CHAPITRE I

DES CONDITIONS SUFFISANTES POUR LA STABILITÉ INITIALE D'UN MIUEU ÉLASTIQUE.

I. — Sur les conditions suffisantes pour la stabilité initiale d'un milieu quelconque.

Vétat initial du milieu que nous nous proposons d'étudier est un état où ce milieu, soumis uniquement à une pression extérieure normale et uniforme Ho, et porté en tous ses points à une même température To, se trouve en équilibre; il est alors homogène et sa densité est po. S'il est, en outre, isotrope, nous avons affaire à un milieu vitreux; sinon, nous avons affaire à un milieu cristallisé.

Supposons que ce milieu ait subi, par rapport à l'état initial que nous venons de définir, une très petite déformation; le point matériel qui, dans l'état initial, avait pour coordonnées a, A, c, a maintenant pour coordonnées a -1-5, A4- rj, c-hî^, $, y], Ç étant des quantités infiniment petites. La déformation en chaque point est définie par les six grandeurs

[^^^Tc-^w y^=d^^d-c' y»~-^-

dù'^ âa

84 p. DUHEM.

Supposons, en même temps, que la température Taux divers points du milieu diffère très peu de To.

Le milieu admettra un potentiel interne § qui pourra s'écrire

(2) ,i=J^{T,Ei, e„ £s, yi, 7„ yi)dm

PoO(T,Ê„£„£„ y„7„ y^)dadbdc.

-fih

Nous devrons, d'ailleurs, dans le développement de la fonclion $, nous arrêter aux quantités infiniment petites du second ordre par rapporta (ï— To) età e,, e^, £3, y», Y2» Ta-

Les égalités (45). (61) et (62) de la première Partie de nos Recherches sur r Élasticité donnent, en tout point du milieu,

r-^^-p^d^' ^^^-p^dT.' N^==-p«5i;'

Cherchons quelle est la pression n qui, à la température T, maintiendrait le milieu en équilibre sous la densité po, et désignons par — pofiCpo» T) cette pression. Nous devrions avoir, pour

£,=£, = £, = yj = y, =z yj = o, ^, ô^ d^ d^

~'àyi " dyl'^ây'i'

Nous voyons alors que $ peut s'écrire

(4) *=i9o(Po, T)4-9i(po, T)(£i-h£,-+-£3)4-?,(po, To,£„ £„ £„ yi, y„y,),

Si le milieu est limité par une surface dont les divers points sont immobiles et si ses diverses masses élémentaires sont soustraites à l'action de toute force extérieure, le système admet un potentiel total qui se confond avec le potentiel interne (2). Si, au contraire, la surface qui limite le milieu est totalement ou partiellement déformable,

et si la partie déformable de cette surface est soumise à la pression normale, uniforme et constante Hq, le potentiel total s'obtiendra en ajoutant au potentiel interne §, donné par l'égalité (2), le produitIloV de la pression IIq par le volume total V du système.

Supposons, en particulier, que la température du milieu soit maintenue constamment égale à la température initiale To- Si la surface limite est maintenue immobile, le potentiel total a pour valeur, selon les égalités (2) et (4),

(5) Û =fffpo[9o{po, To) + (pi(po, To)(£j -*-£,+ £,)

Si la surface limite est totalement ou partiellement déformable et si la portion déformable supporte la pression normale, uniforme et constante Ho, le potentiel total a pour expression

(6) ft = noV+jyy'po[?o(po,To)+?»(po,To)(£i + £,-*-£,)

-H9i(po, To, £„ £„ £3, Vi, ytf yz)]dadbdc.

La pression Ho est, d'ailleurs, liée à la densité p^ et à la température To par la relation

(7) no=r-po9,(po,To).

L'étude de l'élasticité se limite à celle des milieux doués des propriétés que nous allons définir :

Si l'on maintient invariable la température initiale du système; si l'on maintient immobile toute la surface qui limite le milieu ou seulement une partie de cette surface; si enfin ^ la partie déformable de cette surface, lorsquelle existe^ supporte une pression normale et uniforme constamment égale à la pression initiale ;

L'état initial du milieu est toujours un état d'équilibre stable.

