XL LS LE M PER

pt ot 6 EE pl 2 pts 99 2 95 à mA, Tel est le quotient de

À DT 4 RM PAR

par A+ x + xt + x + xf, et de À + x + UE D LCR par

Lex + x + af + x + x + a.

JR

Soit o(n) le nombre des solutions, en nombres entiers ;de l'équation pa +'qb—=n,

n étant égal ou inférieur à (p —1) (g—1). D'après une propriété connue, œ(n)—1 ou 0. Donc, dans le polynôme X, les coefficients sont + 1, —1 ou 0. En outre, on peut remplacer la règle ci-dessus par la formule suivante :

On sait, et cela résulte d’ailleurs des égalités (1), que les coefficients des termes de X, également éloignés des extrêmes, sont égaux entre eux. Donc

ao) =a(—1) = (p—1) (9190) if (p—1) (g 10-37, ou an) +2[(p—1) (g—1) 01] su 0) [(p 1) (9-07, ou plutôt e() + 2 [(p— 1) (q —1) — 2 —1] = const.

Lorsque TR premier terme est 1, le second est nul (*); donc enfin 0 AC ot a Dr) (6) Ainsi : des équations ap+bq=n, ap+bq=pqj —p—q—n,

l’une admet une solution en nombres entiers, l’autre n’en admet pas (*”).

(*) En effet, il est visible que l'équation pia+1—-q)+qg(b+1)—=0

n’admet aucune solution en nombres entiers.

(**) On ne doit pas oublier que n est compris entre 0 et (p —1)(q —1), inclusivement.

p(0)=1, 3(1)=0, ?(2)—=0,.., :(q —1)=0, (9) —=1. Done, par l'équation (6) :

e(pq —p—Q)—=0, s+(pq —p—q —-1W=# |

(pq — p—q—2)=1,.…, 9(pq — p— 24e; | (7)

(pq — p — 2q) = 0. | Par exemple, p étant égal à 7, q égal à 5 :

En effet, le développement de 3x”, trouvé ci-dessus, contient x22, x21, #2, x!9: il ne contient ni x mi x'8.

Le dernier terme de X étant x", on a, par la formule (5),

Up 0) (9 — 0] 209 —p == ou, d'après l’une des remarques précédentes : A nl

Ainsi, l'équation ap + bq=—{(p—1) (q—1) admet toujours une solution en nombres entiers (*).

(") Lebesgue, Exercices d'analyse numérique, p. 54.