CHAPITRE XI
Les Tables de la Lune.
1. Le chapitre IV, 3 de la Sijntaxe donne les tables des mouvements moyens de la lune, construites sur le même plan que les tables du soleil.
Le mouvement moyen journalier en longitude de la lune est déterminé, de fait, en ajoutant au moyen mouvement journalier du soleil le mouvement moyen journalier d'élongalion {oi.zzyi\^ différence des longitudes des deux astres), c'est-à-dire le quotient de 360" par la longueur du mois synodique(29j.31'50"8"'20"),soit
Les tables sont donc affectées, pour la longitude moyenne de la lune, de la même erreur que les tables du soleil, ce qui élimine les effets de celte erreur pour tous les phénomènes qui ne dépendent que de la situation des deux astres.
L'élongation est donnée à part dans les tables pour la facilité des calculs.
Le mouvement moyen d'anomalie par jour eût été, d'après Hipparque, de
i3°3'53''56'"29"-38^'38" et le mouvement moyen de latitude
13M3'45"39'"40'M7M9^^; Ptolémée admet au contraire, pour l'anomalie,
13°3'53''56'"17"Sr59^' et pour la latitude
2. Tous ces mouvements sont supposés comptés sur le plan de l'écliptique. Il faut donc, en principe, comme nous l'avons dit, regarder Torbite de la lune comme projeté par rabattement sur ce plan.
D'après Hipparque, le mouvement ainsi projeté peut être représenté par deux hypothèses géométriques différentes, mais aboutissant au même résultat {Syntaxe, IV, 4).
Dans l'hypothèse de l'épicycle de rayon e'R, dont le centre décrit un cercle concentrique de rayon R, la longitude moyenne de la lune est celle du centre de l'épicycle; l'anomalie moyenne est l'arc parcouru sur l'épicycle à partir de l'apogée, arc compté en sens inverse du mouvement de longitude. La durée de révolution du centre de l'épicycle est donc le mois tropique T, tandis que celle de la lune sur l'épicycle est le mois anomalistique A, qui est plus long.
Dans la même hypothèse, l'équation du centre (différence de la longitude moyenne à la vraie) est l'angle sous lequel on voit, de la terre, le rayon mobile de l'épicycle à l'extrémité duquel se trouve la lune. L'anomalie vraie n'entre pas en considération; ce serait l'angle sous lequel on verrait de la lune le rayon mobile joignant le centre de la terre à celui de l'épicycle.
Dans l'hypothèse de l'excentrique de rayon R, dont le centre est à u.e distance e'R de celui de la terre, la longitude moyenne est celle qui apparaîtrait pour l'observateur placé au centre de l'excentrique, et l'anomalie moyenne est l'arc décrit sur l'excentrique à partir de l'apogée. L'anomalie vraie est l'angle sous lequel cet arc est vu de la terre; l'équation du centre serait l'angle sous lequel de la lune on verrait la distance de la terre au centre de l'excentrique. Il faut d'ailleurs remarquer que ce centre et par suite la ligne des absides sont entraînés par un mouvement de révolution direct, dont la valeur pour un jour est la différence des moyens mouvements journaliers de longitude et d'anomalie,
AT
dont la période est par conséquent -r — ^p •
Dans les deux hypothèses, le mouvement moyen de latitude est la somme du mouvement moyen de longitude de la lune et du
mouvement rétrograde en longitude du nœud (ou de la limite boréale). L'époque correspondante des tables est déterminée pour qu'elles donnent la distance en longitude de la lune à la limite
boréale. Si D est la durée du mois dracontique, la période de
DT
révolution du plan de l'orbite sera ^^ — ^'
3. Les éléments de l'époque donnés par Ptolémée pour le l^"" thoth de l'an 1 de Nabonassar sont d'ailleurs (livre IV, chap. 7 et 8) :
Longitude moyenne de la lune : 41^22'
Anomalie moyenne comptée de Tapogée : 268°49' Élongalion : 70'^37'
Distance en longitude moyenne de la lune à la limite boréale : 354°15'
Les premiers de ces éléments sont déterminés d'après le calcul fait, comme on l'a vu dans le chapitre précédent, sur le plus ancien groupe ternaire d'éclipsés. De fait, Ptolémée avait dû s'arranger pour retrouver la longitude moyenne assignée par Hipparque, tandis que, d'après ses hypothèses, ses éléments de l'époque pour l'anomalie et la latitude devaient différer de ceux de son précurseur (i).
