CHAPITRE IL
DE LA PUOPAGATION DES ONDES DANS LES MILIEUX VITREUX TRÈS PEU DÉFORMÉS (»).
I. — Des ondes du second ordre en a, \\ iv, dans un milieu vitreux très peu écarté de Tétat initial, animé de mouvements très petits et conducteur de la chaleur.
Le théorème précédent est soumis a certaines restrictions, celles-là mêmes qui définissent le problème de M. O.-E. Meyer. Nous allons le généraliser en nous servant, pour le démontrer, non plus des formules que renferme le paragraphe 4 du Chapitre I, mais des formules qui ont été données aux trois premiers paragraphes du même Chapitre.
Considérons, dans l'espace des «, b, c, une surface fixe ou variable ^ qui soit onde d'ordre v pour $, v], JI. Cette surface sépare l'espace en deux régions i et 2; la normale, menée de la région 1 à la région 2, fait avec les axes de coordonnées des angles /, m, n.
Du côté I de la surface 2, les fonctions $, y], 'C admettent les déterminations analytiques $,, y],, t^ ; du côté 2, elles admettent les déterminations analytiques $2» ^2» ^2* Posons
(43) ^,-^, = F, -n.-Yî.zziG, Ç,-Ç, = U.
Toutes les dérivées partielles de F, G, H, par rapport a a, b, c-, /, jusqu'à Tordre (v — i) inclusivement, s'annulent sur la surface S. Il n'en est pas de même des dérivées d'ordre v. Selon les lemmes de M. Hadamard (Voir nos Recherches sur l'Hydrodynamique, i*"* série, 2* Partie, Chapitre II, § 5), il existe un vecteur #, (j, 5e, défini en
( * ) Sur es ondes au sein d'un milieu vitreuse affecté de viscosité et très peu déformé Comptes rendus, t. CXXXVl, 2!i mars igoS, p. 733;.
RECHERCHES SUR l'ÉLASTîCTTÊ. 5g
chaque point de la surface S, tel que l'on ait d'Y
dat*db'tdc''dt'
z=z{—Sf^yii'nifn''S,
X étant la vitesse de propagation de Tonde dans l'espace des a, b, c. Supposons, tout d'abord,
Dans ce cas, Tonde est immobile dans l'espace des a, b, c\ dans l'espace des x,yy z, elle sépare sans cesse les deux mêmes portions du milieu.
Les égalités (44) nous montrent que les seules dérivées d'ordre v de F, G, H qui ne s'annulent pas sur la surface S sont celles qui n'impliquent aucune dérivation par rapport à /. Observons que
et nous parviendrons h la proposition suivante :
Si une onde S sépare constamment les deux mêmes portions du milieu et si elle est d'ordre v par rapport aux composantes \, r^^X^ du déplacement , elle est au moins d'ordre v par rapport aux composantes u, r, (v de la vitesse.
Si, au contraire, l'onde S se propage au sein du milieu de telle sorte quelle nen sépare pas toujours les deux mêmes parties, et si cette onde est d'ordre v par rapport aux composantes Ç, yj, X, du déplacement, elle est d'ordre (v — i) par rapport aux composantes u, r, w de la vitesse.
L'équation de continuité [i''^ Partie, égalité (22)] jointe à l'expression de (D [i'"^ Partie, égalité (.4 bis)], nous montre
I 6o p. DUHEM.
que toute surface 2 qui est onde d'ordre v pour ^, y], !^ est onde d'ordre (v — i) pour co et pour p. D'où la proposition suivante :
iSV une onde se propage dans le milieu de telle sorte quelle n'en sépare pas sans cesse les deux mêmes parties^ cette onde est du même ordre pour la densité p et pour les composantes u, ç', w de la vitesse; si, au contraire, elle sépare sans cesse les deux mêmes parties du milieu, son ordre pour les composantes w, ç», (^' de la vitesse surpasse au moins d'une unité son ordre pour la densité p.
Ces énoncés, entièrement généraux, ne supposent nullement qu'il s'agisse d'un milieu vitreux très peu écarté de son état initial. H n'en est plus de même de ce qui va suivre.
