DES CONDITIONS NÉCESSAIRES POUR LA STABILITÉ D'UN MILIEU ÉLASTIQUE

I. — Remarques diverses sur les petits mouveinents d'un milieu élastique.

Quelles que soient les valeurs, finies ou infiniment petites, fonctions de a, h, c, que l'on attribue à ^, y], X,, nous continuerons à désigner par e,, e,, e,, y». Y»» Y» '^^ ^'^ grandeurs quedéfinissent les égalités

Te'

tandis que nous désignerons par e,, e^, e,, g^, g^, g» les six composantes de la déformation proprement dite, composantes qu'expriment les égalités

''-Te dfi

an da

db de d^dl Oc da

did±

da db

^* ^^ "*" A^ "*" A^ Ah "*" ^î^ ^i/» "*" ^x, ^A

d6 de db de'

&ndri^ dÇ ^ de da de da^

d^ ^^^^, da db da db

Lorsquen tout point a, 6, c du milieu^ Ç, r), X, seront infiniment petits

AINSI QUE LEURS DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE EN a, 6, C, 7201/^ dironS

que ^, Y), X^sonty partout, infiniment petits.

92 p. DUHEM.

Lorsque Ç, y), ^ sont partout infiniment petits, on peut écrire

les signes +... désignant des quantités qui sont infiniment petites au moins du second ordre.

Quelles que soient les valeurs, finies ou infiniment petites, que Ton attribue à Ç, y), Î^, le potentiel interne du milieu déformé peut toujours se mettre sous la forme (2), à la condition d'écrire

(4M *= ?o(Po.T) + (p,(po,T) (£, + £,-+-£,)

-*- ?i(Po> T, £,, £„ £„ y„ y„ 73)4-...,

formule où le signe -h... remplace des termes qui sont infiniment petits au moins du troisième ordre, lorsque $, y], Ç, sont, partout, infiniment petits du premier ordre.

D'ailleurs, l'égalité

(7) no=-Po?i(po, T)

demeure toujours valable.

Lorsque Ç, y), ^ sont partout infiniment petits, les quantités N/, T, sont données par les égalités (3); si donc on tient compte des égalités (4 bis) et (7), et si l'on suppose T = Tq, on pourra écrire

N,= no-Po^'+.. , N,= n.-p,g£-K.., N.=z.no-pog^^..

les symboles -f-... désignant des termes qui sont infiniment petits au moins du second ordre lorsque Ç, y], ^ sont partout infiniment petits.

D'autre part, les actions de viscosité doivent dépendre d'une fonction dissipative qui sera, elle-même, dépendante de po, de To, et des six quantités que nous avons désignées (Recherches sur l'élasticité, i^ Partie, Chap. II, n^ 5) par A',, A!,, A3, T\, TU T,, La fonction dissipative doit d'ailleurs êlre une forme quadratique définie positive de

RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. g3

ces six dernières quantités. Mais, dans le cas où ^, y], ^ sont partout infiniment petits, on peut, comme nous l'avons déjà remarqué, (Recherches sur r Élasticité, 2® Partie, Chap. I, n® 2) confondre A^, A^,

a;, r;,r;,r;avec

en négligeant des infiniment petits du second ordre. La fonction dissipative pourra donc s'écrire

'*- dt'

'• dl

y' - -tS

/ / / p^Sdadbdc

avec

{^1) ^=/(po. To, £;, £;, £'„ y;, /„ /j -^- • .,

/ étant une forme quadratique définie positive en e',, e'^, e'j, y',, Ya» Yi et le symbole +... désignant un terme qui est infiniment petit au moins du troisième ordre lorsque 5, r), î^, 5', r)', C sont, partout, infiniment petits.

