I -j=— /*(po.To
1 Ts= — fx(p«,T,)y',-H....
Les équations (29) deviennent
,^ , d* fdi df) di:\ à . d'n
^^^i'^àbdi\ta^Tb^Tc)-^ni^''-^''-d^-^--- = ''^
,, , d' /c)ç (h) dK\ d .^ d'K
^^^''^d^t[da-^db^Tc)-^^dt^^-^''dF-'
tandis que les équations (3o) prennent la forme
[X (£; -h £; + £'3) -+. 2fx £;]« -+.fx /,p -4-fx y;y H-. . .=0,
Mysa-H [A(£i -h£, -+-£3) -H2M£, ]P -+-Myiy • f^ y 3 « -+- [ ^ ( £ I -+- Ê i -i- e 3 ) -+- 2 fx £ ; ] (3 -+- fx y ; y 4- . . . = o ,
My, a + Myi ^ -h [ A(£, 4- £, 4- £3 ) -^ aMfj ] y
■ f* yi a -^ F /i ? ■+- [^ (£', 4- £; -h £', ) 4- 2fx £;]y -h . . ~ o.
Dans ces équations (32), (33), (34) et (35), les signes 4- . . . désignent des quantités qui sont infiniment petites au moins du second ordre lorsque $, y], Ç, $', yj', s' sont, partout, infiniment petits.
II. — D'une condition nécessaire pour la stabilité initiale d'un milieu quelconque, cristallisé ou vitreux (*).
Nous allons, en premier lieu, démontrer la proposition suivante : Si, en un milieu cristallisé, la fonction
?i(Po»To,ei,£j,£3,yi,yj, yj)
est une forme définie négative en e^, £3, £,, y,, Y2» Ta» l'état initial du milieu ne saurait demeurer stable lorsque les diverses parties de la surface terminale sont maintenues immobiles.
Supposons, en effet, que l'état initial du milieu soit stable.
Aux valeurs absolues initiales de Ç, y], ^ et de leurs dérivées partielles du premier ordre en a, b, c, de $', yj', C nous pouvons imposer des limites supérieures telles que les quantités
«1. «ï> ^3> g\^ giy gif
demeurent toutes inférieures en valeur absolue à des limites données d'avance, et cela quel que soit /.
Donc, si l'état initial du milieu était un état d'équilibre stable, on pourrait limiter supérieurement les valeurs absolues initiales de $, y], î^, et de leurs dérivées partielles du premier ordre en a, i, c, de ^', y]'.
( * ) Considérations sur la stabilité et, particulièrement, sur la stabilité des corps élastiques {Procès-verbaux des séances de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, séance du 9 juillet igoS). — D'une condition nécessaire pour la stabilité initiale d'un milieu élastique quelconque (Comptes rendus, t. CXXXVIII, séance du 29 février 1904, p. 54 1).
98 p. DUHEM.
Z! de telle sorte que la quantité
(36) ^ —""/YY'^^P'' ""'"' ^*' ^*' ^»' ^*' ^"' gz)dadb de
-^^f f f{l'^'¥n'^'\'V^)dadbdc
demeure, quel que soit /, inférieure à une grandeur positive Adonnée d'avance.
Les égalités (24) permettent d'écrire
(3;) U z= - r / /?«(Po> To, £|, «r «1, yi» /«• 73) ^« c/6û?C
-^^fffd'^-h-nf-'-hli'ndadbdc^...,
+ ... désignant une quantité qui est infiniment petite, au moins du troisième ordre, lorsque $, tq, ÎI sont, partout, infiniment petits. De l'égalité (37) on tire
''" § =-///fê''- 5?''.- 1 '■•- ^''- W/-^ ll'O ""**
■^fff(^'^"+ ri'-n'-hK'<:")dadbdc+. ..,
■+■... désignant encore un terme qui est infiniment petit, au moins du troisième ordre, lorsque l, y;, ^, ^', yf, C sont, partout, infiniment petits.