Selon l'égalité (27), qui peut s'écrire
l'ordre de l'onde S sera, par rapport à T, supérieur au moins d'une unité à Tordre de cette onde par rapport à m, t^, w, poujvu que l'an suppose différent de o le coefficient de conductibilité k(T).
Commençons par examiner que/les sont les ondes du second ordre par rapport à u, ç, w qui peuvent persister dans un milieu vitreux très peu écarté de l'état initial.
Posons -
(4?) M,— i/,= U, (•,— r^zr^V, iï'j— »r,= W.
Il existera, en chaque point de la surface 2, un vecteur t), t?, ijj) tel que
daPdb^dC^dr ^ ^ '
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. 6i
Moyennant ces égalités (48), et en observant que la surface £ est au moins onde du troisième ordre pour la température T, les égalités (19) nous donnent
da db de
— - (X 4- /jl) (/t!) 4- mt? -H /iT|?))/ - jijLt),
(49) ( Oa ôb àc
~— (/ -H fx) (/t) 4- w^ -+- n\\^))m — ji^V*),
é^a (?6 de
^ =z~ (X -h^) (/O 4- wV 4- /iiK^)/i - fxtJî>.
Les quantités
varient d'une manière continue en traversant la surface 2.
Si X est différent de o, Tonde considérée est du troisième ordre en $, Y], Ç; si X est égal à o, elle peut être seulement du second ordre en $, Y], <^; dans un cas comme dans l'autre, les quantités
varient d'une manière continue au travers de la surface Z.
Supposons d'abord Sf^ différent de o.
La surface S est alors onde du troisième ordre par rapport a $, y), Z\ les formules (8) nous montrent qu'elle est onde du second ordre par rapport aux quantités
Dès lors, les égalités (20) nousenseignentque l'on a, en tout point
02 P. DUHEAI.
de la surface £,
ôa "^ db "^ Oc ""^'
^ ' J c/a d/v Je '
Ôa db de OU bien, en vertu des égalités (49),
i (). -+-/JL)(/n4-m\'> -t-/ivîi?))/ 4-/JLt) ~o, (5o) I ()M-;jL)(/C)-f-//*V-f-/i\tî?)/wH- rjLx;; =r c,
Multiplions respectivement ces égalités par /, /n, n et ajoutons membre à membre les résultais obtenus; nous trouvons
OU bien, en vertu de la dernière inégalité (35),
Ce résultat, reporté dans les égalités (5o), donne
OU bien, en vertu de la seconde inégalité (35),
Ainsi, un milieu vitreux très peu écarté de l'état initial et affecté de viscosité ne peut présenter aucune onde^ du second ordre par rapport aujc vitesses, qui ne séparerait pas constamment les deux mêmes masses matérielles.
On remarquera que la démonstration de cette proposition suppose l'emploi des inégalités (35); cette proposition pourrait donc être en défaut si le milieu était dénué de viscosité.
RECHERCHES SIR i/ÉLASTICITÉ. 63
Supposons maintenant
La surface S pourra alors être onde du second ordre par rapport h $,
Gardons les notations (43). Kn chaque point de la surface 2, il existera un vecteur ^, (/, 5e (el que
ôaP OM ôc'
T- /Pm'fn'':*
âaP db'f ôc ÔaP ôhi ôc
— iPni'fn'':^
Moyennant ces égalités, les égalités (8) donnent, en tout point de la surface 2,
da ôh ôc
= — (A 4- M ) (/-f + mC; ^ ,i5e)/-. M.f,
(52) ( ôa ôb ôc
— — (A -+- M) (/^ + /w(; -h n:iZ)ni - MfJ,
(»(T,.>^Ty.) ^ ô{J,,^J,,) ^ (^(N,,~N,.) (^« J/v ôc
— — (A -h M) (/rf -+- m{\ 4- « JC) w — M JC.
