Nous sommes dès lors d'autant plus en droit de douter
qu'Hipparque ait réellement suivi, pour la détermination de Texcentricité, la voie indiquée par Ptolémée et dont Timportance théorique est évidemment très inférieure à la valeur pratique. Rien ne nous prouve que, si Hipparque a poussé le scrupule jusqu'à mettre en lumière des résultats qui pouvaient infirmer ses tables, il ait senti le besoin de justifier celles-ci, et pour les établir, il pouvait suivre une voie qui se présentait naturellement à l'esprit et qui permettait d'utiliser, non seulement quelques observations isolées, mais la totalité des matériaux recueillis.
L'homme qui a osé le premier prédire les éclipses pour une période de 600 ans, ne doit pas avoir reculé devant les calculs nécessaires pour vérifier ses hypothèses en remontant la série complète des 600 années environ pour lesquelles il possédait des observations.
Il pouvait être long, mais rien n'était plus simple et plus indiqué que de rechercher, pour la totalité des éclipses notées pendant les 600 ans, la valeur, d'après les tables de la lune, de l'anomalie et de la longitude moyennes et celle de la longitude vraie, d'après les tables du soleil. Dès lors on obtenait en regard de chaque anomalie moyenne l'équation du centre correspondante; ce tableau empirique permettait de déterminer aisément la valeur à assigner à l'excentricité pour ramener au minimum la différence entre les équations vraies données par la théorie et celles déduites de l'observation. En même temps, on pouvait reconnaître les groupes d'éclipsés pour lesquels la divergence restait la plus grande et choisir en conséquence ces groupes pour le calcul des limites extrêmes à assigner à l'excentricité.
7. Si Hipparque a réellement procédé de la sorte, il a certainement dû arriver à une détermination beaucoup plus voisine de celle de Ptolémée que de la moyenne arithmétique entre les limites extrêmes calculées par lui-même. La table de l'équation du centre de la Syntaxe aurait, dans ce cas, très probablement été purement et simplement copiée par Ptolémée, car si ce dernier l'avait corrigée, il n'eût sans doute pas manqué de le faire nettement ressortir.
Il est même très possible qu'IIipparque n'ait eu lui-même qu'à adopter (ou à corriger très légèrement) une table antérieure déjà dressée par Apollonius. Dans cette hypothèse, on s'expliquerait encore mieux qu'il n'ait pas justifié cette table, qu'il ait, au contraire, cherché quelles erreurs elle pouvait entraîner, qu'enfin Ptoléniée se soit contenté de montrer qu'elle concordait suffisamment avec deux groupes distincts d'éclipsés.
Il est certain qu'en tous cas, si la construction des grandes périodes doit être exclusivement laissée à Hipparque d'après le (émoignage exprès de Ptolémée, Apollonius avait singulièrement dû déblayer le terrain en ce qui concerne la théorie particulière de l'épicycle, dont il est l'inventeur véritable, et qu'il appliqua surtout à l'étude des mouvements de la lune. Il avait à sa disposi. tion les mêmes matériaux qu'Hipparque; il avait à faire triompher un système qu'il avait construit de toutes pièces; n'a-t-il pas dû appliquer à la question toute la puissance de son génie, n'a-t-il pas dû, dès lors, réussir autant qu'il était possible de le faire?
Sans doute nous nous mouvons ici sur le terrain des conjectures; mais il est essentiel de remarquer qu'Apollonius semble n'avoir développé par écrit que ses travaux de pure mathématique, que, du moins, ce qu'il avait fait en astronomie semble n'avoir été connue de Ptolémée qu'indirectement, par l'intermédiaire d'IIipparque. Nous ne pourrons donc probablement jamais déterminer si la théorie qu'Apollonius substitua aux antiques procédés chaldéens fut parfaite dès lors, ou si elle eut besoin d'une correction. Mais il semble que, si cette correction avait été apportée par Ptolémée, nous le lirions nettement dans la Syntaxe; si elle l'eût été par Hipparque, nous y lirions probablement comment il l'avait justifiée.
8. La théorie exposée jusqu'à présent suffit pour calculer les conjonctions et les oppositions; mais l'observation directe des mouvements lunaires pendant les intervalles des syzygies révèle entre les positions vraies et les positions calculées d'après cette théorie un désaccord notable. Il tient à deux causes : d'une part,
le mouvement comporte des inégalités dont on ne peut rendre compte dans Thypothèse de l'épicycle simple; d'un autre côté, la parallaxe, qui dépend de la distance de la lune à la terre et de sa situation par rapport au zénith, la fait apparaître en un lieu différent de celui où la verrait un observateur placé au centre de la terre.
