CHAPITRE XII

Les Parallaxes de la Lune et du Soleil.

1, Après avoir exposé sa méthode pour le calcul des positions vraies de la lune, Ptolémée (livre V^^ch. 11) passe à la correction de parallaxe. La table qu'il donne (ch. 18) est malencontreusement construite d'après ses hypothèses sur la variation des distances entre la terre et la lune.

Soit en général z la distance angulaire géocenlrique d'un astre au zénith, z' cette même distance observée de la surface de la terre, h la différence z' — z, r le rayon de la terre, p la distance de l'astre au centre de la terre, on aura :

- sm c

- cosz

Ptolémée fait, en réalité, ses calculs en substituant sin/t à tg/j. Nous verrons plus loin comment il détermine le rapport -,

soit pour le soleil, soit pour la lune, lors de l'apogée. Quant aux variations de distance, il les néglige s'il s'agit du soleil; poui^ la lune, au contraire, il calcule les parallaxes /t,, h^, /i„ A^j correspondant respectivement à quatre distances différentes : R(l + e'); R(l - e'); R(l — 2e, + e'); R(l —2e,— e').

Sa table donne, en prenant comme argument (1'^'' colonne) la distance zénithale z (de deux en deux degrés de 0° à 90°); 1° dans la deuxième colonne, la parallaxe du soleil (maximum â'ôO"); 2'' dans la troisième, la parallaxe /i, de la lune (maxi* mura 53'54''); â° dans la quatrième, la différences.-^ A,; 4° dans.

la cinquième, la parallaxe h^; 5" dans la sixième, la différence /'*— As-

La septième et la huitième colonnes donnent dos coefficients plus petits que l'unité (exprimés en minutes et secondes) y,, et y.,, qui ont pour argument la moite de l'anomalie comptée à partir de l'apogée vrai sur l'arc le plus court de l'épicycle.

Enfin la neuvième colonne donne un coefficient analogue, y., qui a pour argument l'élongation moyenne comptée dans le sens qui donne le plus petit arc.

La parallaxe H, pour une anomalie et une élongation donnée, se calculera par la formule :

Les coefficients ;x, et y-j se déduisent des relations 1 +c' — 1^1 + <?'*+ 2e' cosrw

'ie'

i — 2e^ + e' — 1/(1— 2 (?,)" + e'^ + 2<^' (1— 2g,)cos

où m est l'argument défini ci-dessus; quant à <j., on a 1—2^1 cos2a— yïU^^ë^f^^ëïTïn^oL

2. Tout ce calcul de la parallaxe de la lune repose sur une fausse hypothèse, et il n'y a pas d'intérêt à discuter le procédé approximatif employé encore ici par Ptoléméc pour éviter la cons* truction d'une table à double entrée.

Quant aux parallaxes de longitude et de latitude, il les déduit comme suit de la parallaxe de hauteur.

On aura tout d'abord déterminé, d'après la longitude vraie calculée pour le moment de l'observation, le nombre d'heures équinoxiales dont la lune est éloignée du méridien. Les dernières tables du Livre H, en prenant ce nombre d'heures pour argument, donnent la distance zénithale de l'aslrcj qui sert à calculer la

parallaxe de hauleur^ et, d'autre part, l'angle de récliptique avec le vertical passant par la lune.

En multipliant la parallaxe de hauteur par le sinus de cet angle, on a la parallaxe de latitude; par le cosinus, la parallaxe de longitude.

Le procédé est passablement grossier, notamment en ce qu il suppose la lune sur récliptique; Ptoléniée remarque que, comme l'usage des tables est principalement destiné au calcul des éclipses de soleil, et qu'alors la lune est voisine de récliptique, l'erreur se trouve très réduite. Il enseigne d'ailleurs le moyen de corriger les angles donnés par les tables du livre II, en tenant compte de la lalilude de la lune (').

D'après lui, Ilippnrqne, qui avait écrit deux livres de Parallactiqucs, aurait fait le calcul de cette correction pour une distance particulière de la lune à son nœud, mais aurait commis une erreur en confondant le vertical passant par la lune avec le vertical passant par le point de l'écliptique ayant la même longitude que la lune.

3, Le problème des paralla.xos avait été posé en principe dès que le dogme de la sphéricité de la terre avait été admis et que Ton avait essayé de calculer les distances du soleil et de la lune; mais la question n'avait d'intérêt pratique que pour le calcul des éclipses de soleil; elle ne pouvait, d'autre part, être approfondie avant l'invention de la trigonométrie. Il est donc probable que si les mathématiciens alexandrins, en particulier Apollonius de Perge, purent jeter les fondemenls de la théorie, elle ne futconstituée que par llipparque.

