadamard. Leçons sur la propagation des ondes et les équations de V Hydrodynamique, p. 25i. Paris, 1903.
176 p. DUHEM.
En vertu des égalités (46), celte égalité peut encore s'écrire
r -.2 ( di dx ôJ dx dJ dx\
En vertu des égalités (3i), elle se réduit à
(48) 2[93]î=— pg.
Reste à évaluer [94 ]î.
Si l'onde S est du premier ordre par rapport à la température absolue T, il existe en tout point de l'onde 1 une grandeur £r telle que l'on ait
][ÔJdx ô'ï dy d'ï dzY f'^TV
\\^^x ^Jï^dy ôT OzY I ^'p^ ^^.^ \ yôx Oc ' Oy Oc dz âcji L^^'Ji
Si, par rapport à la température absolue T, l'onde S est d'ordre supérieur au premier, on a
(5o) 3rr=o.
Par rapport à la température absolue T, l'onde S, tracée dans l'espace des (a:, y, z)^ est du même ordre que l'onde 2; on a donc, en tout point de l'onde S, une grandeur 0, nulle en même temps que £r, et vérifiant, lorsqu'elle n'est pas nulle, les égalités
[S];=- mr^"- [S];--
Les égalités (2), (49) et (5i) montrent que la valeur de ^ en un point de l'onde S et la valeur de 0au point correspondant de l'onde S sont reliées par l'égalité
Si, par rapport k la température absolue, Tonde £ est d'ordre supérieur au premier, les égalités (39), (49) et (5o) donnent immédiatement
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. I77
Si, au contraire, Tonde 1 est du premier ordre par rapport à la température absolue T, les égalités (39) et (49) donnent
,w,. r T, [,àx ôci ' dx de^ ôx de^
(ôx dx\d^i ( dx ,dx\dgt ( t^-^ àx\df;^\^
La détermination de & se tire de la relation supplémentaire \(^Recherches sur l'élasticité, i*"^ Partie, égalité (94)]«
Si le milieu est bon conducteur de la chaleur, cas auquel les coefficients de conductibilité ne sont pas tous nuls, la relation supplémentaire montre immédiatement que Tonde est au moins du second ordre par rapport à la température T; c'est donc Tégalité (53) qui doit être employée dans ce cas.
Dans le cas où le milieu ne conduit pas la chaleur, la relation supplémentaire exprime simplement que la quantité de chaleur dégagée, dans le temps dt, par chacun des éléments du système est nulle. Comme le milieu n'est pas visqueux, Tégalité (86) de la première Partie réduit cette relation à
dT ôiy^ Ocî ^£3 âyi d'u dyi
OU bien, par comparaison entre les'égalités (45) et (85) de la première Partie, à
D'ailleurs, les égalités (23) de la première Partie donnent
dfi, dx d'I . dy ô^r\ dz^ d^K dt ~ da da de da da dt da da dt '
dy, dx d^ df d^ (h d^ (55) { dt ~~ db dcdt "^ àb dcdt "^ db dcdt
dx d^l ày d^n dz d^i:
■*" de dbdt "^ de dbdt "^ de dbdt'
178 p. DUHEM.
Enfin, parmi les égalités (G), nous trouvons
tandis qu'aux égalités (49) on doit joindre Tégalité
Si à toutes ces égalités nous joignons les égalités (3i) et si nous supposons X différent de o, nous trouvons
égalité dans laquelle iJD représente une forme linéaire en A, B, C; en vertu des égalités (3i), c'est aussi une forme linéaire en ^, ç, je,
Les égalités (54), (58) et (59) nous donnent alors, pour un corps mauvais conducteur de la chaleur,
OU bien, selon les égalités (3ï),
(60) [.pJî=t__.
Dès lors, si le milieu est bon conducteur de la chaleur, les égalités (4o), {\^)f (48) et (53) transforment la première des égalités (34) en la
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. I79
première des égalités
Les deux dernières égfililés (6i) découlent de même des deux dernières équations (34).
Si Ton remplace dans J les lettres ^, çf, 5e par les lettres X, Y, Z, elle devient une certaine forme quadratique en X, Y, Z, J(X,Y, Z). L'équation que doit vérifier x^ pour que les équations (6i) soient compatibles est Téquation qui donne les carrés inverses des demiaxes de la surface du second degré
(62) J(X,Y, Z)-4-Q(X«-hY*4-Z«) = i.
Si le milieu est mauvais conducteur de la chaleur, les égalités (4o)> (44)> (48) et (60) transforment la première des égalités (34) en la première des égalités
Les deux dernières égalités (63) dérivent de même des deux dernières égalités (34).
iJD est une fonction linéaire et homogène de ^, (j*, 5e. Si nous y remplaçons ^, (j\ 5e par X, Y, Z, elle devient une fonction linéaire et homogène de X, Y, Z, €(X, Y, Z).
