LL ER TR
(*) Cette propriété, bien connue, a été indiquée ci-dessus (LV). prof
ec
(189 ) Ainsi, chacune des dernières fractions est réductible à un polynôme entier 2p'q' Z = > AUZ,, | (9) dans lequel A, = 5(2pq— 0) — &(9p'q —n —1). (10)
En effet, le coefficient de Z,, dans Z, égale le coefficient Mes dans X. L'exemple ci-dessus conduit à
A +2, + Zu À + Z, + Lo + Lx
MAN di i7 +7 Lau —=1—7,+2 2, +2, — 25 +2 — L,, + Lo.
Les racines imaginaires de x”— 1 — 0 sont données par les équations
1 RES DE ie De te LE (12) À + G +. + x 0, (15) MESIUE . (14)
que l’on peut réduire à
ji ÉTAT Pi
. =, (15) L+ZLi+L+... +2, =0, (16)
= (17) Lorsque m — 35, ces dernières équations sont :
MR 20, AZ + 2,0, Ar Z 72, +72 —7, + 2 — 72, + Zo = 0.) 2"° SÉRIE, TOME XXIX. 510
D'ailleurs :
la=27, Li 9, Li 5, LR Z—2 — 55% 5x, LS MERE 97 Zn 2 — 72 +4 — 77, = 2° — 87 + 207 MA67E2,
Lo = 2° — 977 + 2725 — 50z7° + 9z, Lio 2°— 10 + 352° — 507 + 257? — 9 Zu 2"— 112 + khz — 772$ + 55% — M,
Lo 2%— 1920 + 54zt 11927 + 1052! — 567° + 9.
Par conséquent, les réduiles (18) deviennent Pr D = 4 Dee 1 00
ge 7 4970 442 + D4zS = 4352 MIS ER) + 1407 — 462 — 402 + 8z + 1 —0.
On peut prendre, comme racine primitive de l’équation (12) :
27 PSS 27 2Ly= x — COS— + V — 1 sin — — e!
De même, une racine primitive de l’équation (15) est
RÉLAT gr à — Soit maintenant 27 27 —+ — PE y — ab e\ M: )
/ est racine primilive de la proposée.
le
( 497) En effet, supposons y —=}}", ou y "=1,7, y’, y” étant moindres que #». La dernière égalité conduit à
ne | 1 |— + — | — 2x, P q ou à D INRA PNR
résultat absurde, attendu que la fraction rest irréductible (*).
La formule DA (20)
donne toutes les racines de l’équation (14), et seulement ces racines, si l’exposant À n’est divisible ni par p ni par q: c’est ce que l’on reconnait aisément. Si l’on identifie alors le polynôme X avec le produit IT(x—7?), composé de (p—1) (q—1) facteurs, on pourra trouver des relations simples entre les sommes des puissances de 7.
Par exemple, de
D RO Gi pi pi En AO 25 Qu D) rer) (ee 9,5%)
(x AS y) (x ESS y") (x — y") (x — 7") (æ A y15) ee (x —9"),
(*) Si j'ai reproduit cette démonstration, c'est parce qu’ordinairement on choisit, comme racine primilive, une expression beaucoup plus compliquée que le produit &B.
( 492 ) on conclut :
v + + D + ph + + 8 + 99 + Al + 92 9 + y ne 917 Pre y'8 = y" Er y”? A y? 22 y} + y re y? ne y po PE y EE 0.
el
en supposant S—1+2+5+4+6+8+9+.+54—420=55X 12.
La dernière relation est évidente; l’autre est facile à vérifier.
XEE.
Les racines de l'équation (17) sont données par la formule
