OO
( Gi = /J > 4- /?^5, GJ=/24-/^^, G3=ma74-//,
l88 p. DUllEM.
nous aurons
(81) Sn.r*-hS„7'-HS33C*-+-2S53>'3-+-2S3.5j:4- 28,2^7
\ôsi det âe. dy, ôy^ ây^ 7 '
(2) représentant un carré symbolique.
Or, quels que soient E,, Ej, E3, G,, Ga, G3, on a [Becherches sur Vélaslicité, 3® Partie; égalité (i45)J
\dzx ôir dsi àyi ây^ ây^ 7
Selon (81) et (82), V équation (79) représente assurément un elUpsolde réel.
Les égalités (78) ont été établies en faisant usage de l'égalité (72), partant en supposant que le milieu était conducteur de la chaleur; si le milieu est dénué de conductibilité pour la chaleur, il faut, à l'égalité (72), substituer l'égalité (73); alors les égalités (78) sont remplacées par les suivantes :
'' l àe] dyl ôyi dy^ôy, \ âe.ôy, dt.dyj
1 " 3î j ()y^Oyi àSidyi Oyide^ Xôe^âe^ dy\ J
"^ L V^^î ^7j ^ ^7î ^yi / '* W^3 àyz "^ c>y, dy J J
En vertu des égalités (80) et (83), l'égalité (81) est remplacée par l'égalité
\ôtx Ô£i â£z ôy, âyt ôy^ J
~Ê^ V5i7^^*"*" 517^*'*"^ di:âT^''^ &^^''^ &^^''^ ^J^T 7 • (2) désignant encore un carré symbolique.
La surface représentée par r équation
(85) s; , j?'H- s;, j»H- Si,>3'H- aS'jjjz -h 2Si,-c»r -f- aS'i, a*/ H-irn o,
cyf alors un ellipsoïde réel situé à V intérieur de l'ellipsoïde que représente l'équation (79).
Considérons un milieu homogène, de température T, dont la déformation très petite, la même en chaque point, soit représentée par les six quantités £,, e^, £3, y,, yj, y,; les six quantités N^., N^, N,, T^r, Tj,, T^ ont des valeurs bien déterminées, les mêmes en chaque point.
A cette déformation, donnons une variation homogène définie par les égalités
\ Ô£i=mH„ Ô£j=f/H„ Ô£,= WH3,
H,, Ha, H3, K,, Ka, K3 étant six quantités indépendantes de ic, j, z et a une quantité infiniment petite qui est aussi indépendante de a?,
Si cette variation laisse invariable la température, elle ne peut conduire à un nouvel état d'équilibre ià moins que N^^, Ny, N^, T^., T^, T, n'éprouvent des variations SN^, SN^, ^N^, ST^, oT^,, ST,; et l'on a [Recherches sur V élasticité, 3*^ Partie, égalité (i^H)]
(87) ôNar Ô£i -h ôN^ ôe,-!- 5N. ^e, -+- dT^^ iy, 4- ^T^. ôy, 4- (ÎT. ây,
^°Vc^£i àEt âe^ ây^ Oy^ dy^ 7
Si, au contraire, la variation (86) laisse invariable Tentropie de chaque élément, N^., N^., N^, T^., T^,, T, éprouvent des variations S'N^, 8'Nj., ô'N^, o'T^, §'T^, S T, et l'on a [ Recherches sur r élasticité, 3* Partie, égalités (r48) et (i "Jo)]
(88) S'^^Ss, -+- 5'N3.dc,-h a'N,d£3-h 3'T^ ^y, 4- i'Ty ôy,-h S'T:,dy,
' \âei dz^ d£i ôy, ôy^ ày^ )
ign p. DUHEM.
Entre les deux ellipsoïdes représentés par les égalités (79) et (84), ces égalités (87) et (88) donnent une remarquable relation.
Prenons un point déterminé de Tonde et, en ce poinl, une direction dont X, [X, V sont les cosinus directeurs; sur cette direction, Tellipsoïde Cf relatif au milieu supposé conducteur de la chaleur, détermine un rayon vecteur R. Si, dans l'équation (79), on remplace a?, j, z parXR, ulR, vR, cette équation sera vérifiée, en sorte que Ton aura
D'autre part, si nous posons
f Ki=i /7iv -4- /^|UL, K^zzz ni -h hjf K3=/fjt-f-/nX, les égalités (80) deviendront
E»=HH„ E,=iRU„ E3=:im„ Gi^nRK,, Gt = RKf, (jj=z RKj,
et l'égalité (81) deviendra
(91) Sii>*-f- S„fx'-h S„V*-+- 2S„]ULV -i- 2S31V). 4- 2S,î>fJt
\â£i ôe^ de^ ây^ âyt ôy^ 7
Les égalités (89) et (91) donneront
^^ ' R» V^Êi ' c^e, (^£3 <^/, dyt dy^ 7
Sur la direction considérée, rellipsoïde c\ relatif au milieu dénué de conductibilité intercepte un rayon vecteur R'. Si, à partir des égalités (84) et (85), nous instituons un raisonnement semblable à celui qui nous a donné l'égalité (92), nous trouvons l'égalité
^yi àyt ày^ )
RECHERCHES SUR L ELASTICITE. I9I
Les égalités (87), (88), (()2) et (93) conduisent alors au théorème suivant :
A chaque point M de l'onde et à chaque direction D(X, [x, v) issue de ce point y on peut attacher une certaine variation Se,, Se^» Se.,, Syi» ^Ta» Sy, de la déformation, variation définie parles égalités (86) et (90).