C'est à rétude des effets de ces deux causes qu'est consacré le \ï\re\ de h Syntaxe.
Il devient de plus en plus difficile de reconnaître, d'après le témoignage de Ptolémée, ce qui lui est dû, ce qui, au contraire, appartient à Ilipparque dans ces théories complémentaires. En particulier, pour la seconde inégalité du mouvement lunaire, tantôt il déclare (livre IV, ch. 4) que presque tous ses précurseurs n'y ont fait aucune attention, tantôt il reconnaît (livre V, ch. 1) que ses calculs sont fendes sur les observations et descriptions d'Hipparque aussi bien que sur ses propres mesures. Et de fait les données qu'il emprunte au Bithynien lui suffiraient amplement pour la détermination des éléments de cette inégalité. Quant à la théorie, dont on lui attribue d'ordinaire tout le mérite, il ne la revendique pas expressément.
Nous allons, en tous cas, chercher tout d'abord à l'exposer le plus fidèlement possible.
9. A l'hypothèse de l'épicycle de rayon e'R dont le centre décrit un déférent de rayon R, concentrique à la terre, Ptolémée substitue celle d'un épicycle de rayon e' R dont le centre décrit un déférent excentrique de rayon R (1 — e,) ; le centre de cet excentrique est à une distance e^R de celui de la terre, en sorte que le rayon R correspond à la distance entre la terre et l'apogée de l'excentrique, celle entre la terre et le périgée dudit excentrique
étant R(l —2 e.).
. La ligne des absides de l'excentrique se meut d'un mouvement rétrograde et de telle sorte que l'angle qu'elle forme avec la ligne des absides de l'épicycle est constamment double de Téiongation de la lune par rapport au sojeil. Le centre de l'épicycle repassera
donc à Tapogée de Texcentrique à des intervalles séparés par un demi-mois synodlque. Ptolémée admet que ces passages ont lieu au moment des syzygies moyennes; par suite, la distance moyenne de la terre à la lune lors des conjonctions et oppositions est R avec une variation possible en plus ou en moins de e'R, rayon de répi cycle.
Au contraire, le centre de Tépicycle repasse au périgée de l'excentrique au moment des quadratures moyennes. La distance moyenne de la terre à la lune lors des quadratures serait donc R(l — 2 e,) avec une variation possible de e'R en plus ou en moins.
Il résulte immédiatement de ces hypothèses que la seconde inégalité du mouvement lunaire doit s'évanouir aux syzygies et qu'elle disparaît également aux quadratures, lorsqu'à ce moment l'anomalie (arc parcouru par la lune depuis l'apogée de l'épicycle) est 0° ou 180^
10. Le mouvement, ainsi défini, se complique d'une dernière hypothèse. L'épicycle est supposée tourner autour de son centre, en sorte que l'origine, à partir de laquelle on compte l'anomalie moyenne, se déplace et oscillé à droite et à gauche de l'apogée de l'épicycle. Cette origine que Ptolémée appelle apogée moyen, reste d'ailleurs sur la droite qui joint le centre de l'épicycle à un point (équanl) (i) de la ligne des absides dé l'excentrique situé à une distance e^R du centre de la terre, entre ce centre et le périgée de l'excentrique.
C'est ce mouvement particulier que Ptolémée appelle la prosneuse de l'épicycle. Sa conception est évidemment en contradiction complète avec le postulat pythagorien de runilbrmité des mouve* ments circulaires dans le ciel.
D'après l'ensemble des hypothèses, la correction de la seconde inégalité du mouvement lunaire nécessite une double opération* Il faut tout d'abord, après avoir déterminé Télongalion, en déduire
(') Désignation technique postérieure à Ptolémée.
Teffet de la prosneuse et corriger en conséquenee, par l'addition ou la soustraction d'une prosthapkérèse^ Tanomalie moyenne" pour obtenir l'arc compté à partir de l'apogée vrai, puisque l'équation du centre est calculée en supposant cet apogée vrai comme origine. Cette première opération revient ainsi à apporter à l'équation du centre une première correction dépendant de rélongation.
Il faut, en second lieu, tenir compte de ce fait que dans les tables l'équation du centre est calculée en supposant que la distance de la terre au centre de l'épicycle soit le rayon R pris pour unité, tandis que d'après la nouvelle hypothèse, cette distance est variable avec l'élongalion. De là la nécessité d'une seconde correction, la seule au reste qui apparaisse sous la forme d'un terme additif, puisque la première ne donne lieu qu'à un changement de l'argument.
