Par un abus de langage qui s'est naturellement introduit

(') Ou plutôt, d'après les anciens, sur le rabattement de l'excentrique opéré sur l'écliptique.

le nom de mois a élé étendu aux autres révolutions lunaires. On dislingue donc maintenant, en outre du mois synodique ou lunaison, qui règle les phases de la lune, le mois tropique et le mois sidéral, le mois anomalistique et le mois dracontique (pour la révolution de latitude).

les anciens n'avaient pas donné cette extension au sens primitif du mot mois. Quant à la dernière épithète, celle de dracontique, elle se relie aux expressions de tête et queue du dragon, qui ont été usitées pour désigner le nœud ascendant et le nœud descendant. Aucun terme semblable ne se retrouve dans la Syntaxe ni dans aucun ouvrage ancien d'astronomie classique; c'est la tradition astrologique qui nous a conservé ce débris d'une antique explication des éclipses. Un monstre céleste, ordinairement invisible, signalait sa présence par ces phénomènes, dont la périodicité, pour irrégulière qu'elle fût, permettait non seulement de reconnaître son action, mais encore de calculer ses mouvements.

Ce monstre n'appartient point à la mythologie hellène; la tradition doit donc provenir soit de l'Egypte, soit de la Chaldée. On sait et nous allons rappeler que les Chaldéens avaient singulièrement avancé la théorie de la lune et des éclipses; dès qu'ils sont hellénisés, ils professent (par exemple Bérose) des explications tout à fait semblables à celles des Grecs, et il n'est évidemment nullement impossible que, môme bien avant les physiologiies du v^ siècle, ils aient découvert la véritable cause des éclipses. Mais, dans ce que nous savons de leurs travaux, rien ne l'indique en fait; l'honneur de celte découverte doit donc en tout cas être laissé au JMilésien qui y est parvenu sans emprunt à l'étranger et qui, le premier, l'a ajouté au patrimoine commun des vérités scientifiques.

5. En ce qui concerne les révolutions de la lune, les anciens Grecs n'avaient sans doute considéré que le mois, mais ils avaient dû de très bonne heure se préoccuper de sa durée pour régler leur année lunisolaire. Dès les temps mythiques, ils

avaient reconnu que la succession alternative des mois pleins (de 30 jours) et caves (de 29 jours) amenait à la longue un désaccord notable avec l'observation des néoménies,et ils avaient constitué l'octaétéride, période de 8 ans comprenant 99 mois pour 2,92.'3 ou 2,924 jours.

Le cycle d'Œnopide de 21,557 jours pour 730 mois suppose la lunaison de 29 j. 53013... Celui do Méton, de 6,940 jours pour 235 mois, l'élève à 29 j. 53191..., valeur moins exacte.

A partir du iv^ siècle, la connaissance des pratiques chaldéennes, qui semblent déjà avoir été communiquées à Thaïes, dut commencer à se répandre en Grèce, si les prédictions d'éclipsés attribuées à Hélicon de Gyzique, disciple d'Eudoxe, sont réelles. On admet dès lors pour la durée de la lunaison une valeur de 29 j. ^ iV- Eudoxe connaît le mouvement révolutif du plan de l'orbite, mais comme pour le soleil, il néglige l'anomalie, et dans son octaétéride, en égalant 160 ans de 365 j. { à 1,979 mois, il a abaissé la durée de la lunaison à 29 j. 53000... Son disciple Callippe la relève, d'après sa période, à 29 j. 53085...

Les théories chaldéennes n'étaient donc que très imparfaitement connues. Elles ne se vulgarisèrent sans doute qu'après la fondation, par Bérose, de l'école de Gos, et Aristarque est le premier Grec que l'on peut constater en avoir fait usage. Sa grande année est le multiple par 45 de la période que les Grecs ont appelée exéligme, et sur laquelle Geminus et Ptolémée nous fournissent des renseignements complets.

6. Vexéligme est lui-môme le triple de la petite période chaldéenne pour la prédiction des éclipses, période qui comprend 0,585 j. ly 223 lunaisons, 239 révolutions d'anomalie, 242 révolutions de latitude, enfin 241 révolutions sidérales plus 10° f . En admettant Texactitude de cette période, on peut en conclure immédiatement la durée de chacune des révolutions à considérer.

En rendant compte de la marche suivie par les ancùns mathématiciens, Ptolémée {Syntaxe, IV, 2) expose comment on peut arriver à la découverte des périodes écliptiqucs. En comparant

des séries d'éclipscs de lune, après avoir calculé, pour le milieu de chacune d'elles, la longitude de l'astre d'après celle du soleil, il s'agit de trouver un intervalle tel que, entre deux éclipses qu'il sépare, le nnouvement de longitude soit toujours le même. Cet intervalle devra comprendre à la fois un nombre entier de lunaisons, puisque les éclipses de lune n'arrivent qu'à l'opposition, et un nombre entier de révolutions d'anomalie, puisque l'égalité des mouvements de longitude exige que la lune soit revenue, par rapport à l'apogée, au môme point de son orbite (').

