CHAPITRE IV

Les couples directeurs électriques.

29. La différence de potentiel auxiliaire produit deux effets simultanés très différents : grâce à elle, d’abord, une petite variation dv du potentiel étudié produira un couple beaucoup plus grand, c’est l’effet même qu'on cherchait. Mais en même temps, elle ajoute algébriquement aux forces antagonistes mécaniques un nouveau terme : l’aisuille ou la feuille d’or deviennent suivant les cas plus faciles ou moins faciles à déplacer de leur position d’équilibre. Dans le réglage de l'appareil Wilson, on voit très nettement ces deux effets superposés; grâce au potentiel auxiliaire V, l'attraction électrique a des variations K[(V + »)?— V?] beaucoup plus grandes que K°?; d'autre part, on règle la distance du plateau et l’inclinaison de l'appareil pour amener la feuille d’or dans un état voisin de l'instabilité, où les variations de l’attraction électrique en fonction de la position compensent presque exactement celles de la composante utile de la pesanteur; les forces directrices se réduisent à la différence de ces deux effets et la feuille subit un déplacement beaucoup plus grand sous l’action d’une force donnée de nature quelconque : mouvement de convection ou petite variation de potentiel.

Tous les dispositifs hétérostatiques introduisent de tels couples (ou forces) directeurs électriques; pour plus de précision, nous envisagerons particulièrement l’électromètre à quadrants utilisé en chargeant l'aiguille à un potentiel élevé V. Dans le cas de la symétrie complète, le couple électrique doit être nul au zéro, pour apparaître seulement avec les déviations si elles font varier la capacité de l’aiguille; la théorie élémentaire de la distribution à

potentiels constants donne immédiatement l'expression 1 0C 2 00 A Êe de l’aiguille passe, au zéro, par un maximum ou un minimum, le couple est un couple directeur positif, ou un

couple d’instabilité (négatif).

v:) de son moment. Suivant que la capacité C

30. Dans tous les cas, il est une cause de limitation de la sensibilité. Lorsqu'il est positif, la chose est très claire, car il ajoute au couple de torsion un couple proportionnel à V?; le couple utile, qui produit la déviation à mesurer, est seulement de la forme KVs; en faisant croître V, on passe donc nécessairement par un maximum de sensibilité. Quand il est négatif, 1l diminue l'effet du couple de torsion, maïs 1] n’y à pas à gagner, pratiquement, dans ce sens, puisqu'on est arrêté par des perturbations accidentelles mécaniques quand le couple est trop petit. Si l’on veut augmenter V (‘pour augmenter le couple KVe) on arrive à l'instabilité. La solution qui consisterait alors à remplacer le fil de torsion par un autre à couple plus élevé, est d’ailleurs illusoire : pour réaliser ainsi des sensibilités croissantes, il faudrait donner au couple directeur total (K— AV?)6 une valeur fixe, qui deviendrait bien vite une très petite fraction de K8 ou de AV2?6; les petites variations accidentelles de l’un ou l’autre de ces deux facteurs prendraient une importance relative croissante dans le couple directeur résultant, et le rendraïent bientôt très irrégulier.

31. On voit l'intérêt que présente l’étude des couples électriques pour la construction des électromètres, et l'avantage qu'il y aurait, par exemple, à savoir les annuler, pour réaliser de grandes sensibilités :

Le couple directeur électrique est toujours égal à la

Enr erTONV: ; CIRE c dérivée > en appelant 4 l'angle qui définit la rotation

et W l'énergie du champ électrique limité par les divers conducteurs qui constituent l’électromètre. Lorsque les surfaces de ces conducteurs peuvent être assimilées à des surfaces équipotentielles, l'énergie W prend une forme particulièrement simple, grâce à la notion, purement géométrique, de coefficient d'influence mutuelle des conducteurs deux à deux; elle s'écrit W—— = ECi(Vi— Vi)? On peut alors faire une étude théorique générale des couples électriques ut basée implicitement sur la première approximation que nous venons de signaler. Elle prévoit ce que j'appellerai les couples électriques géométriques, par opposition à d’autres couples que nous étudierons ensuite et qui sont dus aux gradients de potentiel sur la surface géométrique des conducteurs (°).

32. Cette théorie a été développée par M. Langevin dans des cours inédits du Collège de France, et Je profiterai de l’occasion actuelle pour en reproduire ici un exposé résumé.