Mais les égalités (29) donnent
f f fa' V-i- fi' rt' -h K'K')dadb de ~J J J \ lda\dB, "*" dt\ J'^db \dy, • dy'J "^ de \dy, "^ dy', )] ^
RECHERCHES SLR l'éLASTICITÉ. 99
+ . . . désignant des termes qui sont infiniment petits au moins du troisième ordre lorsque $, tq, Ç, i', y)', Xj sont partout infiniment petits. Cette égalité, à son tour, peut s'écrire
Mais tout point de la surface £ est un point immobile, cas auquel, en ce point, on a, quel que soit /, les égalités (8), qui entraînent les égalités
{S bis) l'=o, r/z3 0, r=io;
l'intégrale par laquelle débute le second membre de l'égalité précédente porte sur une quantité nulle. Au même second membre, on peut, en vertu du théorème d'Euler sur les fonctions homogènes, remplacer la somme
par 2/; l'égalité précédente se réduit donc à r rA?'f -h n'r/ + Ç'Ç") da db de
~ j J J U«. ' àt, '« ^ ,»e, '' ^ dy, y> ^ dy, ''' ^ (^y, ^^ j '''' ''^ ''" — a/ / i fdadbdc-^....
100 p. DUHEM.
et l'égalité (38) peut s'écrire
— 2/ / ifdadbdc-\-
De cette égalité (Sg) une nouvelle différentiation par rapport à / tire Tégalité
<»»' ^ --nm/'*t'-- g''.- ^'■.- ^'■.- ^'r'.)'""-"
où (q) représente un carré symbolique.
Or on a
= ?i(Po, To, e;, e;, e;, y;, /,, yi).
D'autre part on a
J J J\ lda\dE,^ dB\ J^db \dy, ^ dy'J ^ de \dy^ ^ dyj] ^
RECHERCHES SUR L'ÉLASTïCrTÉ. lOI
Au second membre de cette égalité, la première intégrale porte sur une quantité nulle. En effet, l'élément rfS est immobile et Ton a alors, quel que soit /, les égalités (8 bis), qui entraînent les égalités
(S ter) l' = o, n'^zo, Ç'=o.
Quant à la seconde intégrale, on peut la transformer au moyen des égalités (29).
Tout compte fait, Tégalité ("io) peut s'écrire
làa \dy, ■*■ ây, ) "^ db \àe, '^dTj^dc \ày, "^ dy'J J
Le signe -h. . . continue à désigner des termes qui sont infiniment petits au moins du troisième ordre lorsque $, y], C $', yj', ^' sont, partout, infiniment petits.
Le terme explicitement écrit en l'expression (4i) de -^ peut-il
s'annuler? Si l'on tient compte de l'hypothèse faite au sujet de <p, on voit que, pour que ce terme s'annule, il faut et il suffît que l'on ait
<Pî(po, To, £'1, ei, £i, y;, yi, yi ) = o, à fô^^ da \dix
(42) {±(0^ da \dy^
à (à^x âa\àyj
La première des égalités (^2) exige que l'on ait, quels que soient a, 6, c,
(43) £i=o, £;=o, £;=o, y;=o, y;=o, yl = o,
à (d(ft db \dy^
à fd<3t dc\dyt
-^ày'J-
ày'J^
d fdft db\âB,
de \dy,
-^Oy'J-
ày'J ^
à /0<f, àb \dy,
d (df, dc\dt3
102 P. DUUEM.
en sorte que les trois dernières deviennent
âa ôei ôb ôy^ ' ôc dy.
da dyi db de, de dy^
d d<^i d d(p, ^ d dot ôa dyt db dy^ de di^
Les égalités (^i4) entraînent Tégalité
J J J l \àa di, "^ db dy^ '^ d'c dyj^ f d d^. d d^^ d d<Pi\ \da d'/i db ôz^ de dy^J
\da dy^ db dyx de de, / J ~~
qui devient, en vertu des égalités (i)«
Au premier membre de cette égalité (V^), la seconde intégrale s'annule, car ^, y], X, sont nuls en tout point de la surface £. Si l'on tient compte, en outre, du théorème d*Ëuler sur les fonctions homogènes, cette égalité devient
La fonction 9^ ne pouvant être négative, elle exige que Ton ait» quels que soient a, 6, c,
?ï(po, To, «1, 6„ e„ yi, y„ ya ) = o
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. lo3
OU bien, puisque ^p^ est une forme définie positive en £,, £3» ^3» ïm Y2» Ta»
(46) £1 = 0, £, — 0, £3 — 0, yr-o, 75 — 0, 7,-0.
