IV. — Équations d*éqiiilU)re d'un milieu vitreux

Les résultats déjà obtenus nous permettent d'écrire les conditions d'équilibre d'un milieu vitreux. Ces conditions s'obtiennent, en effet, en écrivant que l'on a

quelle que soit la modification virtuelle imposée au système, partant quelles que soient, en chaque point, les valeurs de oÇ, Sy), S^. Noua

uEciiEncHES sun l'élasticité. 3i

(levons donc avoir, en tout point du milieu vitreux,

àTr ^ dp ^ JT^ ^-JT- -jy--?^^'^^'^'

/fis^ / à(T, + Ç..) ^ à(K + .m.,) J(T^ + C^) ^ «)A, M, w v ^ v . » ôx ôy âz dx ôz ' ^

d(Ty±^ âlT^-^l!^^) (hX.-f-X,,) . M.r d.^y ... », ax dy ôz dy dx ' ^

et, en tout point de la surface qui limite le milieu,

1 (Nx -i- Vx) X + (T, + C-,) ^ 4- ( T,. H- Gy) y -r- Ayy - A, 3 = 1»;,,

(•39) (ï,+ <?î)a + (N, + aR^),3 + (T^4- G,)-/ + A,a-.'.l^-/=l>,,

[ ('IV + e, ) a + (T^ -H ?,)?-+- (N, + 3&,)-/ + .•a^|3 - cfl,a = !>,.

Ces équations, excessivement compliquées, se simplifient beaucoup lorsque les actions, tant intérieures qu'exlérieiircs, sont netx'toniennes ; dans ce cas, on a

J^x =■ O, 011^ :- O, OZ. = O,

Ajc^o, .fl, =0, Ai ^o

et les équations (G8) et (G;)) prennent la forme classique lû-^ ôy --^, -,^(^' + -V).

f oi\ , «;t, , os, .„ ^ „ ^

I N^a+T,;3 + 'JV/:=l'„

f Tja-r-ïx? i-Xcy = iV

Dans ces égalités figurent les six quantités

32 V. DUllEM.

qui se tirent des équations (Ga) en y remplaçant respectivement

«-1» «-2> ^3> yi» ^2» \|3

par

^1, ^2, <'3, ^l, giy g\'

Les conditions d'équilibre que Ton obtient ainsi sont équivalentes à celles qu'a données M. Boussinesq (*).

Pour parvenir a la mise en équations du mouvement d'un milieu vitreux, il nous reste encore à former le travail virtuel des forces (V inertie et le travail virtuel de la viscosité.

Le premier de ces deux travaux, immédiatement connu, a pour expression

Le travail des actions de viscosité est d'une forme beaucoup plus compliquée.

Dans le temps dty un élément de masse du système éprouve une déformation infiniment petite que l'on peut définir, en la rapportant aux axes Ox, 0/, 0^, par les six quantités

\),-li\dt, \)^z=z\)\dt, \i^—h\dt,

(îl =: G'j dty ^2= ^2 (^ty (13= (jj dt.

Au lieu de rapporter cette déformation a des axes arbitrairement choisis, on peut la rapporter aux seuls axes privilégiés que l'on recon-

('; J. BoissiNESQ, Tlu'oric des ondcx liquides périodiques, Nolo III (Mémoires présentés par divers savants à l'Institut do Franco, t. XX). — Cf. E. et F. Cosserat, Sur la Théorie r/c /'^7r/i7/W/t''( premier Mémoire, n" 17).

(^) P. DiiiBM, Sur la vLîcosité en un milieu vitreux {Comptes rendus y t. CXXXVJ, i février 1903, p. 281 ). — Sur lef équations du mouvement et la relation supplémentaire au sein d'un milieu vitreux {Ibid,^ 9 février 1903, p. 343).

