Lmca + ^m) ~m JP«"^n
Les égalités (96) et (97) déterminent, en chaque point de l'onde, les valeurs de #, (j, :Je, a lorsqu'on connaît les valeurs de t), •<?, xa>, g.
Ce que nous venons de dire touchant une onde du deuxième ordre par rapport aux composantes i/, v^ w de la vitesse s'étend sans peine aux ondes d'ordre plus élevé. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
Au sein d'un milieu vitreux, affecié de viscosité j mauvais conducteur de la chaleur, très peu écarté de l'état initial et animé de mouvements très petits, on peut observer des ondes persistantes d'ordre v (v ^ 2) peurapport aux composantes u, v, w de la vitesse. Une telle onde sépare sans cesse les deux mêmes portions du milieu. Elle est d'ordre (v — i) pour les quantités ^x* N^» N,, T^^, T^, T,, la densité pet la température T.
Il nous reste à étudier la propagation des ondes au sein du milieu supposé mauvais conducteur et dénué de viscosité,
Considérons une onde du second ordre en ?, tq, Ç et, partant, du premier ordre en u, v, w.
Selon l'égalité (8ji), où nous supposons x différent de o, l'onde sera du premier ordre par rapport a la température; d'ailleurs, en vertu des égalités (72), l'égalité (85) devient
HECHERCBES SUR l'ÉLASTICITÉ.
Les égalités (qS) demeurent exactes, mais elles deviennent, en vertu de l'égalité (98),
--^ db -*■
da
de
da
db
de
dÇïy.-Ty,) . (?(T^.-T.,) . (?(N...-N.,)
da
db
de
= JA4-^r^^]' + M|(/^-f-mCj> + «5e)«-M3e.
En vcr(u de ces égalités et des égalités (72), les égalités (71) deviennent
1 U-*-i^r^^7^1'^-M|('^ + '"0' + «3e)/ -f-(M-p,Jt.»)^ =0,
(100) j JA+^r^3^j'+MJ(/^+m(?-»-«3e)m + (M— p,3Ii')C,' =0, I j A H- ^ r^^^î^.l'-t- M j (/cf -I- mVi -H «3e) « + (M - poX»)3e rr o.
Ces égalités (loo) ne diffèrent des égalités (73) que par la substitution de A -H ^— ^"^L^ ' à A; donc les conclusions que nous en
tirerons différeront seulement par celte substitution de celles que nous avons développées à la fin du paragraphe précédent.
Un milieu vitreux, dénué de viscosité, mauvais conducteur, très peu écarté de l'état initial et animé de mouvements très petits peut propager deux sortes d'ondes qui sont du second ordre par rapport aux composantes Ç, ï), ^ rfa déplacement et du premier ordre par rapport aux composantes u, V, Mf de la vitesse.
Les premières, qui sont du premier ordre pour la densité et la tempéra-
8o p. DUHEM.
En outre, les égalités (94) deviennent
^LM(A-f-2M) M JP* efT ^''
. r A4-M I 1 ^yi(T) ^^ ^- L M(A-f-siM) srj^^^
. r A4-M 1 1, ^yi(T) ^,
1 ■^■LmTâTTm) -m Jp^-^t-^''
-+-/nx?-f-n^)/i — -^MP
Les égalités (96) et (97) déterminent, en chaque point de Tonde, les valeurs de #, (f, X, A lorsqu'on connaît les valeurs de v, t?, ^, g.
Ce que nous venons de dire touchant une onde du deuxième ordre par rapport aux composantes 1/, t^, w de la vitesse s'étend sans peine aux ondes d'ordre plus élevé. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant :
Au sein d'un milieu vitreux, affecté de viscosité, mawais conducteur de la chaleur, très peu écarté de l'état initial et animé de mouvements très petits, on peut observer des ondes persistantes d'ordre v (v > 2) par rapport aux composantes m, c, w de la vitesse. Une telle onde sépare sans cesse les deux mêmes portions du milieu. Elle est d'ordre (v — i) pour les quantités N^r, N^r, N„ T^^, T^, T„ la densité p et la température T.
Il nous reste à étudier la propagation des ondes au sein du milieu supposé mauvais conducteur et dénué de viscosité,
Considérons une onde du second ordre en Ç, r), Ç et, partant, du premier ordre en m, v, w.
Selon l'égalité (81!), où nous supposons x différent de o. Tonde sera du premier ordre par rapport à la température; d'ailleurs, en verlu des égalités (72), l'égalité (85) devient
Les égalités (gS) demeurent exactes, mais elles deviennent, en vertu de l'égalité (98),
da db ^ de
da
db
de
da
db
:^JA-f. ^r^^^y-hM|(/^-f-mg-h/iJe)/i-MJe.
En verlu de ces égalités et des égalités (72), les égalités (71) deviennent
(,00) JA-+-|jr^^3^y+MJ(/#4-m =
[ JA+^r^^S^iii^.TVMJ(/^^
Ces égalités (100) ne diffèrent des égalités (73) que par la substitution de A -h %— -^f-^ à A; donc les conclusions que nous en
tirerons différeront seulement par cette substitution de celles que nous avons développées à la fin du paragraphe précédent.
Un milieu vitreux , dénué de viscosité, mauvais conducteur, très peu écarté de l'état initial et animé de mowements très petits peut propager deux sortes d'ondes qui sont du second ordre par rapport aux composantes ^, Y), Ç rfa déplacement et du premier ordre par rapport aux composantes M, ç', w de la vitesse.
Les premières, qui sont du premier ordre pour la densité et la tempéra-
82 p. DUHEM. — RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ.
turc, propagent une perturbation longitudinale avec une vitesse
(loi) X
■ A-^rm'-'"
Les secondes y qui sont d'ordre supérieur au premier pour la densité et la température, propagent une perturbation transversale avec la vitesse
KECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. 83