Les égalités (43) et (46) sont donc les conditions nécessaires et suffisantes pour que le terme explicitement écrit, en l'expression (4i).
de -j^ soit égal a zéro.
Les égalités (46) équivalent aux égalités
/ I =z Xj -h WjC — Ws hy
. ( Ç =X3-4- 0)16 — Wja,
tandis que les égalités (43) équivalent aux égalités
(48) j yî'=rX;-hw;a — w'ic
f ç'=rx;-h',);6-«;c,
^l> ^If ^J» <*>!, Ci)j, Wj,
\ Aj, A,, A3, 0),, 0)j, Wj,
étant douze quantités indépendantes de a, 6, c. Mais les quantités ^, Y), C données par les égalités (4?)» doivent, selon les conditions (8), s'annuler en tout point de la surface S; selon les conditions (8 6/>), il en doit être de même des quantités $', y]', C données par les égalités (48); pour cela, il faut et il suffit que les douze constantes (49) soient égales à o, ce qui nous donne, quels que soient a, 6, c,
Tellessontles conditions nécessairesetsuffisantes pour que s'annule
ri- f T
la quantité explicitement écrite en l'expression (4i) de
Les termes explicitement écrits en l'expression ('ii) de -jrr sont donc infiniment petits du second ordre lorsque Ç, yj, u, $', r\\ C sont.
partout, infiniment petits du premier ordre; leur somme ne s'annule que lorsque les six quantités $, y], ^ l\ y]', ^ sont nulles quels que soient a, b, c\ hors ce cas, cette somme est essentiellement positive.
Les termes non explicitement écrits sont infiniment petits du troisième ordre lorsque i, y), C $', r\\ *Q sont, partout, infiniment petits.
On peut donc limiter supérieurement les valeurs absolues de $, y], X,, de leurs dérivées partielles du premier ordre en a, 6, c et de \\ yj', C
de telle sorte que -^^ soit sûrement positif; pour qu'il en soit ainsi
quel que soit /, il suffira, si le système est stable, d'imposer des limites supérieures suffisamment petites aux valeurs absolues initiales
de i. Y], j;, l\ r/, l\
Considérons maintenant la valeur initiale de -i-> valeur qui se tire
de l'égalité (39).
Lorsque ^, yj, ^, $', yj', Ç' sont partout infiniment petits, les termes explicitement écrits sont, en général, infiniment petits du second ordre, tandis que les termes représentés par +... sont infiniment petits du troisième ordre au moins.
Supposons les valeurs initiales ÇJ^, y]J,, XJ^, de $', y]', C liées aux valeurs initiales ^0» ^Qo» ^0» de ^, y], Ç par les relations
4;-K^'c:o, r,;--=K«rîo, Ci^K^U
où K^ est une quantité positive indépendante de a, 6, c. Le premier terme de (-77) deviendra évidemment
- "•///(§'■- S'- s- ^ '- ^'- 5?r'») -""" OU, selon le théorème d'Euler,
quantité essentiellement positive si Ton n'a pas
fi|0=O ÊJ0==O> «80— O» yi0 = O, yio=0, 730=0.
RECHERCHES SUR l'ÊUSTICITÉ. Io5
Le second terme de (-^) deviendra
On pourra donc choisir K^ assez petit pour que la somme des deux
premiers termes de f-^- j ait un rapport aussi voisin de i que l'on
voudra au premier de ces termes.
On pourra ensuite choisir Ç^» ^o» ^o et leurs dérivées partielles du premier ordre en a, ft, c, assez petits en tout point (a, 6, c) pour que l'ensemble des termes non explicitement écrits ait une valeur aussi petite que Ton voudra par rapport à la somme des deux termes explicitement écrits et, partant, par rapport au premier de ces termes.
Alors ( -7-) aura le signe de ce premier terme, qui est le signe +.