Dans ce dernier cas, on doit avoir

di dS dS

^'"'-P^^i;' '^=""P^dF;' ''=""P»5Iî' ^'=""P^d^' ''^=""P^^' ''^"""P'5^' Nous pourrons donc écrire, d'une manière générale,

df df df

\ àf df df

les signes +•.• désignant des. termes qui sont infiniment petits au D. i4

9^1 p. DUHEM.

moins du second ordre lorsque Ç, yj, ÎI, Ç', yj', C sont, partout, infiniment petits.

Les équations indéfinies du mouvement sont

^(Nx+v,)-.|(T.+ ..) + ^(T,+ r,) + pg=o.

Lorsque Ç, yj, Ç tendent vers o, les dérivées ^» ^» ^ tendent

vers i; les autres dérivées de .r, v, 5 par rapport à a, 6, c, tendent vers o; en même temps, p tend vers p©. Si Ton tient compte des égalités (23) et (28), et si l'on observe quell^ est indépendant de a, 6, c, on peut mettre les équations précédentes sous la forme

da \ ôt, "^ ôt\ J àù\ây, dy'J "^ âc\ày, "^ dy J dr- ^ ""^

Dans ces équations, les symboles +•. . représentent des quantités qui sont infiniment petites au moins du second ordre lorsque $, y], J^, ^', yj', ^' sont infiniment petits quels que soient a, 6, c.

Formons maintenant les conditions aux limites.

En tout point de la partie immobile de la surface qui limite le milieu, on doit avoir, quel que soit/, les égalités

Considérons maintenant un point matériel pris sur la partie déformable de la surface limite.

En l'état initial, cette surface était la surface S, le point matériel considéré y occupait la position [/.; la demi-normale en tx, à la sur-

face £, dirigée vers l'intérieur du milieu étudié, faisait avec les axes de coordonnées des angles ayant pour cosinus a, p, y.

En l'état déformé, la surface limite est la surface S; le point matériel considéré y occupe la position M ; la demi-normale en M, îi la surface S, dirigée vers l'intérieur du milieu, fait avec les axes de coordonnées des angles dont les cosinus sont /, /tz, n.

En tout point M de la surface S, et à tout instant /, nous devons avoir

(Nx-hv,-no)/-4-(T.-4-T-) m-4-(T^-l"Tjr) /i = o,

(T3-4-T.) /-h(N^.-+-Vj.— no)m-h(T;,-+-T^) /ir=o,

(Tv-h -y) /-H (T;,-+- T;^) m -4- (N.H- V.— no)« = o.

Dans le cas où ^, y], ^ sont partout infîniment petits, la distance M ^ est infîniment petite; il en est de même des différences (ol — 1), — m), (y — n). Si l'on tient compte des égalités (23) et (28), on voit que l'on peut, quel que soit le mouvement du milieu, énoncer la proposition suivante :

En tout point [x, pris sur la position initiale £ de la partie déformable de la surface limite, on a, quel que soit /,

Dans ces formules, les signes -+-•.. représentent des termes qui sont infiniment petits au moins du second ordre lorsque ^, yj, 2^, ^', Y]', C sont, partout, infiniment petits.

Si le milieu est un milieu vitreux, Ça est donné par l'égalité (î5); / est donné par l'égalité analogue

-^ f^^£îi^(2£;«-+- 2£;* + 26;»-+- y;»-h /,»+ /,').

Les égalités (25) deviennent

i Ny = n,-A(po,T.)(£,4-£.+ £,)-QM(p„T,)£, + ...,

I Ns--= Ho- A(po,To)(e, + £,+ £,) -2M(po,T,)e, -+-.... ^ ' jT. = -M(p.,T,)y. + ...,

I Ty = -M(p„T,)y, -+-..., 1 T,=-M(p„T,)y, + ...,

tandis que les égalités (28) prennent la forme

vx=- X(p„T,-) (£', + £;•+£;■)- 2/*(p..T,)£; +. . ., v^=- ).(p,. T.) (£',+ £;-!-£;)- 3ft(p„ T,)£', +...,

v. = ->.(p«,To)(e;-+-e;+£;)-a/*(p„To)£;-l-...,

T,= — /l(po,To)/, -+-...,