CHAPITRE XIII

Les Prédictions d'éclipsés.

1. La conclusion du chapitre précédent trouve une éclatante confirmation dans cette circonstance que, lorsqu'il s'agit, non plus de calculer des parallaxes, mais de reconnaître les limites des éclipses, c'est-à-dire lorsqu'on ne peut imputer à une erreur d'observation la divergence avec la théorie, Ptolémée abandonne la sienne purement et simplement, en se contentant de dire qu'il est plus sûr de s'en rapporter aux phénomènes.

Il s'agit (livre VI, ch. 5) de déterminer le diamètre apparent maximum de la lune. Ptolémée rapporte les circonstances de deux éclipses de lune, l'une de \1A avant notre ère (nuit du 30 avril au 1" mai), l'autre de 141 (nuit du 27 au 28 janvier), cette dernière observée par Hipparque. Il calcule que, pour ces éclipses, la lune se trouvait respectivement à 'i63°-40' et 178°46' de l'apogée de répicycle,et il la considère dès lors comme étant à sa distance minima dans les deux cas. Il trouve également que, pour le premier, dans lequel les -^ du diamètre ont été éclipsés, le centre de la lune se trouvait en ce moment à 8° 20' de son nœud; que, dans la seconde éclipse, qui fut de ^, la distance au nœud était de i0°36'.

Des distances au nœud, il déduit, pour le milieu de l'éclipsé, les distances du centre de la lune à l'écliptique, et trouve que la différence de ces dislances, qui correspond à ^ du diamètre, est de 11' 47"; le diamètre de la lune est donc trois fois plus grand, soit de 35' 20". Les mêmes données lui suffisent pour trouver le diamètre du cercle d'ombre, qu'il évalue à 1*32'.

2. Ces déterminations, évidemment empruntées ù Hipparque, sont en désaccord complet avec la théorie géométrique, en ne prenant même que celle de l'excentrique ou de Tépicycle simple.. Nous avons vu, en effet (p. 224), que, par des calculs analogues sur des éclipses observées à la plus grande distance de la lune, Plolémée avait fixé à 31' 20* le diamètre minimum de cet astre, et, d'autre part (p. 205), qu'il avait assigné à Texcentricité une valeur de 0,0875. La différence entre le diamètre minimum et le maximum aurait donc dû être de 6', tandis qu'elle ne ressort qu'à 4' avec sa détermination directe du diamètre maximum.

Avec le diamètre moyen admis par Hipparque, 33' 19" 51'", et pour la même valeur de l'excentricité, la discordance est du même ordre; on déduirait en effet de ces données 36' 25" pour le diamètre apparent. Avec la limite inférieure de l'excentricité admise par Hipparque (p. 206), on trouverait encore une valeur trop forte, 35' 57".

L'hypothèse de l'épicycle ou de l'excentrique conduisait ainsi, sur la ditîérence entre les diamètres maximum et minimum de la lune, à une erreur atteignant près d'un doigt, et celte erreur avait été reconnue par Hipparque aussi bien que par Plolémée. C'est là, au point de vue théorique, le vice capital du système de l'astronomie ancienne, et il est clair que la responsabilité en incombe surtout à l'auteur de la Syntaxe, T^nisque, loin de chercher à corriger un défaut évident, il l'a aggravé par les nouvelles combinaisons géométriques qu'il a introduites, ainsi qu'on l'a vu dans les chapitres précédents.

3. On a pu remarquer, d'autre part, que le diamètre moyen supposé par Hipparque, ou celui qui ressort des déterminations de Ptolémée pour le maximum et le minimum, soit 33' 20", est notablement plus fort que le diamètre réel, 31' 4". Si l'on remarque que l'antique détermination de —^ de la circonférence, soit 30', attribuée à Thaïes, est en réalité plus voisine de la vérité, tout en étant trop faible, on est conduit à penser que celle d'Hipparque, obtenue directement, avait le caractère d'une limite

supérieure. Quant aux calculs de Ptolémée, ils reposent évidemment sur des bases trop incertaines pour entrer sérieusement en ligne de compte.