Si donc notre système était en équilibre stable, on pourrait choisir les valeurs prises, en tout point (a, 6, c), par ^^\ y]^, Î^^» de telle sorte que les trois conditions suivantes soient remplies :
I® U ne surpassera jamais une certaine valeur positive donnée d'avance A;
2** ( -^ ) est positif;
3** -v-^ demeurera positif quel que soit /.
Or les deux dernières conditions exigent que U croisse au delà de toute limite avec /; ellescontredisentdonck la première, en sorte qu'il est absurde d'attribuer la stabilité à notre sytème.
La proposition énoncée est ainsi établie.
On remarquera que la démonstration de celte proposition n'implique aucune hypothèse touchant les actions de viscosité ; ces actions pourraient être présentes ou absentes, elles pourraient aussi bien tendre à favoriser lemouvement qu^à V empêcher, sans que laproposition cessât d'être exax:te.
Il est intéressant d'indiquer la forme que prend cette proposition pour un milieu vitreux; cette forme est la suivante :
Si, en un milieu vitreux, on a à la fois les deux inégalités
lofi p. nUHRM.
l'état d'équilibre initial de ce milieu ne peut demeurer stable lorsqu'on suppose fixés les divers points delà surface qui le limite. Cette proposition demeure vraie que le milieu soit exempt de viscosité ou qu'il en soit doué, que cette viscosité tende à gêner ou a favoriser le mouvement.
III. — Établissement de diverses formules qui serviront à disenter la stabilité initiale d*nn milieu vitreux (').
C'est à la considération des seuls milieux vitreux que notre analyse va maintenant s'attacher.
Nous supposerons ces milieux illimités; nous supposerons en outre que/ef régions infiniment éloignées sont maintenues immobiles ; ^U d'une manière précise, voici ce que nous entendrons par là :
Soit rla distance d'un point (a, é, c) à l'origine des coordonnées; nous admettrons que, lorsque r croit au delà de toute limite, les fonctions
?, r^ Ç, r, ri\ K\ 1% fl\ r
tendent vers o à la façon de fonctions potentielles; c'est-à-dire que ces fonctions tendent vers o; qu'il en est de même des produits par r de leurs dérivées partielles du premier ordre en a, 6, c\ des produits par r* de leurs dérivées partielles du second ordre en a, 6, c.
Que ^, Y], ^ soient finis ou infiniment petits, nous poserons, en toutes circonstances.
~ da
db
de
" àb
-Te'
~ de
-Ta'
Wj
~ ùa
db
[^ 1 ) Sttr quelques formules utiles pour dUcuter l/i stabilité d'un milieu vitreux ( Comptes rendus, l. CXXXVIII, p. 737, séance du 21 mars 1904).
RECHERCHES SUR l' ÉLASTICITÉ. TC>7
Si $, Y], î^, $', Y]', C sont infiniment petits, il résulte des égalités (34) que nous aurons, en tout point (a, 6, c) et à tout instant /,
(53) (A-+-2M)A9 4-(X-+.2fx)^^A0-po^-+-... = o
et aussi
M Aw,-h fX — Aw,- po-T— -4- . . . =: o.
(d4) < MAwi-hfx^Aw,— po-^ -h... = o,
MAwj-hfx^-Aw,-po-^H-...=:o.
Dans ces équations, comme dans les équations (3\) dont elles découlent, les symboles +... remplacent des termes qui sont infiniment petits au moins du second ordre lorsque $, y], ^, Ç', y]', C sont, partout, infiniment petits du premier ordre.
Ces préliminaires posés, considérons l'expression
(55) W=:{\-h2M) C C f(\eydadbdc,
OÙ nous supposerons tout d'abord Tintégrale étendue au volume que limite une surface Z dont tous les points sont à une distance finie du point 0; nous pourrons ensuite faire croître au delà de toute limite tous les rayons vecteurs de cette surface sans que l'intégrale cesse d'avoir un sens.
De l'égalité (55), nous tirerons
(56) '•^z^'2{\^2M)fl6A9'dxs, puis
(57) —- = 2(A-\-2M)l (A0')«û?Gj-h2(A-h2M) / AflAeVro.