Quand on opère à potentiels constants, l'aiguille prend une certaine position d'équilibre telle que le couple total

(Ki— Te) y soit nul, et la stabilité est liée au signe de la dérivée

D) oW 92 W r I PCyn T 2 ee ge RS 27 CV Ve) Re ET, EEE RES CN RE TE ET

(1) Cf. Vixrey, Comples rendus, t. CLIII, 1911, p. 767:

64 SÉVILLE, 2W AT LR Re Lorsque (Kk— 7 ) est positif, l'équilibre est stable,

et la période des petites oscillations est 27

L’électromètre est destiné à mesurer les variations de l’un des potentiels V,, que nous appellerons »; une variation ds produit un déplacement dÔ tel que le couple total redevienne nul, donc déterminé par la relation

4 2 2 a FT )=° où Ka = Na + LT

et la sensibilité est, dans une position quelconque,

dû 06%

CARE ZW 7 0

Cette expression très ‘générale donne pour le couple directeur total au voisinage du zéro l'expression

appliquée à tous les montages particuliers, elle exprime les couples directeurs d’Hopkinson, de Gouy, ete. en fonction des divers coefficients d'influence mutuelle et des différences de potentiel (1).

Par exemple, pour l’électromètre à quadrants, à aiguille chargée, on a, en désignant par les indices 0, t, 2, 3, l'enceinte, les deux paires de quadrants, et l’aiguille, et en remplaçant — Ch» par Cmx

W— wŸ + = Less V?+ C13(V + D}? + ci20?]

(en réunissant dans ® les termes qui contiennent les

(1) Cf. Mouzix, Le Radium, 1907, p. 145.

divers coefficients d'influence par rapport à l'enceinte, et ne varient pas avec 0) d’où

AW NT an. — ASTRA ho} can],

et alors

de Cho0 + cha(V +0) .

do K LI 1 V2 I V 9 : (2 2 rabess 2H cas (V +o) + ose]

r 7: 9 . pe .

ou, en négligeant y Par rapport à 1, en utilisant la relation

Cia = Cis + Css et en observant que ci passe par un maximum où un minimum dans la position de symétrie

dô CA = L 7 2 e K— : CisV

Nous retrouvons bien pour le couple d'Hopkinson la même première approximation que nous avions donnée immédia-

tement, car 1 0Q 1 — V2 — 2iQ7 2 $ en = FA vr)a0:

il n’est de la forme A V?0 que si la dérivée seconde C?, de la capacité de l'aiguille, peut être considérée comme constante lorsque À varte,

Pour l’électromètre employé à charge constante, la théorie est conduite, par M. Langevin, de façon analogue : l'aiguille étant maintenue à V, les quadrants 2 à zéro, les quadrants À et le cylindre de Faraday qui leur est relié sont isolés et portent une charge q. L’équation de l’équilibre est encore, bien entendu, puisque la distribution est entièrement déterminée par les valeurs des divers potentiels,

Rose ea CN + 9) +çss VA] je 19H SE re

(dérivée partielle) mais la condition de stabilité n’est plus la même, car une petite rotation df entraîne une variation ds du potentiel des quadrants isolés ; alors

Ô 00? dr 06 dv

W a(K0— Te) = K d0 —

5 dy,

mais on sait écrire la relation entre de et dû, en effet

g— ee donc dq = — de + 55 06 À avec

cela donne, si la charge reste constante,

1 22W dq = 0 ou RE a ;

et alors oW 2 W I 22 W \2 a(ko— TT) = [K— 062 + a (x) Ja.

Le couple stabilisateur est donc plus grand, et les petites oscillations plus rapides que dans le montage à potentiels constants : le terme supplémentaire

1 /AW\?2 C: 1 08 dp est, en effet, essentiellement positif.

Lorsque q varie de dg, le déplacement de l'aiguille l’amène dans une nouvelle position telle que le couple total

redevienne nul, donc

0W a(ke— T) = ou 02 W 22 W K dû — —; dû 555 dv = 0;

et en remplaçant ds, en fonction de d et dq, par la relation 02W d —— ————— q = Cu de + 5556 dB,

on obtient, pour la sensibilité aux charges

dB Cu 000 dq ŒW 1 /oW\?