Mais, pour que la période soit réellement écliplique, il faut aussi qu'elle ramène sensiblement la lune à la même latitude. Elle devra donc comprendre aussi approximativement un nombre entier soit de révolutions, soit de demi-révolutions de latitude.

7. Il est évidemment très improbable que la période chaldéenne ait été ainsi découverte à la suite d'une recherche systématique. La notation régulière des éclipses et de leurs intervalles successifs pendant plusieurs générations amena bien plutôt les Ghaldéens à la constater empiriquement. Mais ils surent en déduire comme conséquences ce que Ptolémée a pris comme prémisses; ils reconnurent les révolutions d'anomalie et de latitude et, par des observations suivies, déterminèrent les nombres entiers de ces révolutions comprises dans la période. Quant au mouvement en longitude, effectué pendant le même-temps, il faut bien remarquer qu'au contraire il n'a pas été constaté par l'observation, mais déduit d'un calcul. Quoique sans doute les Ghaldéens remarquassent la région du zodiaque où avait lieu chaque éclipse, ils ne faisaient, à cet égard, aucune mesure précise. Le nombre des révolutions sidérales pendant la période, 241, s'obtient d'ailleurs naturellement en ajoutant au nombre des lunaisons, 223, celui des années, 18, compris dans le môme laps de temps; 18 ans de 365 j. l font, d'autre part, 6,574 j. ~; l'excès de la période

(^) Cette conséquence n'est rigoureuse, comme le remarque Ptolémée en critiquant la méthode, que s'il est établi que la lune se trouve bien dans le même quadrant.

est de 10 j.|, ce qui, pour l'année sidérale de 365 j. |, correspond à un mouvement moyen de iO° f, en négligeant la fraction ~hy inférieure à 40'.

Ainsi la période chaldéenne a été établie, en ce qui concerne le mouvement en longitude de la lune, d'après la connaissance du mouvement moyen du soleil, déduit de l'année de 365 j. {.

8. En divisant le nombre de jours de la période par celui des révolutions qu'elle comprend, on trouvera :

Mois synodique : S = 29 j. 53064... au lieu de 29,53059... Mois anoraalislique : A = 27 j. 55369... — 27,55457... Mois dracontique : D= 27 j. 21212... — 27,21222...

Mais les Chaldéens avaient constitué une véritable théorie du mouvement de la lune qui, si imparfaite qu'elle soit, n'en mérite pas moins toute notre attention, car elle est évidemment l'origine des théories grecques, et elle a singulièrement influé, sinon sur leur forme géométrique, où le génie hellène s'est caractérisé, au moins sur la forme des tables et l'ensemble des procédés de calcul.

Divisant le mouvement total en longitude pendant la période par le nombre de jours de celle-ci, les Chaldéens ont d'abord déterminé le mouvement moyen journalier en longitude :

Ils ont cherché ensuite une correction permettant de passer de la longitude moyenne à la longitude vraie. Voici comment Geminus (ch. XV) représente leur procédé :

Pendant la révolution anomalistique, qu'ils avaient fixée (') à 27 j. 33' 20", le mouvement journalier vrai croît du minimum au maximum, puis décroît du maximum au minimum en passant ainsi deux fois par sa valeur moyenne.

Les Chaldéens admettaient que cette variation se faisait en progression arithmétique; pour déterminer la raison de cette progression, ils avaient cherché la valeur du mouvement jour-

(*) Suivant un usage que les Grecs ont conservé en pareil cas, le jour est ici divisé en 60 minutes de jour et cette minute en 60 secondes de jour.

nalier minimum et celle du maximum; ils avaient estimé que la première était comprise entre 1 1° et 12", la seconde entre 15° et 16°. Ditférence moyenne, A"". En divisant cette différence par la moitié de la durée de la révolution, on a, à très peu près, 18', nombre qui avait été pris pour la variation du mouvement journalier vrai d'un jour au suivant.

9. Il semble, d'après cela, que les Chaldéens calculaient tout d'abord la longitude moyenne de la lune, absolument comme l'ont fait les Grecs après eux, en partant de la valeur de cette longitude moyenne pour une époque déterminée, par exemple le commencement de la première année d'un règne, en ajoutant le produit du mouvement journalier moyen par le nombre de jours et de fractions de jour écoulé depuis cette époque, et en retranchant les circonférences entières :

Mais, pour trouver la correction à faire subir à la longitude moyenne et passer à la longitude vraie, ils auraient procédé un peu différemment. Une table, facile à dresser d'après leur hypothèse, pouvait leur donner cette correction par jour et fraction de jour écoulé depuis le commencement d'une révolution anomalistique. Ils n'avaient donc qu'à retrancher autant de fois que possible du temps t la durée de cette révolution pour avoir l'argument de cette table, et à introduire une correction constante pour l'époque.