D'autre part, les égalités (20) nous enseignent que Ton a, en lout point de la surface S,
<^(Na:t+Vxl— N^,— V^O ^(T,8-|-T,t-~T,, — T,,) (^(Ty^+Tj-^- T3., -> 7^,)
ôb
ôc
<^(T;,H-7zi-T„-~T„) c?(Nj.,-4-Vj.,— Ny,— VyO ^rîVtI«--TV--'r,i)
dô
(Je
cJ(T,»+T,»~T,..-^T,.,) cJ(T^,+ T^,-T;„-T^O . d(N.»+V3,-N,t~v,,)
da
ôb
ôc
6'j p. nUHEBf.
ou bien, on vertu des éjjjalilés (49) et (52),
(53) ^ (A-+-M)(Êf-4-m(,*H-/ïje)/?i + Mg -h(X4-|:jL)(/0-+-/7i\? + Yî^)mH-pt? r=o, 1 (A-HM)(tf-hmy4-/iJe)w -f-M5eH-(X-h|jL)(/r)-i-/?i\:^-+-/i^)/i +|jl^=o.
Ces équations déterminent ?f, (?, 3e lorsque l'on se donne t), \*>, «) ou
inversement.
On les résout élégamment de la manière suivante : Multiplions-les respectivement par /, m, n et ajoutons membre h
membre les résultats obtenus; nous trouvons l'égalité
(54) (A-h2M)(/^-h/«g4-nJe) + (X + 2|:jL)(/t)-f-,„t:)-+-w\J?)) — o qui, reportée dans les égalités (146), donne
D'après ce que nous avons vu au commencement de ce paragraphe, la surface S, onde du second ordre pour \, y], s» st*i*a onde du premier ordre pour la densité p. Si nous posons
(56) p,— pi=:R,
nous aurons, en tout point de l'onde S,
L'égalité (22), jointe aux égalités (43)> (5i), (5G) et (37), donne
(58) Jl=z— p^(/^-hmg-+-/iJe) ou bien, en vertu de l'égalité (54),
(59) Ji = p^^^±^(/r)-f-mt?-h,/^),
RECHERCHES SUR i/ÉLASTICITÊ. 65
La surface S est onde du troisième ordre par rapport ji T; si l'on différentie successivement l'égalité (27 bis) par rapport à r/, b, c, on en tire, en tout point de la surface S, les égalités
P°E ciT ôa\ôa '^ ôb "^ ôc )
d r (?'(T,--T,) c^'(T,-^T,) ^'(T,-T,) -] (}« L ^^' <^^' dc^ J "" '
Il existera d'ailleurs, en chaque point de la surface S, une grandeur 6 telle que
(61) ^'^^'7 l'^ ZZzlPm^n'-^ .(n-+^y+,. — 3).
Moyennant ces égalités et les égalités (48), les égalités (Go) donneront sans peine
Ainsi, au sein (Vun milieu t^ilreuXy affecté de viscosité, bon conducteur et peu écarté de l'état initial, il peut se produire des ondes du second or^dre par rapport aux composantes //, i', (v de la vitesse. Ces ondes séparent constamment les mêmes parties du milieu. Elles sont du premier ordre pour les quantités N^j, N^, N,, T^., T^,, T, et pour la densité p; elles sont, au contraire, du troisième ordre pour la température T.
Par des méthodes semblables à celles qui ont été employées en la deuxième Partie de nos Recherches sur r Hydrodynamique, ce théorème peut se généraliser et devenir le suivant :
Au sein d'un tel milieu, on peut obsen^er des ondes d'ordre v(v ^ 2) par rapport aux composantes m, v, w de la vitesse. Ces ondes séparent constamment les mêmes parties du milieu. Elles sont d'ordre (v — i) pour les quantités N^;, N^., N„ T^., T^, T, et pour la densité p ; elles sont, au contraire ^ d'ordre (v -H i) pour la température T.
66 p. l)i:HR!»I.
II. — Des ondes du premier ordre en //, r, «r, dans un milieu vitreux, très peu écarté de Tétat initial, animé de mouvements très petits et bon conducteur de la chaleur.