Dans ces égalités on a posé, pour simplifier les formules, dadbdc = dxs, ^ = ô', ^ = 0*.
ut Ot
loH p. DUHEM.
L'égalité (53) donne
Po Po
en sorte que l'égalité (57) devient
po J po J
Cette égalité, à son tour, peut s'écrire
(58) ^=:2(A'h2M) ^{^e')*du5
J \ àa^ âa db db de de )
Po J an,
Po J àrti -H
Dans cette égalité, /i; est la normale à l'élément rfS, dirigée vers l'intérieur du volume occupé par le milieu.
Si l'on fait croître au delà de toute limite tous les rayons vecteurs de la surface S, l'égalité (58) devient
(59) ^=.2i\-^2M)f{M'ydm
a(A4-2M)(X-t-2fjL) r/ ôùi6d^Q' d^d^ dMdl6' \^^ Po J \ da da db db de de ) -t-
Dans les égalités (/)8) et (Sg), le symbole -h... remplace des termes qui sont infiniment petits au moins du troisième ordre lorsque Ç, rj, î^, ^', Y]', Xj sont, partout, infiniment petits.
RECHKRCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. 1 09
Considérons maintenant l'expression
Nous aurons ce que l'égalité (53) permet d'écrire
+ ,(). + .^ )j [-- -- +__- + -^j rf^
le signe h-. . . désignant des termes qui sont infiniment petits du troisième ordre lorsque Ç, y], t, ^\ y]', X,' sont, partout, infiniment petits. D'ailleurs, l'égalité (Gi) p«»ut encore s'écrire
(62) ^ =-- 2{A-^ 'iM) f M Iff du5 -- 2(l-h 2ix) f [AO' )' fiw
Si l'on fait croître au delà de toute limite tous les rayons vecteurs de la surface S, cette formule se réduit à
(63) ^— -2(A-haM) rAeA6'c^cT-2(X-i-2^) r(A^')*t/TiH-.... Revenons à la formule générale (6i); elle donne
-^.(A^2M)j(^— -^ ^ — —^ — -ytr.
X r(à^' à^ô' 00' â^S' âO' dàO"\ ,
(ta
MO P. nUHFJI.
L'égalité (53) transforme cette dernière égalité en
Cette égalité, à son tour, peut s'écrire (fi',) ^ rr.- a(A + 2M)f\ie'ydrs— 2( A + ^}li)f^e' j^^2
2(À-(--ju) /•, r,, „ dA9 ,^ .dAÔ'IdAe'
l/A «x'^^^ /■> ,<JA6'|*?Ae'j ,
, 3(), + 2fx) /"i r,. „,(>A9 ,^ .(>A0'| <? «^e'
r, , .,,c)A5 ,- ^d\B'-\ d de'
f/A M t^'^''' /■> .«^A^'l à àO'i^
a(XH-2/Ji) A d6' à [,. ^,àl6 ,^ .<>A9n
Si l'on fait croître au delà de toute limite tous les rayons vecteurs de la surface S, cette formule se simplifie et devient
(65) '^--=-2(A+aM) /(AO')'t/nj
-H[(A + aM)-^ + (/.-Ha^)-^J
+ [^(A + aM)-^4-a + 2M)-^J j^
+ |^(A + aM)-^ + (XH-2^)-j^J
016' ôb
f/A w.<^^^ /^ ôie'\oi6' i ,
L^ ' Oc ^ ^^ Oc I c>c- t
Dans les égalités (G/|) et (65), le signe h- . . . représente des termes
qui sont infiniment petits du troisième ordre lorsque $, r^, ^, $', y]', sont, partout, infiniment petits.
Considérons maintenant l'expression, analogue k l'expression (55),
(66) P = Mrrr[(Aaij»-i-(Aw,)«-h(Aca),)*]c^ac/^^c-,
que, par abréviation, nous écrirons
(67) PiziiM^ Aao))*^©,
Do cette égalité (G7) nous tirerons ( r>8 ) ^ --„ a m2 Taw Ag/ dfa.