11. Ainsi, soit m' l'anomalie moyenne de la lune; l'équation du centre E'i doit se chercher dans la table en prenant pour argument, non pas m', mais m' -^ p^ p représentant le déplacement angulaire correspondant à la prosneuse.
Si l'on désigne l'élongation par a et la distance variable de la' terre au centre de l'épicycle par p,
(1) p = gicosâa + y{i — e^y —^elsin-.^T.;
la valeur de p est théoriquement déterminée par l'équation
,a. . c.sinSa
(2) tg« = - — -— r--
^ ^ ""^ p + ^iC0s2a
Ainsi, p est fonction de l'élongation, et la table de l'anomalie générale de la lune {Synt,, V,7) le donne (colonne 8) en prenant' pour argument (col. 1, 2) le double de l'élongation {^).
(») La colonne \ donne de 0» à OO» lés multiples de 6, de 90» à 180» les raaltipîes de 3; la colonne 2 donne les compléments à 360 des nombres delà colonne 1, compléments pour lesquels on a la ménae valeur des fonctions données par la table.
L'équation du centre est donnée ensuite, en fonction de Targument m' -\-p, par la colonne 4 qui reproduit simplement la table de l'anomalie simple du livre IV. Théoriquement :
n) laF- - g' sin (m' + p)
^'^ 'ë^i — j +g'cos(m' +p)'
La d l'Tdrence complète entre la longitude vraie et la moyenne, E'i = l' — L', serait donnée par la relation
^ p + e' cos (m' + p)
Pour fournir cette différence au moyen d'une table à simple entrée, Ptolémée procède comme suit :
Si l'on cherche le maximum de E2 quand on fait varier la distance p, et qu'on laisse, au contraire, m' -}-p constant, on obtient ce maximum, que je désignerai par El + A, au moyen de la relation :
. /^. .X c' sin (m' + p)
(5) sm(E;4-A) = - \ -^ -•
^^ ^ 1 / 1 — 2^4 + e'cos(m +p)
La colonne 5 des tables donne A en prenant m' H- p pour argument.
Enfin la différence E^ — El s'obtient en multipliant A par le rapport plus petit que l'unité :
(6) co^^X-^— ^'
qu'on trouve exprimé en minutes dans la colonne 6, en prenant pour argument le double de l'élongation.
Pour en finir avec la table générale, disons dès maintenant qu'une septième colonne donne la latitude X,
(7) lg*A = tgecosiS,
en prenant pour argument la distance en longitude p de la lune à la limite boréale, après avoir, bien entendu, passé, au moyen de la correction Eâ, de la distance moyenne à la distance vraie. L'inclinaison t est fixée à 5", valeur déjà admise pnr Ilipparque.
12. Cherchons à nous rendre compte des résultats de celte théorie. Nous avons dit (p. 205) que, dans les développements des formules, on pouvait négliger la troisième puissance de e'. Il n'en
est pas de môme pour e,, à laquelle Plolémée assigne la valeur
-TTTyT- — 0,171944 ...; mais nous pouvons en tout cas négliger c\
et même e'*ej.
On a dès lors, pour représenter les nombres que fournissent les tables de la Syntaxe :
^1 + e^ -4- —el Jsin2a — (^1 4-2^i')sin4a + — sinCa,
E'i =e' sin (m' + p) — ^ sin2(m' + p),
* — ' sin (m' + p) — -p — ^-^^ sin 2 {m' -+- p).
1 — 2.^1 ' '' {i — ^e^y En multipliant 1 par le rapport ^ "^^-^ , on aura
E; - e; = iil^li) sin (m' + p) - ^^J^^i^ sin 2 (m' + /)) ,
d'où, pour Tinégalité totale (') :
e' fc'*
E', = — sin (m' + p) — ^—^ sin 2 Cm' + »),
et, en développant:
+ e'ei(l + 2ei)sin(2a — w')
— e'e| sin2a[cos(2x+ m') + 2 ces (2 a — ?«')].
La première de ces trois lignes représente ce que devient
r équation du centre :
e'* E' := e' sin m' — - sin2w',
(') Valeur théorique d'après la relation (4). Le calcul indiqué (relations 5 et 6) donne, pour le second terme, une valeur sensiblement double. Les tables comportent donc, de ce fait, avec la théorie, une différence qui peut aller jusqu'à 12'.
quand on augmente Texcentricité e' du terme e' e^ (1 -f- 2 e,), qui est précisément le coefficient de la seconde ligne.
