THÉORIE DES ONDES AU SEIN DES MILIEUX DOUÉS DE VISCOSITÉ
I. — Des ondes du premier ordre par rapport aux composantes de la vitesse, au sein des milieux vitreux doués de viscosité.
Supposons d'abord que l'onde se propage au sein du milieu considéré :
D'après ce que nous avons vu en la troisième partie de ces Recherches (Chap. II, § I), l'onde ne peut être d'ordre inférieur au second par rapport aux composantes ^, r\, X, du déplacement; elle est aussi du premier ordre par rapport à la densité p; d'après ce qui a été vu au Paragraphe II du même Chapitre, elle est au moins du premier ordre par rapport à la température T.
Comme dans le cas précédent, le milieu est soumis exclusivement à des actions extérieures qui sont nevvtoniennes. Comme dans le cas précédent, aussi, nous désignerons par :
S la surface d'onde dans l'espace des a,b,c\ /, m, n les cosinus directeurs de sa normale; S la surface d'onde dans l'espace des ^, r, z\ a, p, Y les cosinus directeurs de sa normale.
L'onde étant du second ordre par rapport aux composantes Ç, yj, X^ du déplacement, on peut écrire les égalités suivantes, en tout point de
l'onde £
il Idadtit^ m\àbdt\,~ nldcdl\,~ '
' / ldaâl},~ m lOb d< J , ~ n [«Je dt \ , ~ ^ ^^'
Les égalités (26), (27), (28) de la première Partie et(i) de la quatrième Partie donnent alors, en tout point de la surface S,
/ [D;]î = -K.:)t«,f, [D'JÎ^-K^tpfj, [I)i]î = -KXy5, [G'.]î = -K.)î,(P5 + yg),
Moyennant ces égalités (io8), les égalités (33) de la première Partie donnent
b,= [A;]îr=-KX («A:,+ (35',+ y2b.)(cV.,^-+-g'tg4-V5),
g,=:[r;]î=-Ki)r,[ (a^:^,-h ^!r,^ y%^,)(x.J -^-SfzÇ + '^z5) '
(iO que nous venons de dire, joint aux égalités (62) de la première Partie, montre que les quantités N^., N^, N,, T^., T^, T, varient d'une manière continue au travers de la surface S. Mais il n'en est pas de même des quantités v^, v^, v,, t^, t,* t, données par les égalités (77) de la pn^mièn» Partie.
l)ésij<nons par f ce que devient la fonction dissipative S lorsqu'on. y rem|)la<*(^
par
>i, >i> *j. Si> 9î. 93-
Il est facile de voir que les expressions de
[Vxlî, [V,]?. [V.]î, [r,]«. [Ty]], [T,]î
se tireront des expressions (77) de la première Partie qui donnent
^x, V), V;, Tx, Ty, Tz
en remplaçant S par f.
En raisonnant comme nous l'avons fait en la i" série, deuxième Partie, de nos Recherches sur rily./ro/ynimique [Chapitre III, § 1, égalités (137)], nous verrons que l'on doit avoir, en tout point de la surface S,
D'après ce qui vient d'être dit, ces égalités peuvent s'écrire
^ (-v-,* -f- -T.[3 -t- i,y) -Vi -f- ^ (-v,« -t- ?y,p + %,y) a:,
di