Raisonnant ensuite comme nous l'avons fait pour tirer l'égalité (Sp) de l'égalité (56), mais en substituant dans nos déductions les égalités (54) à l'égalité (53), nous trouverons que l'on a, pour un milieu indéfini,
2 M jjL ^ r/d loi ô Aw' d Afi) d Aw' ô Aw d Ao)'\ ^,
Dans cette égalité, le signe -h... désigne des termes qui sont infiniment petits au moins du troisième ordre lorsque Ç, y], X, sont, partout, infiniment petits.
Considérons enfin l'expression, analogue à l'expression (60),
Raisonnons comme nous l'avons fait pour tirer l'égalité (63) de l'égalité (60), mais en faisant usage des égalités (54) au lieu de l'égalité (53); nous trouverons que l'on a, pour un milieu indéfini,
(7,) ^rr-.— cîMV rAwAw'^cj-ajUL^ r(Aw')*^nJ,
-4-... désignant encore des termes infiniment petits du troisième ordre lorsque Ç, y], ^, \\ y)', XJ sont, partout, infiniment petits. En raisonnant comme nous l'avons fait pour obtenir la formule (65),
RECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. 1i3
nous trouverons que l'on a, pour un milieu indéfini.
72) ^=^2M^J{àc.'ydus
/„dAw dAw'\<JA«n ,
-h... désignant toujours des termes infiniment petits au moins du troisième ordre lorsque $, y], ^, Ç', tj', C sont infiniment petits
Ces diverses formules vont nous permettre d'établir plusieurs propositions touchant la stabilité des milieux vitreux.
IT. — D'une autre condition nécessaire pour la stabilité d'un milieu vitreux illimité (M-
La première proposition que nous démontrerons est la suivante :
Considérons un milieu vitreux indéfini dont les régions infiniment éloignées sont maintenues immobiles. L'état initial de ce milieu ne pourrait sûrement pas être un état d^ équilibre stable si Von aidait à la /ois les
( * ) Considérations sur la stabilité et, particulièrement, sur ta stabilité des corps élastiques ( Procès-verbawr dex séances de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, Séance du aS juin i<jo3). — D'une condition nécessaire pour la stabilité d'un milieu vitreux iUimité {Comptes rendus, t. CXXXVUI, p. 54 1, séance du 29 février 1904).
deux inégalités
Cette proposition est vraie que le milieu soit dénué de viscosité ou doué de viscosité; elle demeurerait vraie si les actions de viscosité étaient des puissances actives au lieu d'être des résista/wes passives.
Cette proposition nous donne des renseignements plus complets que la proposition démontrée pour les milieux vitreux à la fin du paragraphe il. En effet, si les inégalités (52) entraînent les inégalités (73), les inégalités (73), au contraire, pourraient fort bien être vérifiées sans que (3 A -H 2M) fût négatif. Il est vrai que la proposition démontrée à la fin du paragraphe 11 s'applique à un milieu limité par une surface immobile quelconque, tandis que celle-ci suppose le milieu illimité en tout sens.
Pour démontrer cette proposition, considérons la fonction
En vertu des égalités (55), (60), (66) et (70), et des inégalités ( 73), cette grandeur ne pourra jamais être négative. Si l'on impose aux valeurs absolues de 6, 6', (o,, (o^, (o,, o)'^, o)'^, (o^, des limites supérieures convenables, Usera sûrement inférieur a une quantité positive quelconque A, donnée d'avance. Si donc l'état initial du système était stable, on pourrait sûrement aux valeurs absolues initiales de \, Y], ^, \\ Y]', Xj imposer des limites supérieures telles que U n'atteigne la valeur A pour aucune valeur de t.
Les égalités (56), (63), (68), (71) et (74) permettent d'écrire
(75) ^=-4(A-+-2M) rAÔAô'c^iij-4MV] rAwAw'^e
-a(i-h 2fx) r(AÔ')»c^G7-2fx 2 A^w')*rf© -H ,
-h. . . désignant des quantités qui sont infiniment petites au moins du troisième ordre lorsque ^, y], ^, ^', y]', C sont, partout, infiniment petits.