En ce qui concerne le diamètre moyen du soleil, que Ton estime de 32', Hipparque semble également en avoir fixé trop baut la valeur, s'il Ta égalé (p. 227, note) au diamètre moyen de la lune. Ptolémée, au contraire, en le réduisant à 31' 20', Ta évalué trop bas, et cette erreur avait d'autant plus de gravité que son estimation, pour la lune, était entachée d'une faute en sens inverse. Il arrivait en effet ainsi, comme je l'ai déjà dit, à nier la possibilité d'éclipsés annulaires du soleil.

4. Il est aisé de voir, en tous cas, que les anciens devaient, pour les limites de distance de la lune à son nœud permettant une éclipse, conclure à des valeurs un peu trop fortes. Au reste, ils faisaient ces calculs pour la position moyenne de la lune et non pour la position vraie, comme on le fait de nos jours. Ainsi, pour les éclipses de lune, Ptolémée arrive à fixer la limite supérieure de la distance au nœud à 15^12'. Pour les éclipses de soleil, comme il tient compte de la parallaxe maxima de la lune seulement pour les climats septentrionaux compris entre celui de 13'' et celui de 16'' (Méroé et le Borysthène), il trouve deux limites différentes: 20^41' si la latitude de la lune est boréale, 11° 22' si elle est australe.

Il nous reste à examiner les procédés qu'il indique dans la Syntaxe pour la prédiction des éclipses.

5. Tout d'abord, il dresse des tables pour faciliter le calcul des positions moyennes au moment des conjonctions et des oppositions.

Il détermine à cet effet la date de la conjonction moyenne qui eut lieu dans le premier mois (thoth) de la première année de Nabonassar au 24 de ce mois, 44' 17" de jour après midi. Or, 25 années égyptiennes (de 365 jours) font à très peu près 309 lunaisons; la différence à retrancher des 9,125 jours de la

période de 25 ans n'est en fraction de jour que de S'^T''.^'" (Pô"" 50"). Il suit de là que, pendant un très grand nombre de périodes de 25 ans, le mois de thoth de la première année de ces périodes ne comprendra qu'une seule conjonction, tombant à des dates très voisines.

C'est, semble-t-il, uniquement la commodité résultant de cette circonstance qui fait adopter par Ptolémée, pour les tables du livre VI, la période de 25 années égyptiennes au lieu de celle de 18 années, qu'il emploie partout ailleurs dans la Syntaxe, mais qu'il abandonna également pour l'autre dans ses Tables manuelles .

Hipparque lui avait-il à cet égard donné l'exemple? Nous n'en savons rien. Mais si le Bithynien était constamment resté fidèle à la période babylonienne, il est probable que les astronomes de l'école d'Alexandrie s'étaient déjà, avant Ptolémée, servis de celle de 25 ans. La concordance que cette période établissait entre l'année vague égyptienne et le cours de la lune a dû, en tous cas, être remarquée de très bonne heure et bien avant même l'apparition des savants grecs sur les rives du Nil.

6. Les tables de conjonctions ou d'oppositions moyennes de Ptolémée donnent donc, dans une première colonne, des nombres croissant par progression de 25 depuis 1 jusqu'à 1101, et indiquant l'ordre, dans l'ère de Nabonassar, de la première année des périodes successives.

Dans une seconde colonne est indiquée, en jours, minutes et secondes de jour, la date du premier mois (thoth) pour la première conjonction ou la première opposition de l'année.

Trois colonnes suivantes donnent en degrés, minutes et secondes, les anomalies moyennes (à partir de l'apogée) du soleil et de la lune et la distance moyenne de la lune à sa limite boréale pour les moments correspondants de conjonction ou d'opposition.

Une autre table (des mois) donne les multiples par 12 de la durée du mois synodique et des mouvements moyens de longitude du soleil, d'anomalie et de latitude de la lune, pendant le mois synodique.

Enfin, une table des années simples, pour les 24 années qui ne sont pas premières dans chaque période, donne la date de tholh où tomberait la première conjonction (ou opposition), si dans la première année ce phénomène fût arrivé à midi du 1®' thoth; suivent en regard les mouvements correspondants de longitude du soleil, d'anomalie et de latitude de la lune.

