ÉQUATION DÉCIMALE

surprendre au premier abord: ainsi A note 198 fois le dixième 2 et seulement 29 fois le dixième 6 ; B attribue le dixième o au quart du nombre total de ses évaluations. Il semble ressortir de ce Tableau qu'il y a souvent prédominance du dixième o et pénurie des dixièmes 4» 5 et 6. La suite de cette discussion montrera que cette loi n'est pas générale.

Pour bien caractériser l'équation que nous étudions ici, soient e^ l'équation personnelle totale particulière à un dixième d, n^ le nombre de fois que ce dixième est noté dans une série de 1000 passages où l'on suppose les dixièmes réels également répartis, e l'équation personnelle affranchie de l'équation décimale, c une valeur constante dans la série d'observations que l'on considère ; on a les relations :

e^ = e -h c -{- e^^ d'où e^ = e^ — (e-i-cj.

2nd=iooo; ^ n^e^ = 1000 (e-h-cj] 2nded = o.

D'un autre côté, pour calculer l'erreur moyenne e d'un passage, on considère les écarts de chaque valeur individuelle avec la moyenne générale. Ces écarts comprennent d'une part l'erreur e purement fortuite, d'autre part les erreurs e^ variables d'un dixième à l'autre et que l'on peut assimiler dans l'ensemble à des écarts accidentels. Envisagée de cette sorte, l'équation décimale a une valeur moyenne définie par la relation

et on peut écrire :

Ainsi, comme j'ai déjà eu l'occasion de le dire, une manière défectueuse de fractionner la seconde peut donner lieu : I* à une erreur constante c qui modifie l'équation personnelle proprement dite; 2*' à un écart moyen e' qui accroît l'erreur accidentelle d'un passage. Mais tandis que E'est facilement calculable, c ne peut être séparé de e.

104 RECHERCHES SUR l'ÉQDATION PERSONNELLE

Il est évident, d'autre part, que n^ n'est pas indépendant de e^. Si on fait abstraction de la constante c, on doit considérer chaque valeur de h e^ comme marquant le centre

de l'intervalle dont chaque point répond en moyenne à l'évaluation d. Or, on peut concevoir que cet intervalle soit proportionnel à Wd ; on aurait ainsi la relation :

\ lO / \lO / 2 lOOO

d'où £

2 I OOO

Chaque correction se déduirait de la précédente, et ou déterminerait la valeur initiale e^ par la condition

Nous désignerons par ej les valeurs ainsi calculées, et nous examinerons dans quelques cas si l'hypothèse précédente est justifiée.

44. Puisque l'équation décimale a une valeur particulière pour chaque fraction de seconde, on conçoit qu'elle puisse acquérir une importance spéciale lorsque les temps de passage d'une étoile sous les diflférents fils du réticule ont lieu au même dixième de seconde, ou à un petit nombre de dixièmes consécutifs. Ce fait se présente nécessairement dans certaines zones célestes lorsque les fils sont équidistants, ou, sans être équidistants, lorsqu'ils sont placés à des distances équatoriales répondant à des nombres entiers de secondes de temps. Or ces dispositions, fâcheuses à notre point de vue, existent dans beaucoup d'instruments. Il y a là une cause assez grave d'erreurs, dont nous avions dû nous préoccuper à l'Observatoire de Lyon, il y a sept ou huit ans.

Jusqu'en 1884, dans notre instrument Eichens, les étoiles voisines des parallèles de -h 4"" et — 4** de déclinaison se présentaient à tous les fils exactement au même dixième ; à

EQUATION DECIMALE 105

o"* et ± 6* les dixièmes estimés étaient groupés dans un intervalle de o*,4- Ainsi dans une zone équatoriale de 12'' de largeur, les observations devaient être tout particulièrement affectées par l'équation décimale. Aussi la précision des résultats y a-t-elle été inférieure à celle qui a été atteinte dans les régions voisines, où la répartition des dixièmes était moins exclusive.

En discutant les résultats de 1 883- 1884, on a, en eflfet, trouvé pour écarts moyens d'une détermination individuelle d'ascension droite les nombres suivants :

DBCtlNAISON

ERRBUR MOYENNE

De

De

De

De

De

L'infériorité des observations à proximité de l'équateur est frappante. On voit que l'équation décimale figure dans l'erreur moyenne pour une valeur que l'on peut estimer à

V o,o39* — o,o3o^ = zh 0,026.

Il est d'ailleurs facile d'obtenir une notion assez exacte de l'erreur propre à chaque dixième, si on considère seulement les valeurs relatives e^. Supposons les temps de passage aux divers fils ramenés au fil moyen, et comparons chaque valeur particulière à la moyenne des temps réduits, en opérant seulement sur les étoiles où la répartition régulière des dixièmes laisse supposer une compensation suffisante des erreurs : le Tableau des écarts relatifs à chaque dixième montrera si ces écarts sont simplement accidentels ou s'ils ont une valeur moyenne bien déterminée.

517 passages examinés do cette façon ont conduit, pour la période 1 883-84, aux résultats suivants, où les e sont exprimées on centièmes de seconde.

Dixièmes, oi 23456 7^ 9

ej. . . +3,9 4-1,9 +1,3 4-o,6 — a,6 —2,6 —3,2 —2,3 —0,6 +3,4 nd • . . 83 99 79 91 75 112 87 142 120 ti2

On voit que du dixième 9 ou o au dixième 4 ou 5, c^i varie de plus de o*,o6.

L'accord des deux séries e^ et ej paraît fort satisfaisant, surtout si on tient compte de Terreur probable de chaque valeur.

Les étoiles de la zone défavorable se prêtent aussi à la recherche des corrections systématiques. Toute valeur individuelle de Tascension droite d'une étoile, comparée à la moyenne de l'ensemble des déterminations (en nombre supposé suffisant), donne un écart que l'on peut exprimer en fonction des erreurs inhérentes aux dixièmes notés dans l'observation correspondante : chaque équation ainsi obtenue ne contient du reste qu'un petit nombre d'inconnues.

Cent équations ont été formées de cette façon et traitées par la méthode des moindres carrés ; mais ce nombre étant insuffisant, l'indétermination pour la plupart des inconnues à été trop grande ( ± o",o3 ). Toutefois il n'est pas sans intérêt de reproduire les équations normales. Afin de faciliter la comparaison avec une observation à 10 fils, on y remplace par leur valeurs approchées les inconnues dont le coefficient est inférieur à i, et on ramène à 10 la somme des coefficients. On aura donc l'erreur d'une observation à 1 o fils en divisant par 10 le terme tout connu. On donne d'autre part, dans la dernière colonne, entre parenthèses, les valeurs que prennent les premiers membres lorsqu'on y substitue les valeurs e^ trouvées ci-dessus.

+ 4,3eo

+ ï,7ea

2,2Sa

+ 4,8es

+ 3,of«

EQUATION DECIMALE