D'après le système adopté par Hipparque, en divisant 360° par la durée de la révolution, on a le mouvement moyen journalier d'anomalie; l'anomalie moyenne, qui a au reste une signification géométrique (car elle représente l'arc parcouru par la lune sur l'excentrique (') à partir de l'apogée) se calcule dans la même forme que la longitude moyenne, d'après l'anomalie moyenne de l'époque, le mouvement moyen et le temps écoulé :

m' = Wn -i- \).t.

(») L'excentrique étant supposé rabattu sur le plan de l'écliptique.

Celte anomalie moyenne sert ensuite d'argument pour trouver la correction E', différence de Tanomalie moyenne à la vraie, ou de la longitude moyenne à la vraie :

Théoriquement, le procédé chaldéen revient à supposer E' proportionnelle au carré de l'anomalie m', si celle-ci est inférieure à 90'', et à admettre que, pour les autres quadrants, elle varie suivant les règles applicables à sinm'. La valeur maxima de E' serait d'ailleurs évaluée à 7° 7 '6' 40'"; elle est donc sensiblement trop forte, car elle ne devrait pas dépasser 5°.

10. En ce qui concerne la latitude, Geminus ne nous indique point si les Chaldéens avaient cherché quelque règle à cet égard; mais il est probable qu'ils essayaient de prévoir la possibilité d'une éclipse pour une opposition donnée. Ils devaient donc, comme pour l'anomalie, chercher quel intervalle de temps séparait le moment de cette opposition du commencement de la révolution de latitude, et ils supposaient sans doute que la variation de latitude s'effectuait aussi en progression arithmétique.

Ilipparque considère un mouvement journalier moyen pour la latitude {-ax-x -kià-cz), qui est le quotient de 360" par la durée de la révolution de latitude. Ce mouvement moyen est au reste supposé s'effectuer dans le plan de l'écliptique, tout aussi bien que celui d'anomalie. Si ce dernier est la différence du mouvement moyen de longitude et du déplacement (direct) de la ligne des absides, le mouvement pour la latitude est au contraire la somme du mouvement moyen de longitude et du déplacement (rétrograde) de la ligne des nœuds. En multipliant ce mouvement journalier moyen par le nombre de jours et de fractions de jour écoulé depuis l'origine des tables, en ajoutant, pour cette origine, la différence de longitude entre la position moyenne de la lune et la limite boréale, en retranchant enfin 360° autant de fois que possible, on aura la différence entre la longitude moyenne de la lune et celle de la limite boréale pour le moment auquel se

rapporte le calcul. En faisant la correction nécessaire pour passer de la longitude moyenne à la vraie, on obtient l'argument d'une table qui donne la latitude et qu'IIipparque a calculée trigonométriquement, d'après la valeur de 5° qu'il a attribuée à l'inclinaison de l'orbite.

On remarquera l'artifice de ces procédés, conservés par les astronomes modernes, et qui ramenaient de fait la théorie des mouvements de la lune à l'étude des inégalités de longitude.

11. Mais la principale gloire d'Hipparque est d'avoir reconnu que la période écliptique des Chaldéens n'était pas suffisamment exacte pour qu'on en pût déduire avec précision la durée des révolutions lunaires et la valeur des mouvements journaliers moyens; d'avoir, d'un autre côté, par la comparaison des observations d'éclipsés anciennes avec d'autres plus récentes, obtenu des déterminations dont la rigueur ne laissait rien à désirer.

Il constata d'ailleurs qu'il était impossible d'arriver à un résultat satisfaisant en se proposant d'obtenir la concordance des révolutions synodiques, d'anomalie et de latitude; il divisa donc le problème et constitua deux périodes distinctes, établissant l'accord, la première, entre les révolutions synodiques et celles d'anomalie, la seconde, entre les révolutions synodiques et celles de latitude.

Ainsi l'une fut fixée par lui à 126,007 jours 1 heure, comprenant 4,207 lunaisons et 4,573 révolutions d'anomalie, correspondant d'autre part à un mouvement en longitude de 4,612 révolutions sidérales (345 ans) moins 7° |.

L'autre période comprenait, d'après lui, 5,458 lunaisons et 5,923 révolutions de latitude.

12. La première période écliptique de 345 ans proposée par Hipparque suppose :

i° Une année sidérale de 365 j. 2598537... trop forte, par suite d'une erreur de 1 degré environ commise sur le mouvement en longitude de la lune; la différence avec la durée exacte est

dans le même sens et du même ordre que la différence entre Tannée tropique d'Hipparque et Tannée tropique véritable;

2" Un mois sidéral de 27 j. 3216849. . ., un peu trop fort pour le même motif. On admet aujourd'hui la valeur: 27 j. 321655. . .;

3° Un mois synodique de 29 j. 53059. . . qui est regardé comme aussi exact que possible;

4" Un mois anomalistique de 27 j. 5545685. . . dont Texactitude est également très satisfaisante.

