Lu + Lu) + ^ (L., + L,,) + ^ (L„ -H L

p ff| ff« 5^»

1 3It, = '^■' (M„ + M.c) + "'^■' (M,, + M.,) + '^ (M„ + M„), P «Xi «'t ffi

(6o) / Jaitr = î' (Mu+ Mu)H- "3'(M.,4-M,.)+ -^ (M,, + M„),

l an, . ^' (Mw + Mu) + ^ (M,, + M„) + |i (M« + M„), P ^1 ^1 ^a

i .)r., '^i ( N„ -,- Nu) + y (N„ + N„) + '^ (N„ + N,.),

p ff| <T, <T,

'- JT', -■ (Ni/ f- Nu) -* '3-'- (N« + Nu) 4- ^ (N„- + Nu),

\ JT., : ^J (N„ + Nu) -♦- ^ (N., + N,.) -t ^ (N„. + Nu), p ffi ff, aj

Posons également

a* = fft + o't. + <i... <ù = st + Çu + y.«,

UECUERCHES SLR L ÉLASTICITÉ. 27

puis ' i».T fàx\' ^ fàx\^ .^ (àx\^ ^ , dx dx ^^ , dx dx\^ dx dx ^

'« /<^=\V /'às\\. fàzW. dz dz ^ dz dz ^ , dz dz -

p *'~55 d^ ''^ db db^^^dc de '^\db dc'^ de db) -^^

/6 N l . fày dz dy dz\ fdy dz dy dz \

^^^M -^\TeTa-^rad-e)^'^'^\d^Tb^TbTa)''^"

ï -, àz dx ^ dz dx dz dx (dz dx dz dx\

^ — da da ' db db ' ''' de de

/dz dx dz dx \ /dz dx dz dx\

'^[d^d^'^d^ dc)'^''^\da db^àbda)^*'

I « dx dy dx dy ^ àx dy (dx dy dx dy\ ^

p^'- ^ d^ àii ''^ 'db àb^^'^'d^ di '^ \db dc'^dF db)'^'

(dx ày dx^d^., (dx dy dx^ dy\ ^ "^ \dc da "^ da de) *^* "^ \da db "^ db da) ^^'

En vertu des égalités (3o), CCS égalités (61) et (62) nous donneront

(63) [ {e, -\- Cu H- C^e)Sei 4- (e, -h Cu -+- C,,) ôs, + (e, H- C,, + C,^) de,

-^igt-^Çii 4- (ïu)3y,4- (^,-+- OV-H (jV) ôy,4- (^,-i- g,/H- (j,c) 5y«] ^/w = [N^D, 4- Nj.D,4- N;,D,4- 2T,:G, 4- 21^0,4-2X50,] ^cj,

rfcof étant le volume de l'élément dm.

Arrêtons-nous un instant à cette égalité et aux égalités(6i)et (62).

Si les actions, tant intérieures qu'extérieures, sont newtoniennes, les quantités C et g sont nulles; les grandeurs e,, e^, e^, ^,, g^^ g^ dépendent exclusivement de la température T au point a?, j, z et des valeurs de e,, e^, £3, Ym Y2» Ys «^^ même point; celles-ci s'expriment, selon les égalités (8), en fonctions des dérivées partielles de Ç, y), ^ par rapport à a, 6, c, au point considéré; il en est de même, selon les

égalités (2), de ^> j^> — Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Si les actions, tant intérieures qu'extérieures, auxquelles sont soumis

28 p. DUIIEM.

les divers éléments du système, sont newtoniennes, les valeurs de N^., N^, Nj, Ta;» T^, T,, en chaque point et à chaque instant, s'expriment par les équations (62 ) e/i fonctions des valeurs de

Ta'

dn Ta'

db'

au même point et au même instant.

Cette proposition n'est plus vraie lorsque les actions extérieures ou intérieures ne sont plus nemoniennes, car les quantités cetQ dépendent alors non seulement de la déformation au voisinage du point considéré, mais encore de l'état de tout le système et des corps extérieurs à Tinstant/.

Dans ce cas général, les équations (4i), (46), (53), (07), (58), (60), (61), (62) et (24) permettent d'écrire

(64) d^e-iri^ f{P^Sl-hPyiv-^PzSK)dS

+y[(x, 4- X,) a$ -h ( Y,4- Y.)ar) -h (Z, 4- Zc) ac] rfm

.«, àSfi ,„ dèrt , ^ dSfi

' da: ^ dy àz )

KECllERCHES SUR L ELASTICITE. 27

puis •xr (à=y,. fàz\\. /àzy,. dz dz ^ dz dz ^ dz dz ^

P ^'-di d^'^'^db db^''^d^ di^''^\db Tc'^d^ àb)'^'

la \ ) (ày àz dy dz\ .. fdy dz dy dz\ ,,

^^'^ \ ^[/cTa-^ia ô-c)''^*^{lè àb ^Tb Ta)'^-

\ ^ ^dz dx ^ dz dx dz dx ^ fôz dx dz dx\ -,

[dz dx dz dx\ (dz dx dz dx\

'^\ôi'd^'^d^ d^J^''^\didb'^dùd^)^'' I dx dy .. ^ dx dy ^ dx dy ^ (dx dy dx dy\

(àxàydx^dy\ , (àf dy dx dy\ ^ "^ \dc da "^ da de) ^' "^ \da db "^ db da) J»'

Envertu des égalités (3o), ces égalités (61) et (62) nous donneront

(63) [ (ei -+- Cu + C,,)Ô£i 4- (e, -+- C^i -h C^c) «£î 4- (e, -+- ^3/ + C«e) h^

-^(gi-^Qu -H ffic)ôy,-+- (^,-+- g,/-4- Qu) 5y,4- (^3-+-ff3/-i- ^j«c) *yj dm = [N^D, -h Nj.D,4- N;;D8 4- 2T;,G, -h 2TyG,4- 2T;;G,] rfe, ^

rfcof étant le volume de l'élément dm.

Arrêtons-nous un instant ii cette égalité et aux égalités(6i)et(62).

Si les actions, tant intérieures qu'extérieures, sont newloniennes, les quantités ^ et ç sont nulles; les grandeurs e,, e^, e,, ^,, g^, g^ dépendent exclusivement de la température T au point a?, j, z et des valeurs de e,, £3, £3, y,, y»» Ta ^^ même point; celles-ci s'expriment, selon les égalités (8), en fonctions des dérivées partielles de Ç, yj, X, par rapport à a, 6, c, au point considéré; il en est de même, selon les égalités (2), de ^> j^y — Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Si les actions, tant intérieures qu'extérieures, auxquelles sont soumis

3o p. DUHEM.

rieur du milieu étudié, on peut remplacer l'égalité (66) par

(67) de.-ir'f^ f\ [Px-{^x + 0)» - (T= + «?,)? - (T^ + c-^)y

-(.V/-<^1=P)]ôï + [P,-(T,+<?,)a-(\y + 3n.y)? (T^ + F,)-/

--[-dr--d7)r^ '

La première intégrale s'étend à tous les éléments de la surface qui limite le milieu, la seconde à tous les éléments de volume du milieu.