Pi: + (x)

Cette expression conduit, même lorsque le couple direc-

; s Mo Doi , 2 teur électrique ordinaire Sn est nul, à un maximum de

RS d8 sensibilité; en effet — est alors de la forme 27 dq KC11 + æ?

maxima pour

KGii—22=0 ou = Roue ET = cs; V+ dur,

et ce maximum de.sensibilité aux charges est réalisé au voisinage du zéro (# = 0), par le potentiel de charge

v = VKGu,

33. On voit toute la généralité de cette théorie. Dans le cas particulier que nous RER spécialement (1),

le couple d’Hopkinson est égal Fe - C!, V2dô au voisi-

nage du zéro. Même, si l’on nds la symétrie par-

faite, et l'aiguille limitée à deux ares et deux diamètres d’un même cercle, la présence des fentes permet de pré-

(a) Mesures à potentiels constants, au moyen de l’électromètre à quadrants, par la méthode de l'aiguille chargée à V.

voir un maximum où un minimum pour la capacité de l'aiguille, suivant que celle-ci est très large ou très étroite (ouverture angulaire) : si elle n’est guère plus large que la fente, sa capacité augmentera manifestement quand elle entrera dans l’un ou l’autre des deux quadrants. Si elle occupait presque une demi-circonférence, une rotation diminuerait au contraire sa capacité puisque l'un ou l’autre de ses bords sortirait des quadrants. Pour les ouvertures courantes, intermédiaires, il y a souvent un maximum de capacité dans la position de symétrie, entre les deux maximums correspondants à l’absorption complète de l’aiguille par l’un ou l’autre des quadrants. Son existence dépend d’ailleurs de l’écartement des quadrants et de la largeur des fentes. Il est impossible de calculer cette capacité : le problème de la distribution électrique sur trois conducteurs de formes complexes comme ceux-là ne comporte pas de solution mathématique utilisable. Walker a tenté une approximation dans ce sens (1), mais 1l n’est certainement pas légitime de négliger l’action des arêtes vives et des petites parois verticales qui bordent les fentes (dont la hauteur est égale à l’épaisseur du métal des quadrants).

Pour donner une idée de ce que peut être effectivement la complexité de ces distributions, l'exemple suivant paraît assez frappant : pour réaliser, dans une petite région de l’échelle, un couple d'Hopkinson négatif et une grande sensibilité, j'avais employé un artifice déjà signalé : deux petits bouts de fil de cuivre de 2m de long et 2 de millimètre de diamètre étaient collés radialement aux deux extrémités du grand axe. Une exploration méthodique de la sensibilité a donné deux maximums très accusés, pour deux positions de la petite nervure écartées d'environ 1,5 devant une fente large de 1 "MM seulement; c’est donc après

(7) Wazxer, Phil. mag., t. IL, 1903, p. 238.

être nettement entrée dans l’un des quadrants que cette nervure produisait l'augmentation de capacité la plus rapide en fonction de la rotation.

Les moindres aspérités ou irrégularités géométriques de l’aiguille produisent ainsi, par leur passage devant les fentes, des variations importantes et compliquées du couple électrique.

Les dissymétries suffisent même à créer des couples électriques géométriques en l'absence de fentes. Par exemple, si l'aiguille présente une bosse, et si le plan moyen dans lequel elle tourne n’est pas exactement parallèle au plan des quadrants, la rotation pourra rapprocher la bosse du plan des quadrants et augmenter la capacité, il se produit donc un couple électrique agissant dans ce sens. Scholl (1) a manifesté l'existence de tels couples sur une aiguille suspendue dans une boîte plate unie, analogue à des quadrants dont on n'aurait pas encore taillé les fentes à la scie.

34. J'ai observé que ces divers facteurs géométriques ne suffisent pas à rendre compte des couples électriques réels. Cela tient à l'insuffisance pratique de la première approximation que nous avons explicitée plus haut. Les gradients de potentiel, produits à la surface des conducteurs par l’irrégularité du phénomène de Volta, conduisent à apporter à la théorie des corrections équivalentes, en première approximation, à la simple addition de couples nouveaux. ù

Ces gradients de potentiel sont faciles à mettre en évidence. Supposons, en effet, la différence de potentiel de Volta, entre la surface et le métal massif, uniforme sur chacun des conducteurs (avec les valeurs 04, Vo, 3); la correction qu’elle entraînerait serait alors immédiate,

(4) Phys. Zeitsch., 1908, p. 915.

70 JA SILLEY.

l'expression de l’énergie électrique devenant simplement ENT : CnnlVm + Om) — (Vn + On).

La différence de potentiel apparente (V» —"%,) entre l'aiguille et l’une des paires de quadrants est directement accessible par une mesure idiostatique : l'aiguille et les quadrants 2 étant mis au sol, les quadrants À portés à un potentiel V, on a deux couples

L'OERs 2 00

co) « SEC EON et (CE CO 2 06 qui dirigent l'aiguille vers l’une et vers l’autre des deux paires de quadrants; mais si V est assez grand, le second est négligeable devant le premier, et la torsion mesure

sensiblement 1 dC13

Ress 9, — 0,)2 UE CV + 0: — 0:}2.

S1 l’on renverse le signe de V on obtient une autre torsion d’équilibre, qui mesure

I dC13