La méthode que nous venons d'employer ne s'applique pas aux ondes qui seraient du premier ordre par rapport aux composantes //, V, iv de la vitesse. Dans ce cas, en effet, la condition qui permet, en la première Partie de ccs^ltecherc/ies, de passer de l'égalité (78) à l'égalité (79)» n'est plus vérifiée aux divers points de l'onde; on ne peut donc plus écrire, en général, les équations (82) de la première Partie, ni, partant, les équations (20) de la seconde Partie.
Soient S la surface d'onde à l'instant t, dans l'espace de x,y, 5, et a, p, Y les cosinus directeurs de la normale menée de la région i vers la région 2. Par un raisonnement semblable à celui que nous avons développé en nos Recherches sur T Hydrodynamique, i*^ série, 2*^ Partie, Chapitre III, § I, nous montrerons que ron doit avoir^ en tout point de la surface S et à tout instant,
l 4- (v^2 — v^, ) a -h (r.j — T-, ) ;3 -+- (zyr — Tj., ) y = o, 4- ('cî — 7=1 ) a 4- ( v^-ï — Vj., ) ^ -h (T^, — T^, ) y — . o,
4- (t^2 — Tj^, ) a m- (t^:, — t^i ) ? 4- ( v.j — V-, ) y — o.
Cette condition est générale. Au sein d'un milieu très peu écartéde l'état initial, elle peut être remplacée par la suivante :
On a, en tout point de la sur/ace I^ et à tout instant,
(Nx.-N^i)/4-(ï«-T,,)m4-(T,,-^T^,)/i - (V;p, — V;p, ) / -h (t-j — T., ) m 4- (Tvs — T^i ) /* = o,
j (T,,-V,,)/4-(N^,-N^,)//i4-(Tx,-T,.)//
(T,.2-T^,)/4-(T,,-T,,)m4-(N,,-N3,)/i 4- (Tj j — T^-i ) •/ 4- (t^2 — T^i ) m H- i^Jzi — v-i )n-=o.
de
db ='"''''
de
L'onde est du premier ordre par rapport aux composantes u, v, w de la vitesse; dès lors, si l'on conserve les notations (47)» il existera, en chaque point de la surface 2, un vecteur t), x?, ^ tel que
L'onde est, d'ailleurs, du second ordre par rapport à la température T; les égalités (19) et (65) donnent donc
( Va:2 — V^i ) / -i- ( 'ci— 'ci ) '^ -+" ('yi — "^y^ ) ^
(^yj == 'yi ) ^ -^ (^ur2 — Txi ) >n -+- ( v^j — v-, ) n = — (X 4- pi) (/U + m\'> + «\K') /* - //\»>.
Supposons, tout d'abord, que X soit différent de o; l'onde du premier ordre par rapport à m, r, w sera du second ordre par rapporta $, y], ^; selon les égalités (8), elle sera du premier ordre par rapport à N^., N^, N„ T-r, T^, T^; les égalités (G4) deviendront
i (V;ci— v^i ) ^ -H (7;,, — t-i ) m 4- (Tj2 — T^, ) /' = o,
(64 ^16) (t.j — t., ) / -h ( Vy2 — v^., ) m -h (7^:2 - T^^i ) n — O,
\ (^rî — '^ri)/-+- ('x2— 7^,)m-h (v-j — v-,)/^ =
OU, selon les égalités (66),
Nous avons vu que ces équations n'admettaient d'autre solution que
68 p. DUIIEM.
Donc, au sein d'un milieu vitreujc^ doué de viscosité, très peu écarté de rétat initial, on ne peut obsen^er aucune onde du premier ordre par rapport à la vitesse, qui se propage de manière à ne pas séparer constamment les mêmes portions du milieu.
