IV. — Équations d'équilibre d*un milieu vitreux

Les résultats déjà obtenus nous permettent d'écrire les conditions d'équilibre d'un milieu vitreux. Ces conditions s'obtiennent, en effet, en écrivant que l'on a

quelle que soit la modification virtuelle imposée au systëmc, partant quelles que soient, en chaque point, les valeurs de 8Ç, Sy], SÎ^. Nous

nECHERCHES SUR l'ÉLASTICITÉ. 3i

devons donc avoir, en tout point du milieu vitreux,

— d^ — + — dP — ^ — Tz + -W - di^-P(^'+^')'

(^^) \ — d^ — + d^ + Tz ^H^'-dT -P(Y.H- Y,),

— dï^ — "^ -3^ -^ Tz ^~d7~ 1F=P^^' + '"'

et, en tout point de la surface qui limite le milieu,

l (N,+ -Cx)« + (Tî+ g,)P + (T^+ gy)y-;-A^y-A,|3 = Px,

(69) (T, + g,)a + (N,. + 0Ry)(3 + (Tx+ g,)y + ^.a -^^y = P,,

( ('IV + g,.) « + (Tx + Çx) P + (N. + XJy + .'RxlS - A,.a = P,.

Ces équations, excessivement compliquées, se simplifient beaucoup lorsque les actions, tant intérieures qu'extérieures, sont newtoniennes; dans ce cas, on a

4^j, =z o, Oit, = o, 3Î,; = o,

ga = O, g,. =0, gj = O,

Ax=0, ift.^ ^ O, ^j =0

et les équations (68) et (69) prennent la forme classique

«JN'x e)T. . dT,

dx dy dz

àrr, dNy dix ,v V ^

f dTy dTx (JN= ,„ ,, ,

1 Nx« + T,î3 + T,y = Px,

(70 T,a + N^p + Txy=P,.,

(T,a4-Tx|3+N,7 = IV

Dans ces égalités figurent les six quantités

Nx, N,. N., Tx, T,. T,

32 p. DUHEM.

qui se tirent des équations (62) en y remplaçant respectivement

^1» <^î> ^3> Çl» (?t> (?3

par

Les conditions d*équilibre que Ton obtient ainsi sont équivalentes à celles qu'a données M. Boussinesq (*).