Ptolémée a admis ces différentes valeurs, sauf la dernière qu'il a cru devoir corriger et porter de fait à 27 j. 5549246. . .

La méthode de détermination suivie par Ilipparque lui a paru en effet prêter à critique et il en a proposé une autre, qui est la suivante :

Si Ton prend trois éclipses rapprochées, pour le milieu desquelles on détermine, par le calcul, la longitude vraie du soleil, on aura deux intervalles de temps pour lesquels on connaîtra les mouvements de longitude vrais, donc leurs différences par rapport aux mouvements moyens; en supposant pendant ces intervalles un mouvement anomalistique moyen égal à celui admis par Ilipparque, ce qui ne peut entraîner une erreur sensible, on aura les variations d'anomalie auxquelles correspondent ces différences de la longitude vraie et de la longitude moyenne. Avec ces éléments, il est possible de déterminer dans Thypothèse de Tépicycle ou dans celle de Texcentrique, d'une part, Texcentricité, de l'autre, la longitude moyenne et Tanomalie (distance à l'apogée) pour le milieu de Téclipse intermédiaire.

13. Le problème est en réalité analogue à celui de la détermination de Texcentricité et de l'orientation de la ligne des absides de Torbite solaire d'après la longueur de deux saisons consécutives. Si nous prenons, par exemple, Thypothèse de Texcentrique et si nous supposons ce cercle tracé, nous pouvons prendre sur sa circonférence deux arcs contigus AB, BG, égaux aux mouvements moyens anomalistiques dans Tintervalle de la première à la seconde, de la seconde à la troisième éclipse. Les

points A, B, C représenteront ainsi les positions de la lune sur l'excentrique au milieu de la première, de la seconde, de la troisième éclipse. Il s'agit maintenant de situer le centre de la terre à l'intérieur de Texcentrique d'après la condition que, de ce centre, les arcs AB, BG soient vus sous des angles qui sont connus, savoir, les différences de longitudes vraies au milieu des éclipses. C'est un problème de géométrie élémentaire, auquel s'appliquent facilement les procédés de calcul trigonométriques.

Une fois le centre de la terre situé, on a immédiatement la direction de la ligne des absides; l'origine des arcs d'anomalie se trouvera donc déterminée par rapport aux points A, B, G. Quant à celle dos arcs de longitude, elle s'obtient aussi aisément, puisqu'on connaît les longitudes vraies et non pas seulement leurs différences.

On suppose, à la vérité, que pendant l'intervalle des éclipses le centre de l'excentrique ne s'est pas déplacé par rapport à celui de la terre, ce qui est en contradiction avec le fait de la révolution anomalistique. Mais si, comme je l'ai dit, les éclipses sont très rapprochées, et si l'on n'applique les déterminations qu'à Téclipse intermédiaire, l'erreur pouvait être considérée comme négligeable.

14. Hipparque avait déjà fait des calculs analogues sur des groupes ternaires d'éclipsés de lune; mais ils ne lui avaient servi que pour la détermination de l'excentricité. G'est donc à Ptolémée qu'appartiendrait en propre l'idée d'en déduire également la valeur de la longitude et de l'anomalie moyenne à un moment déterminé.

En prenant ainsi deux groupes séparés par le plus long intervalle possible (d'une part les trois plus anciennes éclipses mentionnées dans la Syntaxe, 721 et 720 avant J.-G., de l'autre, les trois plus récentes, observées par Ptolémée en 132, lo.j, 134 après J.-G.), on doit trouver de part et d'autre la môme excentricité (') et l'on a, d'un autre côté, pour un intervalle de lumps

C) En fait, Ptolémée trouve deux valeuis très légèrement différentes :

-^ = 0,086944. .. et -^ - 0,087222. . .

très considérable (11,315 mois anomalisliques), la diiïérencc de longitude moyenne et celle d'anomalie moyenne.

Ptolémée trouve ainsi (Syntaxe, IV, 6) tjuMl n'y a pas à corriger le mouvement moyenjournalier de longitude adopté par Hipparque:

mais que pour le mouvement anomalislique, pendant Tintervalle considéré, il y aurait à retrancher 17' de celui que supposent les tables dllipparque, soit, pour un jour, une correction de

ll'^4G^'3r'.

15. Il semble que la divergence des résultats obtenus par Hipparque dans ses calculs similaires pour rexcenlricité aurait dû inspirer à Ptolémée des doutes sérieux sur la valeur de son procédé et sur la convenance de la correction qu'il a proposée.