Celui-ci dut en particulier, en faisant pour les distances des hypothèses que nous allons examiner tout à l'heure, dresser des tables analogues à celles de Ptolémée, mais sans les colonnes 5, G, 8 et 9, qui n'ont pas d'application pour les syzygies.

(•> Cette correction n'est qu'approximative; Ptolémée semble n'avoir plus de modèle pour calculer des triangles sphériques, et il commet plusieurs inexactitudes en remplaçant des cordss par des arcs ou inversement..

Il enseigna de même à déterminer la distance zénithale d'après la longitude vraie, et à déduire de la parallaxe de hauteur celles de longitude et de latitude. Il s'arrêta avant d'approfondir les corrections relatives à l'inclinaison de l'orbite de la lune et en laissant, bien entendu, sa théorie faussée par les erreurs provenant de l'hypothèse de l'épicycle.

Ptolémée, loin de la faire progresser, la compliqua d'éléments qui ne pouvaient qu'introduire des erreurs beaucoup plus considérables dans le cas général et dont il était inutile de tenir compte dans le calcul des éclipses.

11 nous reste à examiner s'il fut plus heureux dans la détermination qu'il fit des parallaxes horizontales, c'est-à-dire du rapport du rayon de la terre à la distance de la lune ou du soleil.

4. La méthode qu'il indique pour la lune est la suivante : ' Il aurait construit un appareil spécial pour mesurer directement la distance zénithale de la lune lors de son passage au méridien (i). Avec cet appareil, on observait la lune lorsque sa longitude était d'environ 90*', et lorsqu'elle avait atteint sa limite boréale, il pouvait, dit-il, vérifier l'inclinaison de l'orbite; en observant, au contraire, lorsque la longitude était voisine de 270", il mesurait des distances zénithales considérables, correspondant par suite à de fortes parallaxes, qu'il déduisait de la comparaison de la position apparente avec la position vraie calculée d'après la théorie.

(}) Cet appareil (machine parallactiqiie) consiste essentiellement en detix règles assemblées à pivot par une de leurs extrémités; l'une de ces règles est fixe et verticale; l'autre, mobile dans le plan vertical, est munie de deux pinnules qui permettent de voir la lune entièrement. Sur la règle fixe, à partir du sommet de l'angle qu'elle forme avec la mobile, une longueur égale à celle de cette dernière est graduée suivant la division sexagésimale; à l'extrémité de cette graduation se trouve un pivot autour duquel se meut une troisième règle mince, avec laquelle on peut prendi-e l'intervalle des deux premières (coi de de l'angle qu'elles forment) et, en labattant sur la graduation, mesurer cet intervalle.

Ptolémée paraît avoir combiné cet appareil pour avoir de grandes divisions s4ns employer des ceiéles, dont la graduation n'oflrait pas sans doute assez d0 garanties d'exactitude.

Connaissant la parallaxe et la distance zénithale vraie, il pouvait calculer, pour le moment de Tobservation, la distance de la lune, évaluée en rayons de la terre. Comme enfin sa théorie lui donnait une relation entre cette distance, la distance moyenne, Tanomalie et rélongalion, et qu'il possédait ces derniers éléments, il lui était facile de déterminer la distance moyenne.

C'est ainsi qu'ayant mesuré une distance zénithale méridienne de 50° 55', il en conclut une parallaxe de 1°7', et pour la distance de la lune, une valeur de 39 * rayons terrestres au moment de l'observation, 59 en moyenne.

5. Évidemment celte, méthode n'a aucune valeur; elle suppose en effet que la théorie des mouvements lunaires est amenée à une perfection dont elle était alors encore bien éloignée; en particulier, les anciens n'avaient pas reconnu l'inégalité de l'inclinaison de l'orbite qui, au moment de l'observation rapportée par Ptolémée, atteignait près de 9'; la lune étant en quadrature augmentait par suite la parallaxe de près d'un sixième.

C'est cette circonstance qui, compensant les conséquences erronées de la représentation géométrique de l'éveclion, a permis à Ptolémée d'arriver, pour la valeur moyenne de la distance de la lune, à un nombre relativement satisfaisant. Mais il est clair que, s'il avait fait des observations systématiques suivant la méthode qu'il indique, il n'aurait nullement obtenu des résultats concordants. Il a donc dû, parmi ses observations, en choisir une qui conduisît à Une distance moyenne sensiblement la même que celle déjà déterminée autrement par Hipparque; du même coup, il apportait à sa théorie géométrique de l'évection une justification certainement spécieuse, mais sur la valeur de laquelle il ne semble pas qu'il ait vraiment pu se faire illusion.