Supposons maintenant
L'onde du premier ordre par rapport à //, r, w serait aussi du premier ordre par rapport à $, y], J^; dès lors, en gardant les notations (13), il existerait, en tout point de la surface 1, un vecteur ^, cj, œ tel que
\Ta=^^' Tb^"'^^ Tc=''^^
7^-'^' UTT-'''*^' ^-'*^-
Ces égalités, jointes aux égalités (8), donnent
(Nxi-Nxi)/-^(T.5~T,,)m4-(T,2~T^i)^« -:-(A-+-xM)(/.f-hmg4-/iX)/ — M.f,
- ( V + M)(/J'"h/nff + //X)m-Mg, En vertu des égalités (66) et (68), les égalités (64) deviennent
1 +(X 4-|ui)(/t)H-mt?4-/i^)/ 4-fxV) =0,
' +-(X -^fjL )(/t)-hm\?4-/i^)m4-fx'<? =o, (Ah-M)(/^ -f-m(/ 4-/^Je)/^ -4- MX
Gomme nous l'avons vu, ces égalités entraînent les égalités (54) et (55).
L'égalité (32) nous donne, en chaque point de la surface 2,
ou bien, en vertu des égalités (67), ou enfin, en vertu de l'égalité (54),
(69) p,«p^==p„^^-±2^(/t) + ;nV^ + /iV»>).
La surface S est onde du second ordre pour la température T; il existe donc une grandeur 6 telle que, sur la surface I,
Moyennant les égalités (65) et (70), l'égalité (27 bis) donne
Donc, au sein d'un milieu vitreux, affecté de viscosité^ bon conducteur de la chaleur et écarté de l'état initial ^ on peut observer une onde du premier ordre par rapport aux composantes u, ç^ w de la vitesse. Une telle onde sépare toujours les mêmes portions du milieu. Elle est surface de discontinuité pour les quantitésN^., N^ , N,, T^, T^,, T, et pour la densité p; au contraire, elle est onde du second ordre pour la température T.
m. — Des ondes dans un milieu vitreux, dénué de viscosité, très peu écarté de Tétat initial et animé de mouvements très petits.
Tout ce qui précède suppose essentiellement, comme nous l'avons indiqué, que le milieu est doué de viscosité; notre analyse devient illégitime si les coefficients X et [x sont égaux à o.
D. Il
^ô p. DUHEM. ,
La propagation des ondes dans un milieu vitreux, peu écarté de l'état initial et doué de viscosité obéit à des lois bien connues depuis Poisson et Cauchy; les méthodes suivies pour établir ces lois supposent, en générai, que la température est uniforme et que les actions exercées sur les divers éléments du milieu sont nulles; il importe de se débarrasser de ces restrictions; c'est ce que nous allons faire par l'analyse suivante :
Supposons que la surface 2 soit une onde du second ordre pour les fonctions $,7),^, partant, selon les égalités (8), du premier ordre pour les grandeurs N^, N^, N^, T^, T^,, T^,. Les quantités r^, r^, i',, t,, t^, t^ étant nulles, les égalités (20) donneront, en tout point de l'onde,
da • db ' Oc • P' dt* ~°'
(71) • r H rr 1 r h Oy ZIZ O,
\ ôa -^ ôb -^ Te -^^^ dT^ =^-
Conservons les notations (43). Il existera, en chaque point de la surface S, un vecteur #, (,*, Je tel que
daPjb'tdCdt'
Selon l'égalité (27), Tonde est au moins du second ordre par rapport à la température T;dès lors, les égalités (8) et (72) nous donnent les égalités (32); en vertu des égalités (02) et (72), les égalités (71) deviennent
[ (A4-M)(/<;f + my-h/i:ïe)/ 4.(m — poX«)# =0, (78) I (A-i-M)(/éf4-/w(?4-/i:ïe)m-+-(M-poin;.*)î/ =0,
f (A + M)(/^-hm(J*■4-nJe)/^ 4- (M - poX») JC nz o.
Multiplions respectivement ces égalités par /, m, n et ajoutons-les
membre à membre. Nous trouvons
(74) (A-haM — PoiK,»)(/^-h/n(J-l-/i3e) = o.
Si nous n'avons pas
(76) l^ -hmÇ-\- nÇJIL = o,
nous devons avoir
et les égalités (73) donnent alors les relations
qui expriment que Tonde propage une perturbation longitudinale. Les égalités (56) et (37) peuvent être conservées ici; elles donnent encore l'égalité
S{ =— pç(/cf-i- mcj-h /i:je).