Il nous rapporte, en effet (Sijnlaxe^ lY, 10), quHipparquc avait opéré sur deux groupes ternaires, observés l'un à Babylone en 383 et 382 avant notre ère (sous le règne de Darius 1'^''), l'autre à Alexandrie en 201 et 200 (sous Ptolémée IV Philopator). Dans l'un des cas, il avait procédé suivant l'hypothèse de l'excentrique et trouvé le rapport

dans l'autre, en suivant l'hypothèse de l'épicycle, il avait obtenu les nombres

3Ï1ÏÎ = «•<"'«•

Ptolémée montre très bien que la différence des résultats ne provient pas du changement d'hypothèse; il reprend d'ailleurs la détermination du moment correspondant au milieu de chaque éclipse et arrive, pour les intervalles entre deux éclipses successives, à des différences avec Hipparque qui montent à 9"" et 20"^ pour la première série, 50"^ et 56"" pour la seconde. Ces différences s'expliquent aisément, quand les observations chaldéennes, par

exemple, portent des indications aussi vagues que la suivante : « La lune commença à s'obscurcir du côté du levant d'été, alors que la première heure était déjà passée. » Mais Ptolémée aurait dû en conclure que, même en admettant Texactilude de ses propres observations, les éclipses du temps de Mardocempad ne pouvaient lui permettre un calcul rigoureux de l'arc d'anomalie (1).

11 est évident, au reste, qu'ayant une certaine latitude pour fixer le moment du milieu de ces anciennes éclipses, il a dû en profiter pour retrouver sensiblement la valeur de l'excentricité à laquelle conduisaient ses propres observations. Dans ces conditions, la correction qu'il a proposée pour le mouvement moyen anomalistique ne peut avoir aucune valeur.

16. La seconde grande période établie par Hipparque suppose un mois dracontique de 27 j. 21222..., dont l'exactitude est aussi remarquable que celle des mois synodique et anomalistique déduits de la première période.

Cette fois encore, Ptolémée a apporté à cette durée une correction malencontreuse. Il augmente le mouvement moyen de latitude de 9' pour 8,254 mois {^), ce qui réduit la durée du mois dracontique à 27 j. 21213. ..

Il choisit à cet effet {Syntaxe, IV, 8) deux éclipses observées, l'une à Babylone sous Darius P"", en 491 avant J.-C, l'autre à Alexandrie (^) en 123 de notre ère, et dans lesquelles la lune était marquée comme ayant été obscurcie de deux doigts du côté du midi, était, par conséquent, dit-il, dans les deux cas, à une même dislance au-dessus du nœud ascendant. En calculant d'après les tables, suivant la méthode que nous indiquerons

(1) En ce qui concerne la seconde série d'éclipsés employées par Hipparque, le désaccord porte surtout sur le moment du milieu de la deuxième dont le commencement seul était assigné, avec l'indication qu'elle fut totale. Kn pareil cas, Ptolémée compte toujours 4 heures pour la durée de l'éclipsé; Hipparque n'a dû admettre que 3 h. 20, comme pour la troisième éclipse.

(2) S'^^'aO^lB^'i par jour.

(*) n ne dit pas qu'elle l'ait été par lui-même.

ci-après, la différence du mouvement vrai au mouvement moyeu pendant Tinlervalle entre les milieux des deux éclipses, il trouve 9° 53'. Or, par hypothèse, le mouvement vrai est un nombre entier de circonférences pour la latitude; mais, d'après les tables d'Hipparque, le mouvement moyen pour la latitude aurait, avec ce nombre entier de circonférences, une différence de iCS'; donc ces tables doivent, d'après Ptolémée, comporter, pour le laps de temps considéré, une erreur de 9'.

Le point de départ est singulièrement incertain et Ton comprend encore moins que pour le mouvement d'anomalie, que Ptolémée ait cru sa correction suffisamment fondée. A la vérité, il ne devait pas avoir de grands scrupules à apporter, aux mouvements moyens, donnés par Hipparque, des modifications qui restaient, de fait, dans l'ordre des erreurs possibles d'observation. Il n'en est pas moins singulier qu'après avoir fait preuve, en ce qui concerne la théorie du soleil, d'une confiance presque illimitée dans les travaux de son précurseur, il ait cru devoir le corriger pour la théorie de la lune et en particulier à propos de mouvements moyens déterminés avec une précision extrêmement remarquable à nos yeux.

17. Cette circonstance nous engage à examiner de plus près comment Hipparque avait établi ses périodes et comment il en avait justifié l'exactitude. Si ses démonstrations ont laissé quelque chose à désirer, l'attitude de Ptolémée se comprendra d'autant mieux que ce dernier n'avait certainement plus à sa disposition le recueil des observations chaldéennes, qui avait probablement péri sans retour lors de l'incendie de la bibliothèque d'Alexandrie en Al avant J.-C. Il ne connaît, en effet, les anciennes observations que par les travaux d'Hipparque; il ne juge donc ces travaux que par ce qu'il y trouve. S'il avait pu contrôler d'une autre façon l'exactitude des périodes indiquées par son précurseur, il aurait reconnu sans doute qu'il n'avait point à corriger les mouvements moyens qui s'en déduisent.