6. En ce qui concerne la détermination du diamètre appalrëht de la lune, Ptolémée rejette la mesure directe avec la dioptre d'Hipparque (v. plus haut p. 46) comme donnant des angles trop forts, mais probablement surtout parce que l'usage de cet instru-

^ 224 -^ ment aurait trop aisément prouvé Terreur de sa théorie des varialions de la distance de la lune. Il se sert des observations chaldéennes de deux éclipses de lune arrivées dans le voisinage de Tapogée de Tépicycle (à 19° 53' et 28° 5' d'après l'anomalie moyenne), et pour la plus grande phase desquelles il calcule la distance au nœud et Tare perpendiculaire à l'orbite allant jusqu'à l'ccliptique. D'après la valeur de ces arcs et la proportion des éclipses, il a pour chacune d'elles la somme (ou la différence) du rayon du cercle d'ombre et d'une fraction déterminée du rayon de la lune. Il en conclut que, lorsque la lune est à la plus grande dislance de la terre (64 \ rayons terrestres d'après sa théorie), le diamètre apparent de la lune est 31' 20', et que celui du cercle d'ombre en est le multiple par 2 f .

Admettant enfin que le diamètre apparent du soleil à sa dislance moyenne est égal au diamètre apparent de la lune à sa plus grande distance (i), il évalue la distance du soleil à 1210 rayons terrestres.

Le procédé qu'il emploie à cet effet, et qu'il déclare d'ailleurs emprunté à Hipparque, est bien antérieur à ce dernier, car il se trouve en fait dans le traité d'Aristarque de Samos, et il doit probablement remonter à Eudoxe.

7. Prenons pour unité le rayon de la terre; soient s, / ceux du soleil et de la lune. S, L les distances de ces astres, d et d' leurs demi-diamètres; soit enfin n le rapport du rayon du cercle d'ombre à celui de la lune, et D la distance du centre de la terre au sommet du cône d'ombre. On a aisément

ni D-L"

-ni

et d'à

IJeurs

Donc

5 = 8 sinrf,

/ — L sinrf'.

wsind'

+ î>md

11 Ce postulat semble nier la possibilité des éclipses annulaires de soleil.

et en particulier, si l'on suppose d:= d' ,

Arislarque de Samos admet que n=2; celle valeur, trop faible, n'avait probablement encore été eslimce que d'après la durée des plus longues éclipses de lune connues. Pour délerminer,

d'après cette relation, s et l, il chercha à évaluer leur rapport -

ou K, qui est celui des parallaxes horizontales du soleil et de la

lune.

Or, ce rapport est le sinus de l'angle sous lequel on verrait du soleil le rayon de l'orbile lunaire lors de la quadrature, ou, autrement, du complément de l'élongation au moment précis de la dichotomie. En attribuant à cet angle une valeur de 3°, probable-

ment comme limite supérieure, Aristarque assigna au rapport -r

les limites 18 et 20, moyenne 19. Déjà avant lui Eudoxe et Phidias, le père d'Archimède, avaient respectivement calculé les valeurs 9 et 12 pour ce rapport; ils avaient évidemment suivi le même procédé, mais admis pour l'angle à déterminer des valeurs supé-

rieures, soit - ou - de signe.

Ératosthène (^) semble avoir élevé la valeur de n à 2,3 et réduit à sin37'30" le rapport des parallaxes horizontales; il estima de la sorte L à environ 69 | rayons terrestres, et S à 89 L (s = 27 rayons terrestres).

S Ptolémée revient en fait pour y à peu près au rapport d'Aris-

larque de Samos; il y a donc de ce fait recul de la théorie, tandis que pour la distance de la lune, l'estimation est beaucoup plus satisfLUsanle. L'erreur commise pour la plus grande distance est par excès, mais elle n'atteint pas un centième de celte distance. Cette erreur sufTisait cependant pour f\iire tomber l'évaluation

(•) Voir, dans les Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, V,, ma note : Aristarqtie de Samos.

de la distance du soleil au-dessous de 10000 rayons terrestres, au lieu de 2-4000. Si Ptolémée n'a trouvé qu'un chiffre bien inférieur, cela lient d'ailleurs à ce qu'il a pris pour n une valeur un peu trop forte (2,6 au lieu de 2,575), à ce qu'il a également estimé trop haut le diamètre apparent de la lune. Mais son plus grand tort est d'avoir appliqué à la détermination de la distance solaire une relation qui ne peut servir à la calculer avec une approximation quelconque, parce que les erreurs les plus légères commises sur la valeur des données entraînent pour celte distance des variations énormes.

