V. — Équations du mouvement d'un milieu vitreux
Pour parvenir a la mise en équations du mouvement d'un milieu vitreux, il nous reste encore à former le travail virtuel des forces d*inertie et le travail virtuel de la viscosité.
Le premier de ces deux travaux, immédiatement connu, a pour expression
Le travail des actions de viscosité est d'une forme beaucoup plus compliquée.
Dans le temps ^/, un élément de masse du système éprouve une déformation infiniment petite que l'on peut définir, en la rapportant aux axes Oj:-, Oj, 0:?, par les six quantités
D, = d; dt, 1),= d; dt, D3= d; dt,
Gj m G'i dt, ^'i= G 2 dty 63= G'3 dt.
Au lieu de rapporter cette déformation à des axes arbitrairement choisis, on peut la rapporter aux seuls axes privilégiés que l'on recon-
(') J. BoussiXESQ, Théorie des ondes liquider périodiques, Nolo IH (Mémoires présentés par divers savants h Tlnstilut de France, t. XX). — Cf. E. et F. Cosserat, Sur la Théorie de l'Élasticité {premier Mémoire, n" 17).
(2) P. DuiiEM, Sur la viscosité en un milieu vitreux {Comptes rendus^ l. CXXXVI, i février 1903, p. 281 ). — Sur les équations, du mouvement et la relation supplémentaire au sein d'un milieu vitreux {Ibid., 9 février 190'i, p. 34H).
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITK. 33
naisse à Tinstant t, au sein de Télément considéré, savoir aux axes de dilatation de cet élément; cette déformation sera alors définie par les six quantités infiniment petites
a; dt, a; dt, a; dt, r, dt, r, dt^ r, dt,
A',, A^, Aj, T\, r.^, r'g étant ce que deviennent les quantités A,, A,, A,, r,, Ta, Ta lorsque, dans ces égalités (33), on remplace D,, Dj, D.,, G,, Gj, G3 par D',, D^, D3, G',, G^, G3. Cela revient k dire que l'on a
j A;=D;A;î4-D;g^Î4-D;^;H-2G;.7ii-i4-2G;2b,.x,-+-2G;A;,5,,
La fonction dissipative S dxs^ relative au volume élémentaire fl^ar, devra être une fonction de la température T; de l'état de la masse élémentaire à l'instant /, c'est-à-dire des valeurs prises à cet instant, en un point de l'élément rfcr, par a,, o-a, o-j; enfin, de A',, A'^., A3, Y\, H,, r,; elle doit être une forme quadratique définie positive de ces six dernières variables. Des considérations de symétrie évidentes permettent d'écrire
(74) i=: «((T,, 7^,73) a;» + fl(<7j, <7„<7i)A;* -f- rt(<73,<J„<J,)A;*
-h 2 6 ( or,, (T„ <J,) a; a; 4- 2 ^*(<7„ <73, (T, ) A'3 a; -+- 2 6(<J3, <7„ <J,) ^'i ^î
-h c((Xi, <j„(x,)rj» H- c(<j„(X3, <ji)r'/ -4- c((X3, cTi,ffî)r,* -^2d/(<j„(T„<j,)r;r3 +2d/((x„<j3,(x,)r3r; -+-2d/(<j„(x,,(x,)r;r, 4- 2/((yi, (x„ <j3)a; r, -4- 2/((Xj, (X3, cT,) A;r; 4- 2/((X3, (7„ y,) A;r; 4- 2[m((7i, <j„ (T3) r; -h /w((7,, (T3, (T,)r3 ] a; -h 2[m(ff„ <j3, ffjr; 4- m((7j, (7„ <T3)r;] a;
Les mêmes considérations de symétrie montrent que l'on a, quels que soient œ, d', a",
flf (a, <7', C') = «(O-, fl\ 0-'),
(75) { C((X, ff',(x') — c((T,(7%(t'),
d/((X, 0-', <7") = di^fJy fj\ 0-'),
/(cr,cr',(7^)^/(cr,(7%(7').
Enfin, les fonctions a, 6, c, e/, /, /w dépendent de la température T.
.V| p. Dl'HEM.
Si te milieu, au lieu d'être vitreux, était cristallise, la fonction dissipative S devrait être encore une forme quadratique définie positive de
seulement cette forme ne serait plus nécessairement donnée par la formule (74); l^s coefficients de cette forme pourraient dépendre non seulement de T et de a,, o-j, œ,, mais encore de l'orientation des axes r, 2, 3 par rapport a la matière de l'élément dts.