La recherche des conditions qui sont nécessaires et suffisantes pour qu'une telle stabilité soit assurée se présente comme un des problèmes essentiels en la théorie de l'élasticité. Elle définit avec précision les propriétés physiques des milieux qui sont l'objet de cette théorie. i »

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Le critérium bien connu de Lagrange et de Lejeune-Dirichlet nous indique dans quelle voie se peuvent découvrir les conditions suffisantes :

Pour que la stabilité requise soit assurée^ il suffit que Vétat initial fasse prendre au potentiel total une valeur minimum parmi toutes celles qui sont compatibles avec les restrictions prescrites.

On voit alors qu'il est nécessaire, en premier lieu, de donner les relations qui expriment ces restrictions.

Ces relations sont bien aisées à écrire en tout point de la surface limite que Ton suppose immobile ; elles se réduisent à

Le problème de minimum ainsi posé présente des difficultés qui paraissent insurmontables.

Il existe toutefois un cas particulier où la solution de ce problème devient très aisée ; c'est celui où Vétat initial du milieu est l'état d'équilibre pris ^ à la température T©, sous une pression H^ égale à o. Un tel état d'équilibre est concevable pour les solides et les liquides; il ne l'est point pour les gaz, qui sont ainsi exclus de notre étude; mais cette exclusion n'offre aucun inconvénient, car, pour les fluides, le problème qui nous occupe a été résolu d'une manière complète.

La fonction qui doit être minimum dans l'état initial, moyennant les conditions prescrites, est alors la fonction d donnée par l'égalité (5).

Pour que cette fonction soit minimum dans un état initial où le système est soumis à une pression nulle^ il faut et il suffit que la forme quadratique

?i(po> To, e„ t%y £„ y,, /ty yj) en

fii» €t, £„ yi, yi, y»

soit une forme définie positive, toutes tes fois que p©, To vérifient la relation

(9) ?,(po,To) = o.

Comme la suffisance de cette condition est évidente» nous allons prouver seulement qu'elle est nécessaire.

Les égalités (5) et (9) permettent d'écrire

(10) Q= fffpo9o{Po. T,)dadbdc

+ J J /po?î(Po, To,Ê|, £1, Ê3, yi, yi, yz)dadbdc.

Au second membre, le premier terme demeure invariable en tout déplacement virtuel imposé au système ; le second, nul en l'état initial, doit être positif en tout autre état voisin.

A partir de l'état initial, nous pouvons donner au milieu un déplacement infiniment petit défini par les formules

1^ =z:ûr,ia4-ait6-f-aisC, Y) =z «„ a H- a„ 6 + a„ c, Ç =ia,ia -H «316 -i- «31 c,

OÙ les a/y sont neuf constantes arbitraires. Nous aurons alors

(Êi=aii, £,=«„, £,=a,„

( yi = «sî + «„, y, = «13 -+- «31, y3 = «n h- «u

et il est clair que Ton peut disposer des neuf arbitraires aij de telle sorte que les six quantités e,, e^, e^, y,, y^, yj prennent des valeurs, indépendantes de a, 6, c, choisies comme l'on voudra. Si nous désignons alors par

M= r r Cp.dadbdc

la masse totale du milieu considéré, au second membre de l'égalité (10), le second terme deviendra

M?j(po, To, £|, £„ €3, yi, yt, y3).

Pour que ce terme soit positif en tout état voisin de l'état initial, il faut et il suffit que l'inégalité

(*3) ?t(po> To, €„ €if «3, yi, yi, ys) > o

'88 l>. DUHEM.

soit vérifiée pour tout ensemble de valeurs non nulles de

Êi, £î, ci, yi, yi, y,

et pour tout couple de valeurs de po»To qui vérifie l'égalité (9).