8. Hipparque, qui avait traité spécialement Des dislances et des grandeurs du soleil et de la lune, paraît avoir reconnu le vice de la méthode et avoir essayé d'entrer dans une voie nouvelle. Malheureusement, nous n'avons sur ses travaux, à cet égard, que des indications insuffisantes; il ne semble pas, d'ailleurs, avoir obtenu des résultats beaucoup plus satisfaisants.

Nous savons, en tout cas, qu'il considérait la lune, non pas comme Ptolémée à sa plus grande distance, mais bien à sa moyenne distance. Il admettait alors {Syntaxe, IV, 8), pour le rapport au diamètre de l'astre de celui du cercle d'ombre, la valeur n = 2,5,

et pour le diamètre apparent :^d' =^ = 38' 13'5f". . .

Il avait dû déterminer n par un procédé analogue à celui qu'emploie Ptolémée et d' par la mesure directe, au moyen de sa dioptra.

Quant au diamètre apparent du soleil, il semble, d'après le langage de Ptolémée (Syntaxe, V, 14), avoir, comme les astronomes antérieurs, admis qu'il était égal à celui de la lune pour la moyenne distance de celle-ci (').

(1) Ces diamètres étaient évalués antérieurement d'après le temps mis par le disque à émerger au-dessus de l'hoHzon. lorsque l'astre est sui- l'équatt^ur. La mesure de ce temps au moyen de l'écoulement de l'eau paraît avoir été faite par les anciens Égyptiens, qui auraient admis pour le diamètre du soleil ~g de la circonférence (Macrobe), soit l'' |. Aristarque calcule pour une valeur de 2o ; mais, d'après Archimède, il admettait seulement y-J— de la circonfét-encè (soit 30'), rap-

Hipparque avait, dès lors, par la relation

nsind' + sind = - -h -,

Là o

la somme des parallaxes horizontales du soleil et de la lune; mais il se rendait compte que, Terreur possible sur la valeur de celte somme pouvant dépasser la parallaxe du soleil, cette relation pouvait tout au plus servir à évaluer celle de la lune, en déterminant d'une autre façon, soit le rapport des parallaxes, suivant la méthode d'Aristarque, soit la parallaxe du soleil.

9. Voici, en effet, comment s'exprime VioXkwèe {Syntaxe, 'S ,\\) : « C'est principalement en partant du soleil qu'Hipparque a fait D cette recherche (des parallaxes); comme, en effet, d'après une » relation dont nous parlerons plus loin, si la distance, soit du » soleil, soit de la lune, est connue, il s'ensuit que l'autre l'est » également, il essaie de déduire celle de la lune de celle du » soleil; supposant d'abord que la parallaxe du soleil a la plus 3) petite valeur qui soit susceptible de tomber sous les sens, il en » conclut la distance ; puis il expose le calcul d'une éclipse de » soleil, d'une part, comme si la parallaxe était insensible; » d'autre part, comme si elle avait une valeur appréciable. )) Suivant chacune de ces deux hypothèses, il a pour la distance » de la lune un nombre différent, tandis que celle du soleil reste

port déjà connu de Thaïes. Archimède (dans VÂrénairé) assigne comme limites les rapports -^ et g4-g, soit 27' et 32' 55" 37"'.,..

En réalité, le langage de Ptolémée est ambigu : rendant compte de ses observations avec la dioptra d'Hipparque, il dit avoir constaté que les variations du diamètre apparent du soleil sont insensibles; et, pour la terre, avoir trouvé que son diamètre est le même que celui du soleil lorsqu'elle est à sa plus grande distance et non à la distance moyenne, comme le supposaient les astronomes antérieurs (SxoXouOw; taîç xwv TrpoTlpwv "jTroOédeai). On ne voit pas clai ement s'il comprend Hipparque parmi ceux-ci. iVIais il est très imp.obable, en tout cas, que le Bithynien ait commis l'erreur où Ptolémée est tombé à cet ég;ird.

Ce que celni-ci ajoute, que son évaluation du diamètre apparent minimum de la lune (31' 20'') est inférieuie à celle d'Hipparque, prouve que les mesures de celui-ci étaient toutes trop fortes, mais au-si qu'elles ne concordaient pas avec les variations de distances supposées d'après la théorie de l'épicycle.