7. Il est aisé de calculer, avec ces tables, le moment des conjonctions et oppositions moyennes pour chacune des 1,125 premières années de Tère de Nabonassar. Ainsi, prenons la 27° année et cherchons la première opposition : comme 27 = 26 + 1, nous prenons les nombres en regard de 26 dans la table des icosipeiitaélérides et 1 dans celle des années simples.

La première pleine lune moyenne a donc eu lieu le 28 thoth, 18'' 6" 48' après midi (c'est-à-dire le 29 thoth, vers 6 heures du matin), pour Alexandrie. Les pleines lunes suivantes se trouveraient de même, par addition, au moyen de la table des mois.

En njoutant de même les nombres correspondants des tables, on trouvera pour le même moment :

Dislance du soleil à l'apogée 286" 21' IT

Anomalie de la lune .^9° 1' 31'

Dislance de la lune à la limite boréale. 268° 53' 9"

Cette dernière distance rentrant dans les limites pour les éclipses de lune, ce phénomène a dû avoir lieu pour Topposition dont il s'agit.

8. Ptolémée enseigne qu'après les calculs précédents, il faut, corriger le temps moyen qu'ils ont donné pour passer au temps vrai, et déterminer ensuite le moment de la conjonction ou opposition vraie.

Appliquons les règles qu'il donne à l'exemple choisi. Correction du temps moyen en temps vrai (i). — La longitude moyenne s'obtiendra en ajoutant G5"30' à la distance à l'apogée ;

la longitude vraie, en ajoutant à l la prosthaphérèse, qui, d'après la distance à l'apogée, se trouve de 2" 15' 39" :

L'ascension droite correspondante (table du livre II, 7) est

On a d'ailleurs, pour l'époque,

/o = 330° 45', Lo = 331° 52' 22", Ro = 332° 1' 34";

d'où

d = / - /o — 21° 6' 11", D=:R -Ro = 22°34'42''.

L'équation du temps (D — rf)4™ = 5™ 53' est à retrancher du temps moyen ; le temps vrai de la pleine lune moyenne est donc 18'^55^du28 tholh.

0. Calcul de la pleine lune vraie. — La prosthaphérèse pour la lune est, d'après son anomalie, de — 4° 5' 15"; au moment de l'opposition moyenne, la distance de la lune au point diamétralement opposé du soleil est donc la somme des deux proslhaphérèses, soit 6°20'54".

A cette distance, il faut, d'après Ptolémée, ajouter son douzième, et, en divisant la somme par le mouvement horaire vrai de la lune en longitude, on aura un nombre d'heures équinoxiales à ajouter au temps de l'opposition moyenne, si, comme dans le cas de l'exemple, la lune est en arrière, à retrancher dans le cas contraire.

Il faut donc diviser 6° 55' 38" par le mouvement horaire vrai,

(1) Voir chap. IX, 18.

lequel s'obtient en retranchant du mouvement horaire moyen de longitude, O'S^'DÔ", le produit du mouvement horaire moyen d'anomalie, O^S^'^iO", par la différence rapportée à un degré des prosthaphérèses de la lune correspondant à son anomalie. Celte différence étant de 17' pour 6°, on en déduit pour le mouvement horaire vrai de longitude : 0°3r2.T. Le quotient est 1o^8™ 54^

Nous aurons donc, pour le temps de l'opposition vraie, le 29 thothTi^G'MO^du matin.

L'approximation est assez grossière, le milieu de Téclipse dont il s'agit (l'" année de Mardocempad, livre IV, 5), que Ptolémée identifie avec le moment de la pleine lune vraie, ayant eu lieu, d'après la Syntaxe, à 8^40™. L'erreur est donc de 1 heure et demie environ.

10. Les circonstances de l'éclipsé se déterminent au moyen de tables spéciales. On en trouve tout d'abord deux : l'une dressée pour la moindre, l'autre pour la plus grande distance, et ayant comme argument la distance vraie de la lune à sa distance boréale.

Les autres colonnes donnent : 1° les doigts (douzièmes du diamètre de la lune) d'immersion de l'astre dans l'ombre; 2° l'arc parcouru en longitude pendant l'immersion ou l'émersion ; o° pour les éclipses totales, la moitié de l'arc parcouru pendant que la lune est totalement plongée dans l'ombre.