Le dernier élément est déduit de la comparaison de la seconde éclipse de l'ancien groupe avec une autre, également employée par Hipparque, de l'an 502 avant notre ère. Ptolémée admet, d'après les circonstances de ces deux éclipses, que pour leur milieu, les positions vraies de la lune étaient à des distances égales de part et d'autre de la limite boréale. Cette hypothèse suffit évidemment pour déterminer cette distance et par suite la longitude de la limite boréale. Mais il est inutile d'insister sur le
(1) Si l'on part de la seule éclipse observée par Hipparque dont il soit fait mention dans la Syntaxe, en 141 avant J.-C, à Rhodes, le 29 janvier, à 10 heures 10 minutes après midi, Hipparque aurait dû assigner à l'époque une anomalie moyenne de 269ol' et une distance à la limite boréale de 354'>4' (en supposant, pour ce dernier élément, que la table d'Hipparque pour l'équation du centre ait été la même que celle de Ptolémée).
peu de confiance que mérite le procédé; en réalité, pour corriger les éléments de Tépoque donnés par Hipparque, Ptolémée a dû, partant d'une éclipse calculée d'après les tables de son précurseur et d'accord avec l'observation, tenir simplement compte du changement qu'il avait apporté à l'estimation du moyen mouvement journalier de latitude.
4. Pour compléter la théorie de la lune telle qu elle peut être -déduite de ses éclipses, il reste à déterminer l'excentricité c' et à calculer, d'après la valeur trouvée, une table de l'équation du centre qui sera d'ailleurs en tout analogue à celle du soleil. Nous avons déjà vu comment a procédé Ptolémée {Syntaxe, IV, 5 pour le calcul de l'excentricité. Il s'arrête à une valeur voisine
des deux qu'il a trouvées (mais les dépassant quelque peu)
5° lo'
— ^= 0,0875. Le maximum correspondant de l'équation du
cenlre est de 5"!'; si l'on tient compte des erreurs possibles d'observation chez les anciens [Ptolémée admet (^) jusqu'à 7™^], et, d'autre part, de cette circonstance que, d'après le principe nîôme de la méthode, le coefficient admis actuellement doit être diminué de celui de l'évection, le résultat obtenu est réellement très satisfaisant. A ce point de vue, la théorie de la lune est sensiblement plus avancée que celle du soleil.
Celte circonstance n'a rien qui doive surprendre; les anciens possédaient en effet, dans les observations d'éclipsés dont les Chaldéens avaient donné l'exemple, un ensemble de matériaux beaucoup plus considérable et plus assuré que leurs observations d'équinoxes et de solstices. Mais ici se pose une question assez difficile à résoudre. De cet ensemble de matériaux dont il ne nous reste que de trop rares débris, Hipparque avait-il, pour
(*) Ce qui correspond à un mouvement en longitudQ de la lune de 4'. On peut donc encore, comme pour le soleil, négliger la troisième puissance de l'excentricité, et représenter la valeur de l'équation du contre, d'après les tables de Ptolémée , pat- la formule :
— L = C sni m — sin 2 ?n .
l'excentricilé, comme pour ses périodes, tiré tout le parti possible? Avait-il, au contraire, laissé à Ptolémée la possibilité de corriger heureusement sa table de Téquation du centre?
5. A première vue, il semble que cette dernière alternative soit la vraie. Nous avons vu en effet qu Hipparque avait développé deux calculs conduisant pour Texcentricilé à des valeurs très différentes, qui, pour le maximum de l'équation du centre, donneraient l'une 5°58', Tautre 4°32' (moyenne 5" 15'). Nous n'avons d'autre part aucune preuve qu'il ait construit une table d'inégalité d'après la valeur adoptée par Ptolémée. Ce dernier nous laisse même ignorer que son précurseur ait donné une pareille table.
Mais à cet égard il ne peut y avoir de doutes. Si, comme nous l'affirme Pline {Hist. nat., II, 12), Hipparque avait annoncé le cours de la lune et du soleil et prédit les éclipses pour une période de 600 ans, il a évidemment fondé ses calculs sur une valeur déterminée de l'excentricité de l'orbite lunaire, simf à assigner les limites de l'erreur d'après les valeurs extrêmes auxquelles conduisaient des groupes particuliers d'éclipsés. Le faijqu'il a publié les calculs relatifs à ces groupes indique donc simplement qu'il a procédé scientifiquement en déterminant, d'après des observations choisies à cet effet, les limites extrêmes entre lesquelles on pouvait assigner la valeur de l'excentricité.
Qu'il ait choisi ces observations, on ne peut davantage en douter. 11 suffît de remarquer que ni les unes ni les autres n'ont été faites par lui-même. Le groupe le plus récent nous reporte d'ailleurs à l'époque où florissait Apollonius et, comme nous savons que ce géomètre s'est particulièrement occupé de la théorie de la lune, nous pouvons nous demander si Hipparque n'a pas simplement repris un de ses calculs, et si l'élégant procédé de la détermination de l'excentricité au moyen de trois éclipses n'est pas précisément une invention du géomètre de l'erge.