Considérons tout d'abord la première période. En critiquant la

marche suivie parHipparque, Ptolémée {Syntaxe, IV, 2) s'exprime comme suit :

« Aussi nous voyons Hipparque apporter la plus grande attention dont il est capable au choix des intervalles des éclipses qu'il considère dans ses recherches; prendre soin notamment que, dans un cas, si Tintervalle commence lorsque la lune est dans son mouvement le plus rapide, il ne finisse pas lorsqu'elle est dans le plus lent; dans l'autre, que, si l'intervalle commence avec le mouvement le plus lent, il ne finisse pas avec le plus rapide; corriger enfin la différence résultant de l'inégalité du soleil, si faible qu'elle fût, puisqu'il ne s'en fallait que d'un quart de dodécatomorie environ que le soleil eût parcouru pendant chaque intervalle un nombre entier de circonférences et ne fût ainsi revenu au point où son inégalité produisait le même effet. »

18. Ce passage semble mettre hors de doute qu'Hipparque, pour établir l'exactitude de sa première période, avait comparé deux couples d'éclipsés de lune offrant chacun, entre les phases similaires des éclipses, l'intervalle de la dite période; que, dans un de ces couples, la lune était aux environs de l'apogée, dans l'autre, aux environs du périgée; qu'enfin la correction de l'inégalité du mouvement du soleil avait été faite pour la détermination du mouvement en longitude.

Mais il ne semble pas qu'Hipparque ait fait, dans les écrits qu'il avait publiés, porter la comparaison sur plus de deux couples. D'ailleurs, aucun des deux ne se retrouve dans la Syntaxe; entre les dix-neuf éclipses qui y sont mentionnées, il n'existe en effet aucun intervalle qui soit égal à la période d'Hipparque ou multiple de cette période.

En tout cas, il paraît certain qu'Hipparque n'a pas suivi la marche indiquée plus haut (6) comme étant celle que Ptolémée attribue aux anciens mathématiciens. Quoiqu'il soit passé, au moyen de ses tables du soleil, de la longitude moyenne à la longitude vraie, il ne s'en est pas servi pour le calcul de la longitude moyenne, soit qu'il n'eût pas encore terminé ses

travaux sur la longueur de Tannée solaire, soit que quelque motif particulier, tenant, par exemple, aux pratiques de l'astrologie judiciaire, l'ail conduit à rapporter le mouvement de longitude de la lune aux étoiles fixes et non pas aux points équinoxiaux.

19. Si, en effet, en supposant l'année tropique de 365 j. { — 75-5, comme l'a fait Hipparque, on cherche le mouvement en longitude du soleil pendant la période de 126,007 j. 1 h., on trouve que la différence avec un nombre entier de circonférences est, non pas 7° ^, mais seulement 3° 52". Il en résulte que l'effet de la précession des équinoxes aurait été, pendant 'la période de A^il9'S\ soit par an 46"8.

Ce nombre est sensiblement plus exact que celui de 1° pour 100 ans admis, par Ptolémée, d'après les travaux d'Hipparque pour la détermination directe de la précession. Mais, quand bien même le Bithynien aurait seulement, comme il est probable, assigné à ce mouvement des limites dont Ptolémée aurait à tort pris l'inférieure au lieu de la moyenne, il n'en est pas moins incontestable que pour la théorie de la lune, Hipparque n'a pas fait usage de déterminations étrangères à cette théorie et à l'exactitude desquelles il ne pouvait suffisamment se fier. Il a donc dû évaluer directement le déplacement de la lune par rapport aux fixes pendant la durée de sa période.

Or, dans cette évaluation, il s'est trompé d'environ 1", comme nous l'avons dit; d'autre part, il ne pouvait se servir, pour la faire, d'observations anciennes, les indications des Chaldéens sur le lieu des éclipses n'ayant certainement aucune précision; il a donc dû procéder d'après des observations comprises dans une période beaucoup plus courte.

20. Ptolémée remarque que, dans la grande période d'Hipparque, le nombre des lunaisons et celui des révolutions d'anomalie sont l'un et l'autre divisibles par 17. En effectuant cette division, on trouve une petite période de 251 lunaisons et 269 révolutions d'anomalie (environ 20 ans 3 mois 2).

. Cette petite période n'est pas éclipliq e; car elle n'offre pas une concordance sufiisante avec la révolution de latitude, comme cela a lieu pour son multiple par 17, qui comprend à très peu près 4-, 630 i mois dracontiques. D'un autre côle elle est également trop éloignée de correspondre à un nombre entier d'années pour que la durée puisse en être évaluée sans correction par la mesure du temps écoulé entre disux oppositions choisies pour représenter son début et sa fin.

On ne voit pas cependant comment Hipparque aura pu effectivement mesurer le mouvement en longitude de la lune par rapport aux fixes autrement qu'en l'étudiant directement pendant cette petite période, sauf précisément à faire les corrections nécessaires, soit pour l'inégalité du soleil, soit pour la parallaxe, ce qui ne présentait pas de difficultés insurmontables. Une erreur de 2' environ commise dans celte évaluation est d'ailleurs 1res admissible et expliquerait celle de 1" pour la grande période.