D'ailleurs, Tonde étant au moins du second ordre par rapport à la température, on peut écrire Tégalité(7o)qui, jointe aux égalités (72), (76) et (27), donne
(78) ^'-^n^É-TfT-V/— ^T"^^ ■^'^^"^''^^'
Si nous avons
(75) /ef 4-/n(j*4-/iX=io,
Tonde propage une perturbation transversale.
Les égalités (58) et (27), qui peuvent être conservées ici, donnent
(79) Si — o, G =10,
et nous enseignent que Tonde est d'ordre supérieur au premier pour la densité p et au second pour la température T.
Enfin, les égalités (78) nous font connaître la valeur de la vitesse
72 I». nriiEM.
de propagation
(80) ^=Vf«'
En résumé, un milieu vitreux, bon conducteur^ peu écarté de l'état initial et dénué de viscosité peut propager deux sortes d'ondes qui soient du second ordre par rapport aux composantes Ç, yj, ÎJ rfw déplacement et du premier ordre par rapport aux composantes w, p, w de la vitesse.
Les premières^ qui sont du premier ordre par rapport à la densité et du second ordre par rapport à la température, propagent une perturbation longitudinale avec la vitçssse
Les secondes, qui sont d* ordre supérieur au premier pour la densité et au second pour la température, propagent une perturbation transversale avec la vitesse
Po I
Nous avons supposé que Tonde considérée était du second ordre I
on Ç, Y], ^; elle est alors au moins du premier ordre en u, v^ v^; mais il pourrait se faire qu'elle fût du premier ordre en u, v^ w tout en étant aussi du premier ordre en Ç, y], 2^; pour cela, il suffirait que l'on eût
L'onde serait alors surface do discontinuité pour p et pour les six quantités N^, Nj„ N^, T^, T^, T^. Une raison semblable à celle qui a fourni los égalités (64) exigerait que l'on eût, en tout point de l'onde,
(T,,-T,,)l-h(^,,-Ny,)m~^-{^,,--T^,)n = o, En vortu des égalités (08), dont on peut reprendre ici les notations.
ces égalités peuvent s'écrire
(A-i-M)(/#-h/wg4-/iJe)/ 4-M^ =0,
(A + M)(/^+mg+/iJe)m4-Mg =o, (A -hM)(/.f +/7i(j'-f-/iJe)w -+-M5C = o.
Multiplions respectivement ces égalités par /, /w, n et ajoutons-les membre à membre, en tenant compte de la dernière inégalité (34); nous trouvons
Si l'on reporte ce résultat dans les égalités précédentes, en tenant compte de la seconde inégalité (34), on trouve
# zz: o, (j == ^» c^e = O.
L'onde considérée ne saurait donc exister.
IV. — Des ondes dans un milieu vitreux, très peu écarté de Tétat initial, animé de mouvements très petits et mauvais conducteur de la chaleur.
Tout ce qui précède suppose l'emploi de l'équation (27 his) où l'on admet que ^(T) a une valeur positive. Si l'on suppose
cas auquel le milieu est mauvais conducteur de la chaleur, l'équation (27 bis) se réduit à
et l'analyse précédente tombe en défaut. Nous allons examiner les modifications qu'il convient d'y apporter en vertu de l'égalité (81 ).
Considérons d'abord le cas d'une surface S, onde du premier ordre par rapport aux composantes w, 9, w de la vitesse; les égalités (47) et (65), que l'on peut conserver dans ce cas, montrent que l'on a, en tout point de la surface £,
(83) f^Ç^'iJV^n-) H- «..? + ««..
Oa 00 âc
La surface S peut-elle être, pour la température T, onde du premier ordre ou d'ordre supérieur au premier? Dans ce cas, il doit exister, en tout point de la surface S, une grandeur 6, finie si Tonde est du premier ordre, nulle si elle est d'ordre supérieur au premier, telle que l'on ait
(84) ^" ^' ^' f Tt --^^•
En vertu des égalités (4?)» (83) et (84), Tégalité (82) donne, en tout point de la surface £,
(85) ,3îiç^^^^^(/t) + m\')-hn#).