On reconnaît dans celle-ci Tinégalité que, depuis Boulliau, les astronomes appellent évection. La valeur du coefficient correspond, d'après les données de la Syntaxe^ à lo|9'30"; elle est donc assez rigoureusement déterminée. Quant à celui de l'équation du centre: 5°!' + 1M9'30" = 6«20'30", il se trouve désormais un peu trop fort, puisqu'on admet maintenant 6° 16' 24' pour ce coefficient, 1°20' pour celui de l'évection.
La troisième ligne enfin, dont le coefficient correspond environ à 18', représente une inégalité qui n'est sensible ni aux syzygies ni aux quadratures, et a pour période principale le demi-mois synodique. Le maximum en peut atteindre près de 32'. Celte inégalité est évidemment l'origine de celle qu'isola plus tard Aboul- Wefa, et que Tycho-Brahé détermina sous le nom de variation.
13. Les observations que cite Ptolémée à l'appui de sa théorie sont très peu nombreuses. Elles comportent des déterminations directes de la différence de longitude du soleil et de la lune, opérées par Ptolémée au moyen de son organon, qu'il décrit à cet effet, ou par Hipparque, sans doute avec son instrument universel (III, 13, 14). Deux observations, dont une seule est de lui, semblent suffisantes à l'auteur de la Syntaxe pour assigner la valeur maxima de A, soit 2e'e,(l + 2e,), valeur dont il déduit immédiatement celle de la seconde excentricité e^. Deux autres, toutes deux d'Hipparque, suffisent de même pour justifier la théorie de la prosneuse.
Ces observations sont choisies de telle sorte que la parallaxe de longitude soit négligeable, ou bien cette parallaxe est Corrigée; les deux premières sont faites en quadrature, la lune étant à peU près dans son mouvement moyen; m' et a sont donc tous deux voisins de 90" ou de 270°. Les deux autres ont été faites pour les aspects d'octant (a = di 45°), la lune étant voisine dans l'une de l'apogée moyen, dans l'autre du périgée moyen de l'épioycle.
Enfin, l'accord de ces observations avec les tables est passablement grossier; la divergence varie de 6' à 12'.
14. Il semble qu'en tous cas on doive exclusivement attribuer à Ptolémée la représentation géométrique de l'évection. Cette représentation a le grave défaut de supposer des variations énormes pour la distance de la terre à la lune^ entre R(l + e'), soit 65015', en supposant R = 60o, et R(l — 2e, — e'), soit 34** 7'. Le diamètre apparent de la lune devrait donc varier dans les mêmes proportions, de près du simple au double, ce qu'il serait facile d'apprécier sans mesure effective.
Or Hipparque, comme nous le verrons plus loin, s'était préoccupé d'étudier les variations du diamètre apparent de la lune, au moyen de mesures directes que Ptolémée déclare avoir répétées après lui, mais dont il prétend n'avoir rien pu conclure.
Il ne me paraît pas douteux que c'est précisément cette question des diamètres apparents qui aura empêché Hipparque de compléter là théorie de l'évection, alors qu'il avait réuni, comme observations, des matériaux aussi complets que ceux mis en usage par Ptolémée; il n'aura pu trouver un accord suffisant entre ses mesures de diamètres et les distances résultant des combinaisons géométriques essayées par lui.
Dans les hypothèses de l'épicycle ou de l'excentrique simple, la variation des distances de la terre à la lune ou au soleil est sensiblement double de celle qui résulte du mouvement elliptique. Pour le soleil, l'excentricité est trop faible pour que les anciensj avec leurs moyens imparfaits d'observation, aient pu reconnaître l'erreur entraînée par leurs suppositions; mais pour la lune, où leur théorie conduisait à une variation de plus de 6' dans le diamètre apparent, les mesures d'Hipparque avaient dû lui inspirer quelques scrupules, et l'observation de la durée des éclipses ne pouvait que les confirmer. Il s'agissait donc de résoudre cette difficulté avant de la compliquer en admettant des variations encore plus grandes.
Ptolémée franchit hardiment l'obstacle en en contestant là
réalité; mais sa représentalion géométrique des mouvements lunaires était évidemment inacceptable, même pour les anciens, à moins de la restreindre, ce qu'il ne fit nullement, au calcul des positions, sans prétendre en déduire la variation des éloignements.
15. On impute d'ordinaire au principe même des mouvements circulaires et uniformes les complications de la théorie de Ptolémée et les absurdités auxquelles elles conduit. On devrait n'y voir que des fautes dans l'application de la méthode.
Le principe pythagorien ne se prêtait pas, sans doute, à l'explication de la variation des diamètres apparents du soleil et de la lune en même temps qu'à celle des inégalités de leurs mouvements. Il eût donc fallu suivre la voie où Hipparque semble avoir voulu entrer, constituer à part une théorie de la variation des diamètres apparents suivant l'anomalie, en attendant que l'on pût la réunir à celle des mouvements en longitude.
