VIT

Lorsque x surpasse (p — 1) (q — 1), le coefficient de x”, dans X , est nul. Or ce coefficient à pour valeur, à cause de la multiplication par (1 — x) (1 — x”) :

QU) +R — pq) + en — pq — 1}; donc

Ro 1) (n = pq) e(0 = pq — 1);

el, si l’on suppose n = «pq + :

nr 1) = (p)— +? (B— 1); On tire aisément, de cette équation, gr) — s(epq) = :(8) — +(0).

Mais :

s(apq)=a +1, #(0)—1; donc enfin

Ainsi, le nombre des solutions non négatives de l’équa-

tion ap + bq —apq + 8,

est égal au nombre des solutions de

ap + bq =B, augmenté de « (*).

(*) Cette proposition peut être démontrée directement (Mélanges mathématiques, p. 22).

Il résulte encore, des relations précédentes, que l’équation

ap +bq=n £ admet une seule solution en nombres entiers, quand n est

compris entre (p — 1) (q — 1) et pq — 1 (inclusivement).

VIIT.

Si, dans X, on change x en :, ce polynôme devient

(1 — x) (1 — x) X TS NT Me (1) (g—1) (P—1) (g—1) (1 — x?) (1 — x*)x x

X L 1 7 ai 1 ? LU « nr Donc ——— reste invariable, si l’on y remplace x par

. Autrement dit, l'équation X —0, de degré pair, est réei-

y, ‘ » (D—1)\(a — A) À proque (*) : on la réduit au degré 2%, en faisant

En supposant p el q impairs, prenons

p=2p" +1, q—2q +4 l'égalité (1) donne |

pu OU EAN