Ces tables sont calculées très grossièrement; Ptolémée remarque lui-même qu'elles reposent sur des approximations assez pou exactes, mais il affirme qu'il est inutile de rechercher une plus grande précision. Il nous suffira de remarquer que les arguments des tables progressent par différence constante depuis les extrêmes qui correspondent au contact extérieur de la lune et du cercle d'ombre, et que cette différence (de 30' pour la plus grande dist tance, de 34' pour la plus petite) est supposée entraîner une variation constante d'un doigt.

D'autre part, le fait que les arguments ne sont pas les mêmes dans les deux tables rend l'usage de celles-ci d'autant plus incom-

mode qu'il y a lieu de se servir de la différence des nombres correspondants de Tune à l'autre lorsque la lune est à une distance intermédiaire. Dans ce cas, une table supplémentaire de correc-^ tion, ayant pour argument l'anomalie vraie, indique le facteur (en minutes et secondes) par lequel doit être multipliée cette différence.

11. La correction faite, on calcule le temps deTimmersion et, dans le cas des éclipses totales, du séjour de la lune dans l'ombre, en procédant comme on l'a vu plus haut pour le calcul de la conjonction ou de l'opposition vraie; c'est-à-dire que Ton divise l'arc que parcourt la lune, augmenté de son douzième, par le mouvement horaire vrai en longitude. Ces calculs permettent d'assigner le commencement et la fin de l'écIipse, ainsi que les moments où elle devient ou cesse d'être totale.

En réalité, ces procédés, ainsi que les tables, sont passablement imparfaits; il nous suffira de remarquer qu'en les appliquant à l'exemple que nous avions choisi plus haut, on trouve que l'éclipsé de la 1^^ année de Mardocempad aurait eu seulement 11 doigts ^, tandis que, d'après la Syntaxe, elle a été totale.

12. Les tables d'éclipsés du soleil de Ptolémée sont dressées, de la même façon, pour la plus grande et la plus petite distance de la lune; l'argument, variant de 30', en est la distance apparente de la lune à la limite boréale, c'est-à-dire que la distance vraie doit être augmentée (ou diminuée) de la parallaxe; les tables donnent le nombre de doigts et l'arc d'immersion. Il n'est pas tenu compte de la durée de l'éclipsé totale; un seul nombre de doigts dépassant 12 est inscrit en face de l'argument 90°-270° pour la moindre distance de la lune.

Le calcul des éclipses de soleil doit se faire en particulier pour chaque lieu d'observation, en tenant compte de la longitude pour corriger l'heure d'Alexandrie, à laquelle correspondent les tables, et du climat pour détermrner la parallaxe et substituer la position apparente de la lune à sa position vraie.

On calculera tout d'abord (XII, 2) la parallaxe en longitude, et, d'après le mouvement horaire moyen de la lune, suivant le procédé employé pour passer de la conjonction moyenne à la conjonction vraie, on déduira de cette parallaxe la différence de temps entre la conjonction vraie et la conjonction apparente.

On calculera de même la parallaxe en latitude; le produit de cette parallaxe par 12 sera la correction à faire subir à la distance de la lune à la limite boréale. C'est celte distance corrigée qui sert d'argument.

13. Dans le calcul des éclipses de lune, Ptolémée a admis, comme approximation suffisante, l'égalité entre le temps de l'immersion et celui de l'émersion. Il remarque que, pour les éclipses de soleil, ces temps sont inégaux et plus grands que ceux donnés par les procédés de calcul indiqués.

La correction à apporter se détermine comme suit : Soit :; la distance zénithale de la lune au moment de la conjonction, t le déplacement angulaire de la sphère céleste pendant l'immersion (produit par 15 du nombre d'heures de l'immersion) : Ptolémée prend les parallaxes de hauteur correspondant, h à z-\- t, h' à z, h" k z — t; en traitant les différences h — h\ h' — h" comme des parallaxes, il en déduit des variations de longitude et des temps de mouvement de la lune à ajouter respectivement à ceux déjà déterminés pour l'imm^sion et l'émersion.