La mesure exacte du mouvement en longitude n'a pas au reste une importance capitale dans la théorie de la lune; Ptolémée ne se sert nullement, par exemple, de la détermination d'Hipparque ; ce qui est essentiel, c'est la mesure précise de la durée du mois synodique et de celle de la révolution d'anomalie.

Si donc Hipparque était arrivé, de façon ou d'autre, à reconnaître sa petite période de 251 lunaisons, ce qui lui restait à faire, c'était d'en démontrer l'exactitude, en cherchant un multiple de cette période qui ramenât régulièrement des éclipses et en comparant ces éclipses. Il obtenait en même temps la durée exacte de la période et pouvait se borner à exposer, dans ce but, la comparaison de deux couples d éclipses.

21. Je considère comme probable que ce fut là, en réalité, la marche qu'il suivit dans ses recherches, marche différente de celle que Ptolémée trouva indiquée dans ses écrits; mais j'ai à dire comment je conçois qu'il arriva à constituer d'abord sa petite période de 251 lunaisons.

Remarquons tout d'abord qu'IIipparque dut partir de la période

chaldéenne et rechercher Terreur au bout d'un certain nombre de multiples de celte période. 11 lui était, en premier lieu, facile do déterminer avec une très grande exactitude la durée du mois synodique. Il lui suffisait, dans les listes d'éclipsés, d'en chercher deux séparées par un intervalle de temps considérable, mais arrivées à très peu près à la même longitude. On peut prendre comme exemple la plus ancienne éclipse mentionnée par la Syntaxe, en 721, et la première donnée par l'an 200 av. J.-C. En divisant l'intervalle par le nombre de lunaisons écoulé, on trouve très exactement la durée de la lunaison. Dès lors, entre deux éclipses quelconques, on peut aisément avoir le mouvement moyen, tandis que le calcul des positions du soleil donne le mouvement vrai.

Si le mouvement vrai est trouvé égal au mouvement moyen, l'intervalle des deux éclipses constitue une période d'autant plus exacte que la concordance est plus rigoureuse. Faire dans ce but une recherche à tâtons, si l'on possède des listes d'cclipses complètes, c'est le procédé qu'indique Ptolémée. Mais il suppose un travail immense qu'Hipparque pouvait probablement éviter.

Remarquons que la théorie de la lune avait déjà été ébauchée par Apollonius et qu'une table donnant l'équation du centre en fonction de l'anomalie moyenne devait dès lors exister. La comparaison d'une série de couples d'éclipsés à un intervalle d'un exéligme par exemple pouvait dès lors suffire pour reconnaître approximativement l'arc d'anomalie manquant pour l'exactitude de la période chaldéenne et faire par suite substituer au rapport fff supposé par cette période un autre plus exact, comme |f|. Si, en même temps, comme cela semble prouvé d'après ce que nous avons dit, Hipparque observait directement les mouvements lunaires par rapport aux fixes, s'il mesurait, par exemple, les différences de longitude de la lune à une même étoile lors des passages successifs de l'astre au méridien, il pouvait, soit arriver par là à la même conclusion, soit la contrôler et au besoin la rectifier. La période de 251 lunaisons ainsi reconnue, il n'y avait

plus, ainsi que nous l'avons dit, qu'à la vérifier sur un de ses multiples.

22. Les conjectures que nous venons d'émettre au sujet de la première période d'ilipparque vont, en partie au moins, se trouver confirmées par ce que nous allons dire au sujet de la seconde; cette fois la question est beaucoup plus claire.

Ptolémée a commis une singulière inadvertance en présentant cette période comme ramenant les éclipses avec la même amplitude et la même durée. Il est bien certain qu'Hipparque n'a pu la donner comme telle.

Si cette période établit la concordance entre la révolution synodique et celle de latitude, elle ne comprend nullement un nombre entier de mois anomalistiques (la différence est de près de 11 jours) et ne corrige pas davantage finégalité du mouvement solaire. Ce n'est donc pas à proprement parler une période écliptique et la comparaison des éclipses de lune observées ne serait nullement susceptible de la ftiire reconnaître.

Si d'ailleurs deux éclipses étaient séparées par l'intervalle de cette période, il est clair que leur amplitude serait très différente, aussi bien que leur durée. L'amplitude dépend en effet non seulement de la distance de la lune au nœud le plus voisin, mais aussi de son diamètre apparent, c'est-à-dire de son éloignement de la terre qui varie avec l'anomalie; la durée de féclipse dépend en outre de la vitesse du mouvement vrai; on ne pourrait donc démontrer le fait caractéristique de la période, qu'il y a concordance entre les révolutions synodiques et les révolutions dracontiques.