KECUEKCIIES SUR l'éLASTICITÉ. 3i

devons donc avoir, en tout point du milieu vitreux,

/ t)(N.. + C.) ^ d(T, + g.) , ()(T,-4-g,) /Mv <;.'<1, „,Y ^v ^

— 5:ï^ — -^ — d^ — "- — T= — "*" "JT - -^3r"^P(^'-+--'^')'

(00) < 5 h ^v ^ H ; 1 ; c — =p(ï,+ le),

dx ôy dz dy dx ^^ '

et, en tout point de la surface qui limite le milieu,

Ces équations, excessivement compliquées, se simplifient beaucoup lorsque les actions, tant intérieures qu'extérieures, sont neirtomennes; dans ce cas, on a

^x = O» <^/ =0, Ç^c = o, ^^l^=io, .i\y —o, t'Ai =0

et les équations (68) et (Gc)) prennent la forme classique

ô.i ^ Oy ^ Oz Dans ces égalités figurent les six quantités

'Vi r. nniFM.

Si le milieu, an lieu d'être vitreux, était cristallisé, la fonction dissipatii'e S désirait être encore une forme quadratique définie positive de

seulement cette forme ne serait plus nécessairement donnée par la formule (7/1); les coefficients de cette forme pourraient dépendre non seulement de T et de c,, Co, 0-3, mais encore de l'orientation des axes f , 2, 3 par rapport à la matière de l'élément dxs.

Imposons au système une modification virtuelle quelconque 0^, or^, o(,\ à cette modification correspondront, en chaque point, trois dilatations virtuelles D,, D2, D3 et trois glissements virtuels G,, G^, G, donnés par les égalités (p4), partant, six quantités A,, A^, A3, T,, Tj, Tj données par les égalités (33). Le travail virtuel de la viscosité sera

Posons

(77) / +2|^(t-.-7, +.%5:-,) H-2^(t-,7. +-T,5fc.) +2^(3b,.T, + g-,&,)j,

+ 2 ~ (-T, a:,+ .x^îTs) + 2 j^ (-T,.\:, + .\:,.T, ) + 2 ^ (-T, -V, -4- -\-,.T,)].

RECUERCIIRS SLR l'kLASTICITK. 33

naisse à l'instant /, au sein de l'élément considéré, savoir aux axes de dilatation de cet élément; cette déformation sera alors définie par les six quantités infiniment petites

A\dt, ùi\dt, ù^^dt, Y\dt, Y\dt, T^dt,

A'^, A^, A3, r,, r!j, T\ étant ce que deviennent les quantités A,, Ao, A^, r,, Ta, r, lorsque, dans ces égalités (33), on remplace D,, Da, D.,, G,, Gj, G3 par D',, Dg, D'3, G',, G!j, G3. Cela revient à dire que l'on a

La fonction dissipative S dm^ relative au volume élémentaire rfni, devra être une fonction de la température T; de l'état de la masse élémentaire à l'instant /, c'est-à-dire des valeurs prises à cet instant, en un point de l'élément dxs, par a,, o-g, rs^ ; enfin, de A',, A'^, A3, T',, H,, r,; elle doit être une forme quadratique définie positive de ces six dernières variables. Des considérations de symétrie évidentes permettent d'écrire

(74) ^= «(<7l,<7î, <73)A'i* 4- rt(<7î, 73, CjjA'j* -h rt((73,C7,,<T,)AV

-\-ib{i^, ij^, c7,) a; a; -h 2 /y(<T„ cTj, (7, ) a; a; -+- 2 6((7a, <t„ «tj) a; a;

4- C((7„<T2, (7j)I7 -+- C(C7J,<T3, <T|)r;* + ^((Ja, <Tp <7j) F,* -i-3^/((7,,(7„C73)rjr3 H-2r/((72, (7;„<T,)r3rj -\-2d{(7i,(TiyfTt)T\l\

-H V(<^i> ^u ^3) a; Tj -\- 2f{7i, <T3, <7|) A;r; -+- 2/((73, <t„ (7,)A'3r3 4- 2[m((7i, <T„ «T,) r; -f- /?î((7,, <73, i7i)r^ ] a;