Cette égalité donne pour g une valeur acceptable si Ji; est différent de o; elle est encore vérifiée si x et (Iv) -h /wt? -f- n^) s'annulent en même temps; mais elle devient absurde si l'on a x = o sans que (/t) -f- m-ç 4- n^) s'annule en même temps.
Donc, on peut admettre^ en général^ qu'une onde du premier ordre par rapport aux composantes u^ v, iv de la vitesse est aussi onde au moins du premier ordre par rapport à la température T ; mais^ dans le cas particulier ou Von aurait
(45) Xizio
sans avoir en même temps
(86) /r)4-m\*>-i-ni»>i=:o,
la surface considérée serait surface de discontinuité pour la température.
Supposons maintenant que la surface £ soit onde du second ordre par rapport aux composantes //, r, w de la vitesse, et demandons-nous si elle peut être onde du premier ordre par rapport à la température T.
L'onde étant du second ordre par rapport aux composantes 1/, c^, %v de la vitesse, la quantité
Ôti i)v ô\v
ôa ôb Oc
varie d'une manière continue lorsqu'on la traverse. Dès lors, les égalités (82) et (84) donnent, en tout point de Tonde S,
Si X est différent de o, G est nul et Tonde est, par rapport à la température, d'ordre supérieur au premier.
Donc, une onde du second ordre par rapport aux composantes m, r, iv de la vitesse est, en général^ au moins du second ordre par rapport à la température T; toutefois, si Von a
l'onde peut n'être que du premier ordre par rapport à la température.
Ces lemmes démontrés, proposons-nous de répondre à la question suivante :
Un milieu vitreux, doué de viscosité, très peu écarté de l'état initial, animé de mouvements très petits et mauvais conducteur de la chaleur peut-il présenter une onde persistante pour laquelle Do diffère de ol
Examinons d'abord le cas où Tonde serait du premier ordre par rapport a m, i', «^; elle serait au moins du premier ordre par rapport à T; dès lors, les quantités N^, N^., N„ T^, T^, T^ varieraient d'une manière continue au passage de cette onde, ce qui permettrait de conserver les équations (64 bis)\ les égalités (63) demeureraient exactes et transformeraient les relations (64 è/5) aux relations (5o) qui entraînent la non-existence de Tonde considérée.
Examinons maintenant le cas où Tonde serait du second ordre par rapport aux composantes w, v, sv de la vitesse. Elle serait au moins du second ordre par rapport à la température T. Elle resterait donc onde du second ordre par rapport à
ce qui permettrait d'écrire encore, en tout point de la surface S, les relations (20 bis)\ les égalités (49) y resteraient également vraies, en
76 p. DIHEM.
sorte qu'on retrouverait les relations (5o) entraînant l'impossibilité de Tonde étudiée.
Le résultat, démontré pour les ondes du second ordre par rapport aux composantes 1/, {^^ w de la vitesse, s'étendrait sans peine aux ondes d'ordre plus élevé, ce qui nous permettrait d'énoncer la proposition suivante :
// est impossible qu'une onde d'ordre v (v ^ i) par rapport ana> composantes u, r, çp de la vitesse persiste au sein d'un milieu vitreux, doué de viscosité^ mauvais conducteur de la chaleur ^ très peu écarté de l'état initial et animé de mouvements très petits, si cette onde ne sépare pas constamment les deux mêmes parties du milieu.
Examinons maintenant s'il peut, en un semblable milieu, se pro^ duire des ondes, du premier ordre par rapport aux composantes w, v, w de la vitesse, pour lesquelles on ait
En tout point d'une telle onde, on continuera d'écrire les équations (64).
L'onde peut être surface de discontinuité pour la température T, en wsorte que (Ta — T,) ne s'annule pas sur la surface 2; mais on suppose que le milieu est, à chaque instant, très peu écarté de l'état initial; T,» Ta différent donc très peu de la température initiale et (Tj — T,) est une quantité très petite du même ordre que les écarts ^, y], ^.