Imposons au système une modification virtuelle quelconque S^, oy], 0^; à cette modification correspondront, en chaque point, trois dilatations virtuelles D,, D^, D3 et trois glissements virtuels G,, Gj, G, donnés par les égalités (24)» partant, six quantités A,, A^, A,, T,, Ta, r, données par les égalités (33). Le travail virtuel de la viscosité sera
di
Posons
/di ^. di ^^ di ^, di ^ ^ di ^ ^ di ^ ^ \
H- 2 ^ (7.->-,+ ''V-î-7,) + 2 ^ (.Ts-x, + .\.,.7, ) + 2 ^ (-7.-'v«+-'VJ..70] •
RECHERCHES SUR i/ÉLASTICITÉ. 35
Selon les égalités (33), l'égalité (76) pourra s'écrire
(78) €f:^^,'= r(v,D,4- VvD,-+- V-Ds-f- ÎÏTxGiH- 2Tj.ril4- ^TzG^) duS
Si les quantités v^, v^., v,, t^, t^., t^ admettent, par rapport à x, y, z, des dérii^ées partielles qui soient ^nies, l'égalité (78) peut se transformer en
(79) d^,z=^J[ (v^a -hTcl3 + r^7)â4
Les formules (76) à (79) sont vraies également pour les milieux vitreux et pour les milieux cristallisés.
Les équations du mouvement du système s'obtiennent en écrivant que l'on a, pour toute modification virtuelle imposée au système,
(80) d^Dc—ij^ -f- d(r^j + d(£>y^ o.
Cette égalité devant avoir lieu quels que soient S^, Sy], 8J^, on doit avoir, selon les égalités (67), (72) et (79) :
I® En tout point de la surface qui limite le milieu
(Tjr-f- t^y -+- Tv )« + ijx^^x + T,)(3 4- (N- H- ^z4- T. )y -h ^;^p - A^a = P^;
36 p. DUHEM.
2^ En tout point du milieu
ôx dy dz ôz dy
=p(x,-HX,-|;i),
dx dy dz ôx ôz
dj7 d>j ôz ôy ôx
VI. — Quantité de chaleur dégagée par un élément du milieu (*).
Considérons un élément de masse dm = pdx3. Son entropie S^/ti est donnée par l'égalité
D'autre part, les viscosités intrinsèques de cet élément effectuent, en une modification réelle ou virtuelle, un travail qui a pour valeur
Dès lors, en une modification réelle ou virtuelle quelconque, cet élément dégage une quantité de chaleur rfQ qui a pour valeur [Recherches sur l* Hydrodynamique. Première Partie, égalité (80)]
Efi^Q= jTd^ — -(v^Di-4-VyD,4-v-D3 4-2T,Gi+aTvG,-h2r-G,)l<//w.
(*) P. DuiiKM, Sur les équations du moiwement et la relation supplémentaire au sein d'un milieu vitreux {Comptes rendus, l. CXXXVI, p. 34'i; 9 février 1903 ).
Posons
(84) puis
T d'Hf
gi = -ï!
E detdT __T <?'<&
__T J'^ *''" E(>£,dT' T d'9
gj-=
E dy,dT
ou bien, en vertu des égalités (3^) et (42),
nous aurons, en vertu des égalités (34), (4^) et (83),
(86) rfQ = — (c (îT + e, 5e, 4- o» Ô£,+ Cj Ô£j-h g, 3y, + g, 3y,4- g, è-/j)dm
— 7v (v*'>i + '■'r'^i+ '■*;•>>+ 3rx(ii4- 27,0,4- 'iTiG,) ^«1.
Re-
posons
fdzy- /dzy /âzy ôz dz di dz dz dz
da db
38 p. DUHEM.
, dy dz ^ dy dz dy dz
da da ^ ôb âb de âc
{àydz^dydz\ {iyà±.dydz\ (àydz dy d£\
\db de "^ de db) ^''^\dc da ■*" da de) ^'"^ \da db *^ db da) ^"
(87) ] (suite) *
dz dy dz )^''^\Ted^'^l^'de)^'-^ \Ta ^
; dx dz dx dz dx
l 1^^''^ db db ^'"^ di 'd^^^
(dz^dx^ dz dx\ / dz dx^ dz dx\ /dz dx dz dx\
db 'd^ '^ Telb)^''^\di à^ '^ d^ d^)^^'^\d^db''''dbà^)^''
V dy dx dy dx dy
'i'd7i^'~^lb'db^^'^~di li^^
( dx dy dx dy\ Idx dy dx dy\ /dx dy dx dy\
\ \M dU'^^db)^''^ [d^ dâ~^d^d^)^''^\à^M'^db ^''
En vertu des égalités (3o), l'égalité (86) deviendra (88) e/Q =- [c ÔT -h (^a, 4- -^) D » 4- (a,- -i- ^) 1), -h (a, -h ^) 1),
Toutes ces formules sont aussi vraies pour les milieux cristallisés que pour les milieux vitreux.