RECHERCHKS SUR i/kIASTICITÉ. I|5
Les égalités (Sg), (65 ), (69), (72) ot (74) donnent, à leur tour,
(76) ^r^-4(A-f-aM)y(A9')'rf'n
Le signe + . . . désigne toujours des infiniment petits d*ordre supérieur par rapport à Ç, y), Î^, $', y)', C-
Peut-il arriver que le terme explicitement écrit au second membre de l'égalité (76) soit nul? Pour cela, en vertu des inégalités (73), il faut et il suffît que Ton ait, quels que soient a, b, c :
(78) {^^'^''^^'àb ■^(^-^^^)-^=^'
(79) Aw'i = o, Awi = o, Aw', = 0, / - . d Aw, d Aw/
(80) \ àb '^ db ' -, d Aw/ <? AwJ
n6 p. DITHRM.
En vertu de l'égalité (77) et de la première inégalité (73), les égalités (78) deviennent
duo à^e dàe
T«-=^' -JT"^^' -5r=^
et, comme Aô est nul à Tiniini,
(81) IOttzO.
De même, en vertu des égalités (79) et de la seconde inégalité (73), les égalités (80) deviennent
-j^r^^' -àir'^-''^ -dc~=^
et, comme Aco,- est nul a Tinfini,
(82) AûJ, =0, Aw,=:0, AûJj^O.
Les quantités
6, ûj,, w„ fi),,
doivent, dans tout l'espace, vérifier les équations (81), (82), (77) et (79); elles doivent, en outre, s'annuler à l'infini; cela exige que l'on ait, dans tout l'espace,
(83) 0)1 -=: O, Wj =r O, Wp = O,
(85) &)[ =0, aiji=:o, &/, =10,
(86) Ô'zr:0.
Les égalités (83) et (85), jointes aux trois dernières égalités ( j2), montrent qu'il existe deux fonctions F(a, A, c), F'(a, ^, c), finies continues et uniformes dans tout l'espace, telles que Ton ait
«)F dV „ dF
^-~-dâ' ^-~1B' ^-~'dF'
RECUERCHES SUR L ÉLASTICITÉ. I I 7
Les égalités (84), (86), (87), jointes à la première égalité (55), exigent que Ton ait, dans tout l'espace,
AF-o, AF' = o.
F et F' sont donc de simples constantes et les égalités (87) deviennent
Ç = O, Yî = O, Ç := O,
^'=rO, Yî'~0, Ç'=rO.
Telles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que le terme explicitement écrit au second membre de l'égalité (76) devienne égal à o.
Hors ces conditions, ce terme est essentiellement positif; il est infiniment petit du second ordre lorsque ^, y], 2J, ^', rj', *Q sont, partout, infiniment petits.
On voit donc que, tant que les valeurs absolues de $, y), ^, $', rj', Xj et de leurs dérivées partielles du premier ordre en a, 6, c ne surpasseront pas certaines limites, -^ aura sûrement le signe de son premier terme et sera positif; si l'équilibre initial du système était stable, on pourrait limiter supérieurement les valeurs absolues initiales de 5, Y], î^, \\ Y)', ^' et de leurs dérivées partielles du premier
ordre en a, 6, c, de telle sorte que -^ ne puisse devenir négatif pour
aucune valeur de /.
Considérons, d'autre part, la valeur prise, à l'instant i = o, par la
quantité ^ qu'exprime l'égalité (11).
Posons, à cet instant / = o.
L'égalité (75) nous donne alors
I l8 P. DUHEM.
Visiblement, nous pourrons prendre pour K^, $«, rjo» ^o et pour les dérivées partielles en a, b, c de l^, y]o, ^o» des valeurs assez petites
pour que (-37-) ait le signe des termes qui, au second membre,
occupent la première ligne, et ces termes sont positifs.
Si donc l'état initial du système était un état d'équilibre stable, nous pourrions disposer des valeurs initiales de $, y), l, $', y]', s' de telle sorte que les trois conditions suivantes fussent sûrement remplies :
i^ U ne surpasserait pour aucune valeur de / une quantité positive A, arbitrairement donnée d'avance;
2,^ La valeur initiale de -j- serait positive;
3*" -jjf ne serait négatif pour aucune valeur de /.
Les deux dernières conditions contredisent la première; le théorème énoncé est donc démontré.