14. Aux tables dont nous avons parlé s'en ajoute une petite répondant à l'habitude où étaient la plupart des observateurs de définir la grandeur des éclipses non pas par la fraction du diamètre entrée dans l'ombre, mais par la proportion à la surface totale de la partie obscurcie. Cette petite table donne donc, pour chacun des doigts de \ à 12, la fraction obscure de la surface, évaluée en douzièmes du total et fractions du douzième. Cette fraction est différente pour la lune et pour le soleil.

Nous ne nous arrêterions pas à l'exposé que fait Ptolémée de la construction de cette petite table, si nous n'avions pas à signaler

3" S' 30" qu'il remarque expressément remploi qu'il tait du rapport — j.-^--

comme étant celui de la circonférence au diamètre; ce rapport, dit-il, est très voisin de ceux de 3 { et 3 y^ entre lesquels il tombe, et dont Archimède s'est servi comme approximation. Le rapport employé par Ptolémée est de fait celui de 8,14166..., qui se déduit des tables de corde de la Synlaxe (p. 64).

15. Le livre VI se termine par quelques aperçus sur un problème curieux, qui est négligé par les astronomes modernes comme n'ayant pas d'intérêt, mais qui concerne une question à laquelle les anciens paraissent avoir attacbé une grande importance au point de vue des prédictions astrologiques.

Il s'agit, pendant une éclipse, de la situation de la partie éclipsée soit par rapport à l'horizon, soit par rapport à l'écliptique. Ces situations sont variables, et Ptolémée ne s'attache qu'à des moments particulièrement importants, le commencement et la fin, la plus grande obscuration, si l'éclipsé n'est pas totale, et, dans le cas contraire, le moment oij elle devient totale et celui où elle cesse de l'ôtre: il donne une table donnant très approximativement pour ces moments, d'après la mesure de l'éclipsé en doigts, l'angle sur l'écliptique du grand cercle passant par le centre de la lune et celui du soleil ou du cercle d'ombre.

11 donne, d'autre part, une figure où sont inscrites, pour chacun des sept climats de Méroé au Boryslhène, les amplitudes ortivesou occases du point initial de chaque signe du zodiaque.

Il semble, d'après son texte, que l'on n'était guère d'accord pour définir les directions (prosneiises) des éclipses qu'il rapporte au nord, au midi, au levant ou au couchant équinoxial et à ceux d'été ou d'hiver, indications qu'on retrouve effectivement dans les observations d'anciennes éclipses que rapporte la Syntaxe. En tous cas, si ce chapitre 11 du livre YI n'offre guère d'intérêt théorique, il n'en constitue pas moins un curieux témoignage de l'influence exercée sur les travaux des anciens par les préoccupations astrologiques.

16. En résumé, les Grecs étaient parvenus à prédire les éclipses de soleil et de lune avec une approximation qui nous paraît laisser singulièrement à désirer, mais qui n'en était pas moins suffisante pour exciter au plus haut degré Tadmiration des profanes.

Pline {Hist. nat.. Il, 15) : «Plus tard Hipparque a prédit pour y> six cents ans la course des deux astres; il a embrassé les mois, » les jours, les heures, la situation des lieux et ce que verraient » les différents peuples; la suite des temps a témoigné qu'il n'eût » pas mieux fait s'il eût pris part aux décisions de la nature. ï> Grands hommes qui vous êtes élevés au-dessus de la condition D des mortels en découvrant la loi que suivent de telles divi- )) nités..., salut à votre génie, interprètes du ciel, démonstrateurs )) de l'univers, créateurs d'une science par laquelle vous avez sur- » passé et les hommes et les dieux! »

Ptolémée a-t-il apporté quelque perfectionnement sérieux aux travaux de son précurseur? Rien ne nous paraît Pindiquer. S'il a adopté, pour plus de commodité, la période de 25 ans, ou s'il a modifié quelque peu les nombres des tables, il n'est certainement pas arrivé à une plus grande exactitude. Il semble même que le livre qu'il a consacré aux éclipses ait été un de ceux où il ait le plus fidèlement suivi Pastronome bithynien.

17. Il consacre, en effet, de longues discussions à la démonstration de propositions intéressantes, quoique formant hors d œuvre, propositions qui sont expressément attribuées à Hipparque par Pline {Hist. nat., II, 13).

Il s'agit de déterminer le nombre de lunaisons qui peut séparer deux éclipses de lune ou deux éclipses de soleil successives.