D'autre part, sur la direction D, l'ellipsoïde C, qui con^^ient au milieu conducteur de fa chaleur, intercepte un rayon vecteur R, tandis que l'ellipsoïde C', qui cornaient aux milieux dénués de conductibilité, intercepte un rayon vecteur R'. On a
^^^ H' ~ V ^^x as, -h dNy. <5£, -H ON, de, h- ôX ^y , + àTy dy, -+- dT;: ôy.
Si Ton se reporte au rôle que les ellipsoïdes »i: et c' jouent dans la détermination de la vitesse de propagation de l'onde, on voit que la proposition qui vient d'être énoncée remplace, dans le cas qui nous occupe, cette proposition vraie pour les fluides :
La vitesse de propagation d'une onde au sein d'un fluide supposé privé de conductibilité est à la vitesse de propagation d'une onde au sein du même fluide supposé conducteur, comme la racine carrée du coefficient de détente adiabatique est à la racine carrée du coefficient de détente isothermique.
Dans le cas des fluides, ce dernier rapport est égal à la racine carrée du rapport de la chaleur spécifique sous pression constante à la chaleur spécifique sous volume constant; peut-on, pour les corps élastiques peu déformés, énoncer une proposition analogue?
Si c est la chaleur spécifique normale et C la chaleur spécifique lorsqu'on maintient constantes les six quantités N^, N^., N^, T^, T^, T,, on a [Recherches sur V élasticité, 3* Partie, égalité (i58)]
Le second membre de cette égalité (93) n'est pas, en général, le D. 26
192 p. DUHEM.
carré du second membre de l'égalité (94); c'est seulement, en effet, dans des cas exceptionnels que les quantités oe,, Se^, Sej, Sy,, Sy^, ÔY3, définies par les égalités (8()) et (90), seront respectivement proportionnelles aux six quantités ^, ~, ^, ^, ^, ^.
Le théorème de Laptace ne s étend donc pas aux milieux élastiques peu déformés.
VI. — Propagation des ondes au sein d'un milieu vitreux très peu déformé.
Ce qui a été dit au paragraphe précédent a trait à un milieu très peu déformé quelconque; supposons maintenant que le milieu soit vitreux.
En vertu de l'égalité [^Recherches sur rélasticité, 2' Partie, égalité (6)],
(96) <Ii-(po(T)-H9,(T)(e»-H£,+ £,)
A(T), ,. M(T), , , . , , tx
()£* "^ âsl ~" âel ~ po
d^^ â'f!> __ â'-^ AtT)
dsi âsi ~^ de^ àe^ ~~" d£i dti ~~ po
1 ày\ - ôy\ - âyl ^ p, '
â£i âT " ÔSi ôT " ÔBj àT ~~ dT
Les autres dérivées secondes de$ sont nulles ou infiniment petites. Ces égalités (97), jointes aux égalités (79), (80), (81), montrent que l'équation de Tellipsoïde C peut s'écrire
(98) ^(lœ-^my^nzy
Po
H 5^ — -[il^x^-h 2m^y--\- 2/i*5*-h {ny -t- mzy
-+- {tz -t- iixy-h {mx -\- //)*] = !.
on a
RECHEKCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. 1()3
Les mêmes égalités (97), jointes aux égalités (80), (84), (85), montrent que l'équation de l'ellipsoïde C' peut s'écrire
Po ^ ^ V y /
-i-{lz-h n.v)^-h (mœ-i- /r)'] = i.
Prenons pour axe des z la normale à l'onde au point considéré, ce qui nous donnera
/ HZ O, /?î z= o, // 3z I .
* L'équation (98) deviendra
tandis que l'équation (99) deviendra
Ces deux équations équivalent au théorème suivant :
Au sein d'un milieu vitreux très peu déformé, V ellipsoïde C et l'ellipsoïde C' sont tous deux de résolution autour de la normale à Vonde; en tous deux y le rayon de Véquateur a pour valeur
En V ellipsoïde c, le demi-axe de révolution a pour longueur
V A(T)+Vm(T)' tandis quen l* ellipsoïde C' , ce même demi-axe a pour longueur
Ec
\g^\ p. DUHEM.
La perturbation quune onde persistante peut propager est, ou exclusivement transversale j ou exclusivement longitudinale.
Que le milieu soit ou non conducteur de la chaleur, une perturbation transversale se propage avec une vitesse
Au sein d'un milieu conducteur^ une perturbation longitudinale se propage avec une vitesse
tandis qu'au sein d'un milieu non conducteur de la chaleur, elle se propage avec une vitesse
, . A'T,.îfe[yj-7;^
(io4) y^'
Ces égalités (102), (io3), (10 1) avaient été obtenues directement \Recherches sur l'élasticité, 2*" Partie, égalités (80), (76), (loi)].
Pour un milieu vitreux très peu déformé, nous savons que l'on a [Bevherches sur l'élasticité, 3* Partie, égalité (164)]
La comparaison des égalités (îo3), (io4), (io5) montre que l'on n'a pas
x« "" c ' à moins que l'on ait l'égalité
M{T) = o, qui caractérise les fluides.
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. I95
Ainsi, en général, la correction de Laplace ne peut servir à calculer la vitesse de propagation des perturbations longitudinales au sein d\in milieu vitreux, peu déformé, supposé dénué de conductibilité, lorsqu'on connaît la valeur de cette vitesse pour le même milieu, supposé doué de conductibilité. Cette correction ne peut être employée que si le milieu est fluide.