Pour que les équations (63) soient compatibles, il faut et il suffit que ^^ vérifie une certaine équation du troisième degré; c'est l'équation qui donne les carrés inverses des demi-axes de la qua-
l8o p. DUHEM.
driquc
(64) .l(X,Y,Z)4-Q(\^-hY*4-Z*)-4-^[€(\,Y, Z)P=i.
Étudions la nature des surfaces du second degré que représentent les équations (62) et (64).
Selon l'égalité (127) de la troisième Partie de ces Recherches sur r élasticité {^), on doit avoir l'inégalité
r d<i> ( dx dy dz \
d^ ( dx dr dz
dx dy dz \ "!(«'
+ 2-r— (flrijai3 4-a„a,3-H«3jrt33) -h. . . >o,
quelles que soient les valeurs attribuées aux quantités a,;. Dans celte inégalité, faisons (^)
/«ii=:/J, a,j=:m;f, ai2=^nSj
(66) j«2i— /y, aii-=m(J, at:^— nÇ,
\ a3i=/JC, flfsj^i:: /W^, rtjjizinJC,
Cette inégalité (65) deviendra, en tenant compte des égalités (3i), --- 1 \ -h -7- mB -h -T- nC
Ôcx (Jet 0£z
-f- ^~ (mC -h /iB) + -î- (n\ 4- /C) 4- ^ (/B -h niA)Y^
\/>£, (>£, t?£3 c^yi àyt ôy^ /'
(*) En la troisième Partie de ces Recherches, les lettres ej, ej, ej, y»» ï»» Yj sont remplacées par £?i, Cl, tfj, gxt giy gi\ los quantités aij sont remplacées par les symboles 8a/>.
(') Les égalités (66) ont la forme indiquée aux égalités (137) de la troisième Partie, forme à laquelle se rattachent certaines considérations de stabilité, dues à M. J. Hadamard, et discutées en cotte troisième Partie, Chapitre lU, § 4.
RECHERCHES SIR l'ÉLASTICITÉ. i8i
OU bien, selon les égalités (43), (46) et (4?)»
(67) j(.f, g, OC) 4- Q(P-+- g^4- 3t^) > o.
Cette inégalité ayant lieu quels que soient #, ç, 5e, nous voyons que la sur/ace représentée par l'équation (62) est un elUpsoïde réel C. On peut donc énoncer le théorème suivant :
A chaque point d'une oncle S, du second ordre par rapport à l'élongalion (^, y;, J^), tracée dans l'espace (a, i, c) qui représente l'état initial du milieu conducteur de la chaleur, correspond un ellipsoïde réel c. Pour qu'une perturbation d'élongation, rapportée au même état initial, puisse être propagée par l'onde S, il faut quelle soit dirigée suivant un des axes de l'ellipsoïde C. La vitesse de propagation, rapportée également à l'espace des (a, 6, c), est l'inverse de la moitié de cet axe.
Ce beau théorème est dû à M. J. iiadamard (*); mais, par suite d'une inadvertance, M. Uadamard Ta énoncé, non pas pour la perturbation d'élongation rapportée au milieu initial, mais pour la perturbation d'élongation rapportée au milieu dans son état actuel de déformation, c'est-à-dire à l'espace des {x,y,z)\ au prochain paragraphe, nous verrons qu'il serait alors inexact.
En outre, la démonstration de M. Iiadamard supposait que la température du milieu demeurait invariable tandis que l'onde s'y propageait; la nôtre suppose seulement que le milieu étudié est capable de propager la chaleur par conductibilité.
Le théorème de M. Uadamard a été précédé par des propositions dues à GT:*een (^) et k Poisson (').
Ni Green, ni Poisson, cela va sans dire, n'ont traité le problème de la propagation des ondes au point de vue iju'ont considéré les premiers Christoffel et Hugoniot; ils ont traité la propagation Abondes
(*) J. Hadamard, Leçons sur la théorie des ondes et sur les équations de l'Hydrodj^ namique, Paris, 1903, p. 25-2.
(') G. Grben, On tlie propagation of light in crystallized média {Cambridge Phil. Soc, 20 mai 1839; Mathematical Papers of the late George Green).
(') Poisson, Mémoire sur l'équilibre et le mouvement des corps cristallisés, lu à l'Académio le 28 octobre 1839 {Mémoires de l'Académie des Sciences, t. XVHl).