Les égalités (67) et (8) ne donnent plus alors les égalités (68); mais, si l'on néglige les infiniment petits du second ordre, on est simplement conduit a ajouter aux seconds membres des égalités (68) les termes
T ayant une valeur comprise entre T, et Tj.
Si l'on néglige les infiniment petits du second ordre, les égalités (66) demeurent inaltérées. On a donc, en tout point de la sur-
face s, au lieu des égalités (53), les égalités
(X -h fA)(/i:)4-m%P-+-/i^R>)/ -f-^xf) =o,
^g^^ , (A-+-M)(/.f 4-mff4-nJe)m4-M(?-+-po^^-\T,-T,)m
auxquelles les égalités (22) et (67) joignent Tégalité
(88) p,— Pj— — p^(/,f 4-;n(j'-»-/i3e).
Multiplions les égalités (87) par /, m, n et ajoutons membre à membre les résultats obtenus; nous trouvons
(89) (A4-2M)(/;f4-mg-+-/i3e)
Cette relation (89) transforme l'égalité (88) en
En même temps, elle permet de résoudre les égalités (87) par rap* port à ^, ç, oe sous la forme
rf r(A -hM)(X -+- aa) X-HmI/i^. ^c. .V, M -^
^= [ M(A-;.M) 5fi^J(/t)H-m^?4-««.)/-gt)
, J L M(A + 2M) M J^'^t-wv-h/iw;!!! j^ \
, r ^+M . I^ rf<p.(T)
jS p. DUHEM.
Les égalités (90) et (91) font connaître, en chaque point de Tonde, les valeurs de
^f Ç9 ^9 pi — Pi
lorsqu'on connaît les valeurs de
Ainsi, au sein d'un milieu vitreux, maus^ais conducteur de la chaleur, doué de viscosité, très peu écarté de Vétat initial et animé de mouvements très petits, il peut se produire une onde persistante, du premier ordre par rapport aux vitesses. Une telle onde sépare constamment les deux mêmes portions du milieu. Elle est surface de discontinuité pour les quantités N^., N^,, N^, T^;, T^, T„ pour la densité p et pour la température T.
Peut-il exister une onde, du second ordre par rapport aux composantes a, i^, w de la vitesse, et pour laquelle on ait
En chaque point d'une telle onde, on devra avoir
da ^ db "^ Te ■"^'
da db de
da db de
L'onde considérée peut être du premier ordre par rapport à 6, en sorte que, dans les égalités (84), G peut être différent de o; mais c'est une quantité très petite comme ?, y], Ç; les égalités (52) ne sont donc plus exactes; mais, si l'on néglige les infiniment petits du second ordre, elles doivent être remplacées par les égalités
,3V I da db de
HECHERCHES SUR L ÉLASTICITÉ. da âb de
C^rt dô c^c
Quant aux égalités (49)» elles demeurent valables.
Dès lors, les égalités (49)> (9'-^) et (g'i) donnent les relations
' (A-i-M)(/if 4-m(j4-/iX)/ -f-McT -hpo ^'^'i/^ S/
cfr
(X H- pi)(/l')-h/n%?4-/i^)/ -f-/xU
(A -+- M)(lri -+- mC/ -I- /i Je)m -h M(J -h po ^^^ ^^^
(A-hM)(/i 4-/«(y4-/iJe)/i ^MX-hpo^.J,î^6/i
A ces relations, il faut joindre la relation
(58) a =— Po ( /J' -h w C/ -♦- nJt).
Si nous multiplions respectivement les égalités (94) par /, m, n et si nous ajoutons membre à membre les résultats obtenus, nous trouvons Tégalité
H- Po ^j. 6 -h (X 4- 2ix)(lV 4- mi;^ -h /e\»>) = o.
En vertu de l'égalité (95), la relation (58) devient
8o p. DUHEM.
En outre, les égalités (94) deviennent
■^LM(A-h2M) "fi JP-"W"^^'
. r A4-M I 1. ^yi(T) ^^
-*-Lm(A4-2M) -fi JP^-^T"-^'"'
^- L M(A4-2M) jjj^J(/t!)-*-mx?4-/i^)n-^^