» indécise et que non seulement on en ignore la quantité, mais » qu'on ne sait même pas s'il y a vraiment une parallaxe. »

Ce passage ne peut guère se comprendre que comme suit : l'eRet de la parallaxe du soleil ne peut être appréciable que pour les éclipses de cet astre; c'est donc d'après leur observation comparée au calcul que l'on doit déterminer cette parallaxe, s'il est possible de le faire; on peut ainsi, théoriquement, trouver la ditférence des parallaxes dont on connaît déjà la somme. Mais, en fait, Ilipparque ne parvint pas à trouver entre la somme et la différence une divergence dépassant l'erreur possible. Il chercha donc à déterminer simplement une limite supérieure de la parallaxe du soleil, ne pouvant prendre que 0 comme limite inférieure. Il eut ainsi pour la distance de la lune deux limites.

La limite inférieure correspondait naturellement à l'hypothèse de la nullité de la parallaxe du soleil. Si Ilipparque admettait en général

n =z 2.5, sin d' =: sin ^ = 17' 24\ .

* + * r=r 3.5, r + ^ = l^Si" = 0,0169166...,

il avait, dans cette hypothèse,

La limite supérieure semble devoir se déduire d'un renseignement fourni par Cléomède (II, 1, p. 65): « Ilipparque a, dit-on,

prouvé que le soleil est 1050 fois la terre.» Nous aurions alors

6* :;= 1050, par conséquent s — 10 {, -t = 3 |, ce qui est le

rapport admis par Ptolémée, enfin

L = 6ot f==34i S = 2103, 6 L 2

pour une parallaxe horizontale du soleil d'environ l'40'.

Théon de Smyrne(^5fr., 39) indique une valeur intermédiaire : «Ilipparque aurait prouvé que le soleil est environ 1880 fois la

terre (1). i) C'est-à-dire s^ = 1880 ou environ s = \^~; on en conclura approximativement :

pour une parallaxe horizontale du soleil d'environ i'SO'.

10. Si Ton peut avoir confiance dans les témoignages de Cléomède et de Théon de Smyrne, il semblerait qu'Iiipparque aurait multiplié ses hypothèses sur la parallaxe du soleil encore plus que ne l'indique Ptolémée. Quoi qu'il en soit, il a évalué la dislance moyenne de la lune^dans la supposition d'une parallaxe du soleil sensible, avec une légère erreur par excès, mais au moins avec une approximation au moins aussi satisfaisante que celle de son successeur. Quant au soleil, il reconnut que le défaut de précision des observations ne permettait aucune évaluation sérieuse de la distance; il assigna toutefois à son éloignement un minimum dont Ptolémée eut évidemment le tort de ne pas tenir compte. Enfin, s'il a admis pour ?i une valeur trop faible et pour d' une valeur trop forte, son estimation (par excès) de la somme des parallaxes horizontales du soleil et de la lune est en tout cas beaucoup plus exacte que celle de Ptolémée.

En résumé, ce dernier, en ce qui concerne les distances des deux astres, loin de réaliser aucun progrès, a plutôt fait rétrograder la science en abandonnant les sages réserves de son précurseur, et en proposant une méthode d'observation illusoire.

L'esprit critique lui a fait en particulier défimt sur un point que nous avons déjà indiqué, mais sur lequel il convient d'insister. Ilipparque avait fait, pour les diamètres apparents de la lune, des mesures qui ne concordaient pas avec l'hypothèse de répicycle ou de l'excentrique. Les calculs de Ptolémée, faits sur des éclipses de lune, auraient dû de même le conduire à cette

(•) Théon ajoute: «et la terre 27 fois la lune», c'est-à-dire J = J ; mais ce nombre semble corrompu, car il n'est nullement d'accord avec les hypothèses admises par Hipparque.

conclusion que cette hypothèse ne pourrait servir à représenter les variations de distance de l'astre.

Comme on l'a vu, il admet, avec une parallaxe du soleil sensible, que la plus grande distance de la lune est de 64 f rayons terrestres, ce qui correspond, d'après sa théorie, à une distance moyenne de 59 rayons : différence 5 rayons ■. Mais, dans les mêmes conditions, Ilipparque avait trouvé pour la distance moyenne 60 f, ce qui réduit à 3 rayons ~ l'excédent de la plus grande distance, et il avait établi que la distance moyenne de 59 rayons n'était supposable que pour une parallaxe du soleil nulle.

L'observation des éclipses, ou même seulement le calcul sur les anciennes observations conservées, aurait dû suffire aux anciens, comme le montre ce rapprochement, pour leur faire reconnaître, au moins pour la lune, la nécessité d'abandonner ou de modifier gravement l'hypothèse de l'épicycle. Hipparque paraît avoir soupçonné cette nécessité; Ptolémée écarta les scrupules de son précurseur et ne recula même pas devant des combinaisons géométriques en contradiction flagrante avec l'observation des diamètres apparents.