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planes au sens classique de ce mot; en outre, Poisson supposait le milieu infiniment peu déformé et Green, après avoir supposé que les déformations pouvaient être finies, introduisait dans l'évaluation du potentiel interne une restriction qui n'est acceptable que pour les déformations infiniment petites. Enfin, Green, comme Poisson, ne tenait aucun compte des variations possibles de la température.
Dans ces conditions restreintes, les deux illustres géomètres ont démontré un théorème semblable à la proposition, due à M. Hadamard, dont nous avons rappelé l'énoncé.
Si la surface représentée par l'égalité (62) est un ellipsoïde réel c, la surface représentée par l'égalité (6/|) est, a fortiori, un ellipsoïde réel C' ; de plus, V ellipsoïde C' est, en entier, situé à l'intérieur de r ellipsoïde C.
On peut donc, pour tout milieu non conducteur de la chaleur, énoncer le théorème suivant :
A chaque point d*une onde 2, du second ordre par rapport aux composantes $, y), X, de Vélongation, et tracée dans l'espace des (a, Z>, c), qui représente Vétat initial du milieu, correspond un ellipsoïde réel il'. Pour qu'une perturbation d'élongation, rapportée au même état initial, puisse être propagée par l'onde 2, il faut quelle soit dirigée suivant un des axes de l'ellipsoïde C'. La vitesse de propagation , rapportée également à l'espace des (a, b, c), est l'inverse de la moitié de cet axe.
III. — Propagation des ondes au sein d'un milieu dénué de viscosité. Perturbation de la vitesse.
Au paragraphe I, nous avons démontré ce théorème :
Soit qu'on la rapporte au milieu primitif (a, />, c), soit quon la rapporte au milieu déformé {Xy y, 5), la perturbation de vitesse a même orientation ; elle est parallèle à la perturbation d'élongation rapportée au milieu primitif (^a^ b, c).
Ce théorème, rapproché de ceux qui ont été établis au paragraphe précédent, donne les propositions suivantes :
Si ron se donne un point, soit dans le milieu primitif, soit dans le
nECBERciiES SUR l'klasticité. î83
milieu déformé , et l'orienlaiion d'une onde passant par ce point, la perturbation de vitesse que celfe onde peut propager est susceptible, en ce point, de trois orientations distinctes; ces trois orientations sont celles des axes principaux de l' ellipsoïde C si le milieu conduit la chaleur et celles des axes principaux de l* ellipsoïde C' si le milieu est dénué de toute conductibilité.
IV. — Propagation des ondes dans les milieux dénués de viscosité. ' Composantes de Télongation rapportées au milieu déformé.
Nous allons traiter les questions déjà examinées au paragraphe I en rapportant les grandeurs inconnues à l'état déformé (,r, y, z) du milieu; au lieu de déterminer S, cj, JC, nous aurons à déterminer $, T, X.
Dans ce but, multiplions respectivement les égalités (34) par
K^-T-> '^''t"' '^^T^ ^^ ajoutons-les membre à membre. La première égalité (9) nous donnera
L'égalité (40» fl"' donne [ç, JJ, et les égalités analogues qui donneraient [^,]î, [x^ij^, jointes aux égalités (G2) de la première Partie et à l'égalité (1 1) de cette quatrième Partie, donnent aisément
= — p(ei/-h ^3/71 -h ^'•j/i) (/4> -h //j W 4- /iX).
L'égalité (4^), qui donne [o^]?» et les égalités analogues, qui donneraient ['lajî. [Xi]% jointes aux égalités (loj et (fi), donnent l'égalité
4- p(e|/*-h e,m*-+- e^n^-h xg^nin 4- 2g^nt-^ a^j/m)^. L'égalité (45), qui donne [ç,]^ et les égalités analogues qui donne-
l84 p. DUHEM.
raient [^3]'^, \Xi]% jointes aux égalités (33), donnent
{'w. +'"37. *"7f,y*{'i:*"'t.*''ty
[/ , âei de. de. \ , / , ôgz dg^ àgz\
Si le milieu est bon conducteur de la chaleur, Téquation (63) et les équations analogues qui donneraient ['\^^\% [x^lî permettent d'écrire
Si le milieu est mauvais conducteur de la chaleur, l'égalité (60) qui donne [o^]% et les égalités analogues qui donneraient [^4]^; et [x*]î» jointes aux égalités (Sq) et (33), permettent d'écrire
Kn ajoutant ensemble les seconds merubres des égalités (68), (69), (70), (71) et (72) ou (73), nous trouvons un résultat nul, ce qui
RECHKRCHES SUR l'ÉI.ASTICITÉ. [8.1
nous donne la première des égalités
(74) S,,^-h{S,,-hdZ')W^Su\ = o,
( S3i<^-hS„^' + (S,3-+-.)i:>MX = o.