Pour cette dernière, si la complication est dans la nature des choses, elle se retrouve forcément dans les représentations, qu'elles soient algébriques, comme celles des modernes, géométriques, comme celles des anciens. Quant au choix du mode de représentation, l'un est tout aussi légitime que l'autre. Si nos calculs sont plus commodes, les combinaisons antiques permettaient des intuitions claires, comme en réclamaient les habitudes de l'époque, et dans les limites, alors assez éloignées, des erreurs d'observation, elles pouvaient finalement conduire aux mêmes résultats.
Mais, dans un cas comme dans l'autre, on peut apprécier l'élégance de la solution qui intervient. Celle qu'a proposée Ptolémée pour l'évection est incontestablement défectueuse à cet égard, et il lui eût, d'autre part, été très facile de réduire singulièrement les variations à supposer pour la distance de la lune à la terre.
Si, au lieu de vouloir expliquer la première inégalité par un épicycie et la seconde par un excentrique, il eût opéré inversement, ou s'il eût monté un second épicycie sur le premier, le
rayon de celui qui aurait ainsi représenté l'évection pouvait être ramené à la valeur e'e^{[ + 2e,) R, relativement faible; Ptolémée pouvait aussi assigner à ce rayon un mouvement uniforme {îlx—m), et éviter la malheureuse conception de Véquant. Dans ces conditions, la solution du problème eût été réellement satisfaisante, d'après l'état des données.
16. Si Ton ne peut faire un mérite réel à Ptolémée de sa théorie géométrique de Vévection, il n'en est pas moins juste de reconnaître que les tables qu'il a construites en conséquence ont dû apporter en tout cas un plus grand degré de précision dans les prévisions. Mais il convient à cet égard de rechercher jusqu'à quel point Hipparque avait pu lui faciliter la voie.
Pour simplifier la discussion, considérons les termes de Téquation du centre et de l'évection, sous la forme approchée :
asinm' + &sin(2a — m');
leur ensemble forme l'équation totale sur laquelle la théorie déduite des éclipses n'a permis de reconnaître que la partie :
(a — 6)sin»î'.
Si Hipparque a systématiquement observe les quadratures, il
la reconnu qu'il fallait ajouter (pour a = ^) un terme :
A=:2&sinȔ'.
Or ce terme est une prosthaphérèse (fonction périodique) rentrant dans le type de celles des inégalités simples du soleil et de la une. Sans fiiire aucune théorie géométrique, Hipparque devait naturellement reconnaître cette ressemblance, et après avoir déterminé le maximum de cette prosthaphérèse, il pouvait la calculer mathématiquement, c'est-à-dire dresser la colonne 5 des tables de Ptolémée.
Dans le cas général, le terme à ajouter à (a — b)s\nm\ pour compléter l'inégalité totale, est approximativement :
bs\nm' -\- 6sin(2a — m') = 26sin'asin?n' + 6sin2acosm',
ce qui, pour l'aspect d'octant (a = -1, donne :
bsinm' + ôcosw'.
Hipparque, en observant ces aspects, dut donc discerner deux termes, le premier sensiblement égal à la moitié de la correction pour les quadratures et s'annulant par conséquent pour m'== 0 ou = 180°, le second d'importance comparable, mais s'annulant au contraire quand la lune est vers son mouvement moyen
(m'^OO^our^STO").
Il savait enfin que, dans le cas général^ ces deux termes devaient varier avec l'élongation a, puisqu'ils s'annulaient avec elle.
Voilà au moins, semble-t-il, jusqu'où il dut pousser l'étude de l'évection.
La théorie de Ptolémée revient de fait à déterminer l'un des termes :
26sin'asinw'
par son rapport, dépendant de a, avec le maximum A; et d'autre part, . à faire rentrer l'autre terme dans l'équation du centre, en augmentant l'argument m' d'une quantité p dépendant de a. Approximativement :
p = rsm2a,
C'est là en particulier l'effet de la prosneuse.
Il n'était pas absolument impossible à Hipparque d'arriver aux mêmes conséquences effectives en construisant suivant des lois mathématiques plus ou moins simples des tables analogues aux colonnes 3 et 6 de Ptolémée, mais il est improbable qu'il ait été jusque-là.
Cependant, s'il n'a fait qu'ébaucher un mode de calcul de révection, et s'il a laissé à ses successeurs le soin d'en perfectionner la théorie, ce n'en est pas moins à lui qu'on doit en faire remonter la découverte, puisque Ptolémée n'a, comme observations, apporté aucun fait nouveau.