23. Au début du chap. 8 du livre IV, Ptolémée fait allusion à une méthode assez compliquée qu'il aurait employée, soit dans un ouvrage antérieur, soit dans une première édition de la Syntaxe, pour déterminer le mouvement moyen journalier de latitude; c'est dire qu'il n'avait jamais considéré comme valable la détermination d'Hipparque.

Dans cette méthode, Ptolémée supposait connus, d'après Hipparque, le diamètre moyen apparent de la lune, le rapport moyen de ce diamètre à celui du cercle d'ombre, enfin Tinclinaison de Torbite lunaire. En choisissant deux éclipses très éloignées et arrivées lorsque la lune était dans son mouvement moyen, donc à sa distance moyenne, il pouvait dès lors calculer, pour le milieu de chacune de ces éclipses, d'après la grandeur de celle-ci, la position de la lune sur son orbite et par suite sa différence de longitude avec le nœud; de la position vraie, il passait à la position moyenne en faisant la correction de l'équation du centre. Il avait donc le mouvement moyen de latitude (c'est-à-dire par rapport au nœud) pour l'intervalle des deux éclipses et il en concluait le mouvement journalier moyen.

Cette méthode exigeait des calculs assez longs sur des données passablement incertaines; quelques résultats qu'elle ait pu donner entre les mains de Ptolémée, elle ne paraît nullement avoir été celle d'Hipparque. Car au livre YI, chap. 9, il nous est dit très expressément que ce dernier a déterminé la période de latitude par la comparaison de deux éclipses (i) (de 720 et 141 avant J.-C.) dont l'intervalle comprend 7,160 mois synodiques et 7,770 mois draconliques. Dans chacune de ses éclipses, le quart du diamètre aurait été obscurci; Hipparque en aurait conclu le retour à la même distance du nœud ascendant, quoique dans l'une d'elles la lune fût à son apogée, dans l'autre au périgée. La différence aurait été négligée comme se compensant avec celle produite par la différence des anomalies. Ptolémée discute longuement l'erreur commise et l'estime à ^ de degré, sans s'apercevoir au reste que, s'il avait eu raison, sa correction du mouvement moyen de latitude eût été beaucoup trop faible.

Si l'on prend l'intervalle entre les milieux de ces deux éclipses, tel que Ptolémée l'a évalué, à 579 années vagues 103 jours 22 heures 59 minutes en temps moyen, on reconnaît qu'il a

(1) La seconde est, de celles que mentionne la Syntaxe, la seule qui ait été obsenée par Hipparque.

sLiITi quHipparque fit une évaluation différente de 12 minutes, pour qu'en divisant par 7,770 il ait trouvé exactement la durée du mois dracontique qui se déduit de sa période. Cette différence d'évaluation est parfaitement supposable.

24. Nous aurions donc bien là l'exposition faite par Hipparque et il faut reconnaître qu'elle prêtait à de sérieuses objections. Mais nous n'avons pas évidemment l'ensemble de ses recherches; il les a résumées dans un calcul facile à saisir, sans développer les motifs qu'il avait de considérer les erreurs comme s'éliminant d'elles-mêmes. L'exactitude du résultat ne pouvant être l'effet d'un heureux hasard, nous devons penser qu'il reposait sur un échafiiudage plus complexe et offrant par là même des garanties plus réelles.

La seconde période d'Hipparque est, en tout cas, et c'est là le point capital, une période calculée, non observée. Elle n'avait donc pour lui qu'une valeur théorique et ne pouvait guère lui servir que pour le calcul de ses tables.

Il l'a déduite, par une correction, d'une période écliplique réelle, mais qui n'offre pas une concordance aussi parfaite des deux révolutions comparées. Cette période de 7,160 lunaisons, 7,770 révolutions de latitude, est elle-même le décuple d'une autre qui, sans être elle-même réellement écliptique, se trouve déjà plus exacte que la période chaldéenne pour l'accord des lunaisons et du retour en latitude.

Hipparque a donc dû partir de la période chaldéenne et évaluer la discordance entre l'opposition et le retour à la même latitude au bout de l'exéligme par exemple; il aura ainsi trouvé une correction qui l'aura conduit à la période de 716 lunaisons. Procédant de même sur celle-ci, il aura, en la décuplant, trouvé une nouvelle discordance et il en aura conclu la nécessité d'une pareille correction. C'est une marche analogue à celle que nous avons supposée pour la première période, mais dans ce cas, elle apparaît beaucoup plus nettement.

En résumé, Hipparque semble avoir, par des procédés rela-

tivement simples, tiré des observations anciennes d'éclipsés, en même temps que de celles qu'il a pu faire lui-même, tout le parti possible pour lii détermination exacte de la durée des révolutions lunaires; mais en exposant les résultats auxquels il était arrivé, il s'est borné à un petit nombre de comparaisons plus ou moins sujettes à critique; Ptolémée, à qui faisait défaut l'ensemble des matériaux utilisés par son précurseur, a pu se tromper sur la valeur de ces comparaisons.