Les coefficients S,y dépendent de la déformation au point considéré, de la température T, et des cosinus directeurs /, m, n de la normale à l'onde, ces cosinus étant rapportés à l'état initial du milieu. Les coefficients S,; n'ont pas même valeur selon que le milieu est ou n'est pas conducteur de la chaleur.
Lorsque i et j sont distincts, on na pas
(75) S/y=Sy/.
Vérifions cette proposition en écrivant, pour le cas où le milieu est bon conducteur de la chaleur, les expressions de Si^ et de Sa,. Nous avons
L\ ^-^^1 ày^ âyj \ âsi dy^ ôy^ )
\(.àe^ àci àei\ , /,(^gi àgt ôgi\
L\ ày^ â£t àyj \ (>/, âe^ àyj
r/.c^e, Oe^ c)ei\ , /.^/îTs ^^s àgi\
L\ ^y^ àyi d£ij \ dy, Oyt âs^ J
L\ «^73 àz^ dyj \ àyi dz^ dyj
Ts àgz\ , { ,det âe^ de^\
ôyt âyx ôi^l \ ôyt ôy^ às^J
,î!&+,„'fe
l8() p. DIIIIKM.
Visiblement, ces deux coerficieiits ne sauraient être égaux entre eux, car l'expression de S,^ contient un terme en £2 et un ternie en y, que ne contient pas l'expression de S^,, tandis que celle-ci contient un terme en e, et un terme en y.^ que ne contient pas l'expression de 8,3. Le coefficient du terme en t., dans 8,2 est égal au coefTicient du terme en £, dans S21, en vertu des égalités (/|5) de la première Partie.
Si donc on se donne l'état d'un milieu, dénué de viscosité, au voisinage d'un certain point et l'orientation d'une onde qui passe par ce point, cette onde peut propager trois directions de ta perturbation relative aux composantes de rélongation; chacune de ces trois directions correspond à une vitesse de propagation déterminée dont la valeur, rapportée à l'état initial du milieu^ est une des racines de l'équation
Les trois directions de perturbation ne sont pas forcément rectangulaires entre elles.
V. — Propagation des ondes au sein d'un milieu dénué de viscosité et très peu déformé.
Laissant absolument quelconque l'état initial du milieu, nous supposerons que les divers points du milieu subissent seulement, à partir de cet état initial, des déplacements très petits et des variations de température très petites.
Dans ce cas, les quantités £,, e^, £3, y,, ya, y^ seront très petites; il en sera de même des quantités $, V, X; nous pourrons négliger, devant chacune de ces quantités, le carré de l'une quelconque d'entre elles ou le produit de deux d'entre elles; enfin, les quantités ^,,^2, e^, gn Si* gi seront négligeables devant les dérivées de ces mêmes quantités par rapport aux variables £,, i.^, £3, yi, y.^, yj, T.
Dès lors, si le milieu est bon conducteur de la chaleur, nous avons, en vertu des égalités (45) de la première Partie et (69), (70), (71),
Su — Sji — — { l-
(72), de la présente Partie,
I L àe] (^yj dyi dy^Oy^ \ ôt^ôy^ de.âytj]
L <^7Î ^^î ^yî ày.ây^ \ ôt^dy, dttàyzj \
L ^yî <^yî ^£3 ày.ày^ \ âe^dyt àe^âyjj
/ ^yjt^Vî de^dy^ Oy.diz \d£id£z dy\J
( c>yî ^£1 c>yi e^yj c>£s ày^ \de^ âsi ^yj /
L Vc)£jt^yj '^ dy^dyj'^ \àtxdy^ ^^yî^yJJ )'
àtx Oy^ "^^ ôyz âs^ "^ ^ ôy^ dy^ "^ "^ \dE^ dit "^ ^yî /
^l \àei àyi "*" dyi ôy^ I ^ ^^ \(^e, c^y, "^ dy, t^y, / J
Selon les égalités (74) et (77), les trois valeurs de x sont maintenant les inverses des trois demi-axes de la quadrique
(79) S,iJ7*-t- Sjj K*4- 833^*4- 2 Sj37-î 4- 2831-5^:4- 2 8u^j4- I = 0,
ety selon les égalités (74)» l^^ ^^ois directions de perturbation que l'onde peut propager sont les directions de ces mêmes axes, quil s'agisse de perturbation d'élongation ou de perturbation de vitesse, et que la perturbation soit rapportée à l'état initial du milieu ou à son état déformé.
Pour que les trois valeurs de la vilosse de propagation et les trois directions de perturbation auxquelles elles correspondent soient réelles, il faut et il suIRt que Téquation (79) représente un ellipsoïde réel.
Or, si nous posons
(E,= /jr, E.^m/, "^z^nz,