En vertu du théorème d'Euler sur les fonctions homogènes, l'inégalité (i3) peut encore s'écrire, en tenant compte de l'égalité (4)»

Dans cette inégalité (i4)» (2) représente un carré symbolique où Ton doit faire

\dei) ■"" de} ' \dei dst) ~ dsiâti^ tandis que

LMnégalité (i3), ou l'inégalité (r4)» écrite pour tout couple de valeurs de po, T© qui vérifie l'égalité (9), nous assure que l'état initial du système est stable dans les conditions prescrites, si cet état initial est l'état d'équilibre que prend le milieu porté à la température T© et soumis à une pression nulle.

Supposons maintenant yae l' inégalité (iS)^ ou l* inégalité (i^), soit vraie pour tout couple de valeurs de pot To. Pourrons-nous affirmer que, l'état initial du milieu étant l'état d'équilibre pris à une température quelconque T^ et sous une pression quelconque Ho» cet état demeure stable dans les conditions prescrites?

Nous pourrons affirmer que la quantité Cl donnée par l'égalité (5) est minimum dans l'état initial.

L'état initial sera donc sûrement un état d'équilibre stable si l'on maintient invariable la température et immobile la surface qui limite le milieu.

Mais il ne paraît pas que nous puissions rien affirmer touchant la quantité û donnée par l'égalité (6). Nous ne pouvons donc assurer la stabilité de l'état initial si une partie de la surface limite se déforme en restant soumise à une pression uniforme et constante qui diffère de o. '

II. — Sur les conditions suffisantes pour la stabilité initiale d'un milieu vitreux.

Les considérations précédentes s'appliquent, en particulier, aux milieux vitreux. Pour de tels milieux, on a {Recherches sur l'Élasticiié, 2^ Partie, égalités (6)]

(l5) po?,=: |A(po, To)(£,H-e,4-e,)«

H- {M(po, To) (2£; -f- 2e* -h 2£Î + yî + yj + yj ),

ce qui peut encore s'écrire

r,fi^ nœ - 3A(pe,T,)-t-2M(po/ro)

(10) Po?î — z Ui-T-St + ^3;

M(po, To)

[^(Ê2-£3)*-+-2(Ê3-s,)«+2(£j-eO'-i-3yÎ4-3yÎ4-3yî].

Le discriminant de 9^, considéré comme forme quadratique en e,, ^2» ^3* Yf» Y2» Ys» ^

On en tire, à la manière habituelle, les conditions nécessaires et suffisantes pour que Ça soit une forme définie positive et l'on trouve que ces conditions se réduisent à

3A(po, To)4-2M(po,To)>o, M(po,To)>o.

Ces deux inégalités équivalent ici à l'inégalité (i3), ou à l'inégalité (i4).

go P. DUHEM.

On en tire les deux inégalités

A(po,To)H-2M(po, To)>o,

^'^^ ( A(po,To)4- M(po,To)>o.

Ces inégalités (17) et (18) ont une grande importance dans une foule de questions d'élasticité statique. Si Ton désigne, en effet, par a le coefficient de compressibilité cubique du milieu et par E le coefficient d'élasticité de traction, on a (*)

''-3A(po, To)-^-2M(po, To)'

A(po.To)-f-M(po, Tq) "'■-M(po,ïo)[3A(po,To)-+-2M(po,To)]'

Ces deux coefficients sont donc positifs en vertu des inégalités (17) et (18).

Si le milieu est dénué de viscosité et bon conducteur de la chaleur, la vitesse de propagation des vibrations longitudinales est donnée par l'égalité [Recherches sur rélasticité, 2* Partie, égalité (76)]

(ao) ^^^/Mpo.T,)-^.M(p,.

To)

tandis que la vitesse de propagation des vibrations transversales est donnée par l'égalité [Ibid., égalité (80)]

(21) X.-^ ^ .,.vro. To)

../EpZ

V Po

Selon les inégalités (17) et (18), ces deux vitesses sont réelles. Rappelons que, pour un milieu fluide, la dernière des inégalités (17) est remplacée par l'égalité

(22) M(po,To) = o,

qui est alors vérifiée quels que soient p^ et T^^.

(/ ) Lamé, Leçons sur la théorie mathématique de l'élasticité des corps solides^ 2* édition, p. 75; i866.