L'intervalle du maximum au minimum de la distance moyenne de la lune à sa distance boréale étant de 32° 3' pour les éclipses de soleil, 30" 34' pour celles de la lune, et la variation de cette distance pendant une lunaison étant de 30° 40', on voit immédiatement qu'il ne peut y avoir deux pleines lunes successives éclipsées. Il peut, au contraire, y avoir éclipse de soleil pour deux

conjonctions successives, mais Hipparque démontre qu'elles ne peuvent être vues du même hémisphère.

La variation de la distance de la lune à sa distance boréale étant de 184° pour six lunaisons, cet intervalle peut évidemment séparer deux éclipses successives soit de lune, soit de soleil. Mais la question se posait pour les intervalles de cinq et de sept lunaisons. Hipparque est arrivé aux résultats suivants :

L'intervalle de cinq mois est possible pour deux éclipses de lune, si dans cet intervalle le soleil est vers son périgée, la lune vers l'apogée de l'épicycle; il est possible (hémisphère boréal) pour deux éclipses de soleil dans les mêmes conditions et si dans l'intervalle la lune a été boréale.

L'intervalle de sept mois est impossible pour deux éclipses de lune; il est possible pour deux éclipses de soleil aux conditions inverses de celles qui ont été posées pour Tintervalle de cinq mois.

Pline ajoute à ces indications sur ces propositions d'Hipparque celle d'une observation unique d'après laquelle on aurait vu la lune s'éclipser au couchant alors que le soleil aurait déjà surgi au-dessus de l'horizon au levant. Il semble, d'après le contexte, qu'Hipparque aurait tenté une explication de ce phénomène évidemment paradoxal. Il est singulier en tous cas que Ptolémée n'en fasse aucune mention. Mais il y a là un indice sérieux qui tend à faire penser qu'Hipparque avait déjà quelque connaissance des effets de la réfraction atmosphérique (').

18. Nous avons terminé Texposé de la théorie du soleil et de la lune d'après la Syntaxe. Nous avons cherché à préciser autant que possible la part qui revient à Hipparque dans cette théorie, et nous croyons avoir montré que cette part comprend en réalité à peu près tout ce qu'il y a de valable. Plolémée a cru devoir apporter quelques légères corrections aux éléments numériques

(') On pourrait faire remonter celte connaissance jusqu'à Archimède, qui avait traité une question analogue dans ses Catopùriques (Théon d'Alexandrie, Stir Ptolémée, I, p. iO, éd. dé Bâle).

déterminés par son précurseur; en général, ces corrections sont malheureuses. Il a systématisé la représentation géométrique du mouvement de la lune, développé le calcul des parallaxes, présenté d'autres résultats sur les distances du soleil et de la lune. Voilà ce qui lui appartient en propre; mais sur le dernier point, il a fait rétrograder la science; sur les deux autres, il Ta compliquée d'hypothèses vicieuses et de fausses corrections.

Il reconnaît d'ailleurs très nettement {Syntaxe, IX, 2) que les théories du soleil et de la lune appartiennent à Hipparque, tandis qu'il revendique pour lui-même celles des planètes.

« Dès lors, je pense que c'est pour ces motifs et surtout parce » qu'il était loin de posséder comme points de départ autant )) d'observations exactes qu'il nous en a laissé, qu'Hipparque, » l'homme le plus passionné pour la vérité, n'a recherché que les » hypothèses du soleil et de la lune, en prouvant qu'il était pos- » sible de rendre absolument compte de leurs révolutions par des » combinaisons de mouvements circulaires et uniformes, tandig » que pour les cinq planètes, dans les mémoires qu'il nous a y> laissés, il n'a pas même abordé la question et s'est contenté y) de coordonner les observations dans le but de montrer par leur y> moyen que les phénomènes ne concordaient pas avec les hypo- 3> thèses des mathématiciens de son temps. »

Il nous reste donc à exposer la théorie des planètes d'après Ptolémée, c'est-à-dire son œuvre véritablement propre. Riais comme cette théorie ne nous paraît pas avoir, de fait, le même intérêt que les sujets que nous avons traités jusqu'ici, nous ne lui consacrerons qu'un développement plus restreint.