h 2fJL

Les deux équations (32) et (33) sont donc toutes deux du type (36) A^^AV4-BAV-C^=o.

où l'on a

ot où A, B, C sont trois quantités positives.

Nous avons h plusieurs reprises attiré l'attention sur cette équation (*), qui joue un rôle essentiel dans diverses questions de Physique mathématique.

Soit S une surface tracée dans l'espace des a, b, c; peut-elle être, pour la fonction V, une onde du troisième ordre ?

La surface S partage l'espace en deux régions, que nous désignerons par I et 2. Si nous menons à la surface 2 une demi-normale

( * ) Sur la théorie électrodj'naniique de Ilelmholtz et la théorie électromagnétique de la lumière (Archives néerlandaises des Sciences exactes et naturelles, série 11, t. V, 1901, p. ^27). — Recherches sur l' H/drodynamique, i" série, 2* Partie, équation (106).

REGHERGUES SUR l'ÉLàSTICITÉ. 55

dirigée du côté 2 au côté i, nous désignerons par a» p» y ses cosinus directeurs.

Du côté 1 , la fonction V a une détermination analytique V, que Ton pourrait également prolonger du côté 2; mais, de ce côté, V a une autre détermination analytique V^ ; U = V^ — Vf est une fonction analytique, définie en tout point du côté 2, et y vérifiant Téquation

{36 bis) a|-AU-+-BAU-G^=o.

di dt*

Comme Ton a, en tout point de la surface S, AU = o, -j-f = o, Téquation (36 bù) montre que l'on y a aussi

(37) ^^AU..o.

Soitx la vitesse de propagation de l'onde S, dirigée du côté 2 au côté I ; selon les lemmes de M. Hadamard [voir nos Recherches sur r Hydrodynamique, i'^® série, 2,^ Partie, égalités (ii5)] il existe, en tout point de la surface 2, une grandeur v) telle que Ton ait

Cette égalité, jointe à l'identité

transforme l'égalité (37) en

(89) xi:) = o.

Si l'on n'a pas x = o, cette égalité donne t) = o; ce résultat, reporté dans l'égalité (38), montre que toutes les dérivées partielles du troisième ordre de U sont nulles sur la surface S. La surface S est alors, pour la fonction U, une onde d'ordre supérieur à 3.

Si l'on a X = o, l'égalité (38) est identiquement vérifiée ; la relation (37) nous enseigne que toutes les dérivées partielles de la fonction U

56 p. DIHEM.

s'annulent sur la surface 1, sauf les dérivées

daPôMdC

Ainsi, les seules ondes du troisième ordre que puisse admettre une intégrale V de l'équation (36) sont des ondes immobiles au travers desquelles toutes les dérivées du troisième ordre de V imrient d'une manière continue, sauf celles qui ne résultent d'aucune différentiation par rapport à t.

Toute intégrale de l'équation (36) vérifie aussi les équations que l'on en déduit par des differentiations successives. Dés lors, on peut étendre le théorème précédent en lui donnant la forme que voici :

Les seules ondes d'ordre n (n^'i) que puisse admettre une intégrale V de l'équation (36) sont des ondes immobiles au travers desquelles les seules dérivées d'ordre n de la/onction Y qui soient discontinues sont celles qui s'obtiennent sans aucune dérivation par rapport à t.

Selon le ihéorëme de Clebsch généralisé, toute intégrale des équations (3o) peut se mettre sous la forme

étant une intégrale de l'équation (32) et P, Q, R trois intégrales de l'équation (33), liées entre elles par la relation

âP dQ dn

Il est clair que pour qu'une surface S soit onde d'ordre n pour les fonctions $, y], ^, il faut qu'elle soit onde d'ordre (n 4- 1) pour l'une au moins des fonctions 0, P, Q, R et d'ordre égal ou supérieur à (n '{- f ) pour les autres. D'où la conclusion suivante :

Une surface S ne peut être onde d'ordre /^(A^^2) par rapport aux Jonctions Ç, y], î^, que si elle est immobile dans l'espace des a, è, c.

àë dQ da de

dR db'

d» dix ~ db'^ da

dP ~db'

dB dP ~ dc'^ db~

dQ da'

dadt ' dcdt

dbdt ' dadt

Jcrfi'

D'ailleurs, d'après ce que nous avons vu, une oncle d'ordre n(n^3) par rapport à l'une des fonctions 0, P, Q, R est aussi d'ordre

au moins égal a n par rapport a sa dérivée par rapport a /: -r-^ -tjj

dt' ât' D'autre part, les égalités (4o) nous donnent

dcôt dbdt dadt

Nous voyons alors que toute onde d'ordre n (^n^i) pour les fonctions ^, Y], X, est, en général, onde d'ordre n pour les composantes w, i% w de la vitesse.

En revanche, elle est^ en générai, onde d'ordre (n — i) pour les dérivées partielles de J[, y], J[, par rapport à a, b, c, partant, selon les égalités (8), pour les quantités N^r, N^, N„ T^., T^,, T^.

En résumé, si l'on considère les petits mouvements d'un milieu vitreux, ajfecté de viscosité^ très peu écarté de l'état initial et soumis aux conditions imaginées par M. O.-E. Meyer, ces petits mouvements peuvent présenter des ondes. Ces ondes, d'ordre n(n^ n) pour les composantes w, v^ (V de la vitesse, sont en général d'ordre (n — i) pour les quantités N/, T,-. Pendant toute la durée rlu mouvement, elles séparent les mêmes masses matérielles.

I'. DCHEM.