J'ai fait à ce sujet les vers suivants

« On dit qu'à Memphis, le sort d'Eudoxe lui fut annoncé par le » taureau aux belles cornes; mais ce fut sans paroles, car » comment un bœuf aurait-il pu discourir? La nature n'a pas t> donné à Apis les organes de la vorx. Mais s'arrêtant près » d'Eudoxe, le bœuf lécha sa robe; c'était lui apprendre clairey> ment qu'il quitterait la vie et cela bientôt. La mort le surprit » donc de bonne heure, lorsqu'il eut vu les Pléiades cinquantey> trois fois. »

On l'appelait Endoxos (célèbre), au lieu d'Eudoxos, à cause de l'éclat de sa renommée.

Après avoir parlé des Pylhagoriens célèbres, je vais passer aux philosophes isolés (azcpior,^»), comme on les appelle, et d'abord à Heraclite.

Observations sur la vie d'Eudoxe.

1. On doit à Boeckh (Sonnenkreise der Alten) d'avoir éclairé la chronologie de la vie d'Eudoxe, pour laquelle on ne convenait guère que des limites extrêmes, et en particulier d'avoir démontré contre Ideler et Letronne {Journal des Savants, 1840, p. 742 et suiv.) que le voyage en Egypte d'Eudoxe ne doit pas être postérieur à378 av. J.-G.

xâixiruXai yç,ix\t.\Lcti employées par Eudoxe pour résoudre le problème de la dupli. cation du cube. La solution était alors devenue incompréhensible et on n'a pas de données suffisantes pour déterminer quelles étaient ces lignes courbes particulières. — D'après le récit de Plutarque [De Socr. dœm.), cette solution aurait été donnée par Eudoxe à son retour d'Egypte.

(1) Vers 355, si, suivant l'usage, Apollodore avait fixé Yacmé d'Eudoxe (l'époque où il llorissait) à l'âge de 40 ans.

(*) Clément d'Alexandrie met en rapport avec Platon Sechnouphis d'Héliopolis^ et avec Eudoxe Conouphis (de Memphis, d'après Plutarque, lus et Osiris). Favorinus semble avoir fait une confusion entre ces deux personnages, dont le premier fut le plus célèbre dans l'antiquité grecque. C'était à Mempliis que le l)œuf Apis était honoré.

(') Favorinus d'A.rles écrivait dans le premier tiers du second siècle de notre ère. Diogèae Laërce cite cinq. foi» ses 0Lno\s.'ir^^ixx<x.

Il a également remarqué que le récit de Sotion devait être admis de préférence à la tradition rapportée par Strabon (XVII, 806), et d'après laquelle Eudoxe aurait accompagné Platon et séjourné treize ans en Egypte (*). En fait, le Cnidiea ne peut être compté comme un disciple ou un jeune ami de Platon. Le voyage de ce dernier en Egypte fut d'ailleurs antérieur d'au moins dix ans à celui d'Eudoxe.

Toutefois, Boeckh me paraît avoir placé à tort le voyage d'Eudoxe en Sicile et en Italie après le voyage en Egypte. C'est sans doute aux environs de vingt ans, et non de trente, qu'il reçut l'enseignement mathématique d'Archytas.

D'autre part, Boeckh est tenté de faire coïncider Vacmé d'Eudoxe (368 av. J.-G.) avec la fondation de l'école de Gyzique. C'est donner bien peu de durée au séjour de l'astronome dans cette ville, car il n'est pas douteux que son arrivée à Athènes ne soit voisine de cette date. Si le voyage d'études en Sicile et en Italie est reporté avant 385, l'établissement à Cyzique doit, conformément au récit de Sotion, suivre de près le retour d'Egypte. Je préfère donc faire coïncider Vacmé avec la venue d'Eudoxe à Athènes. J'admets également, à la différence de Boeckh, que c'est à Cyzique qu'Eudoxe aura conçu son système astronomique des sphères concentriques, qui certainement dut le faire accueillir à Athènes comme un maître pouvant traiter avec tous sur le pied d'égalité. Le récit de Diogène Laërce semble indiquer qu'il se serait posé en rival de Platon ; mais la tradition la plus générale les représente comme en très bons termes l'un avec l'autre. Au reste, si Eudoxe vint à Athènes vers 368, il est probable qu'il n'y trouva pas Platon, qui, dès l'avènement de Denys le Jeune, était parti pour la Sicile. D'après Elien (F. H., VII, 17), Eudoxe, voulant voir Platon, aurait lui-même été passer quelque temps à Syracuse. D'après la légende (Lettre XIII de Platon), le philosophe, de retour à Athènes, aurait recommandé à Denys le plus savant élève en astronomie d'Eudoxe, llélicon de Cyzique, qui se rendit célèbre en prédisant à la cour du tyran une éclipse de soleil (probablement celle du 12 mai 361).

2. Eudoxe, sophiste (c'est-à-dire enseignant pour de l'argent) et surtout professeur de mathématiques, ne faisait pas en réalité concurrence à Platon, et il n'y avait entre eux aucun motif sérieux de jalousie. Toutefois, il ne semble pas que Platon ait, comme son disciple Aristote, jugé définitif le système astronomique d'Eudoxe, et.

(1)1! ajoute qu'on montî'ait un observatoire d'Eudoxe près de Cercasore, à la points du Delta, maii sur la rive gauche ; Héliopolis était sur la rive droite.

d'un autre côté, il ne pouvait approuver sa doctrine hédoniste. Leurs relations lurent donc probablement amicales, sans être intimes.

Au sujet de l'hédonisme d'Eudoxe, Aristote (Morale à Nicomaque, X, il), après avoir exposé cette doctrine (*), dit qu'elle eut du succès surtout grâce aux mœurs de celui qui la prêchait; car il semblait singulièrement tempérant et faisait croire dès lors qu'il parlait ainsi non par amour du plaisir, )nais parce que c'était la vérité. Il remarque d'ailleurs que Platon réfula cette doctrine, et il cite l'argumentation de son maître que nous retrouvons dans le Philèhe.

Dans la Métapkysique (I, 9; XII, 5), Aristote nous représente, d'autre part, Eudoxe comme adoptant la doctrine des Idées, mais les considérant comme immanentes aux choses, ce qui le rapproche d'Anaxagore.

En fait, pendant les dix années à peu près qu'il passa à Athènes, Eudoxe prit aux discussions philosophiques une part qui parait avoir été assez importante, si l'on en juge surtout par celle circonstance qu'il fut choisi par ses concitoyens comme législateur.

(') « Eudoxe disait que le bien c'était le plaisir, puisqu'on le voit désirer par tous les êtres, raisonnables ou non; en toutes choses, ce qui convient est ce qu'il faut choisir, et ce qui convient au plus haut degré doit l'emporter; que tous les êtres se portent vers un même but, cela indique que pour tous c'est ce qu'il y a de meilleur; car chacun trouve son bien, comme sa nourriture; ce qui est bon pour tous et ce que tous désirent doit être le bien, etc. »

APPENDICE ni.

SiiP la Trigonométrie des anciens.

La construction de la table des cordes est exposée comme suit par Ptolémée (I, 9) :

Il commence par calculer les côtés des polygones réguliers suivants : décagone, hexagone, pentagone, carré, triangle.

Il remarque les relations (') :

(1) crd X = crd (360" — x),

(2) crd» X + crd* (180° — x) = kx 60',

qui correspondent aux nôtres :

sin a = sin (z — «), sin^ a + CCS* a = 1 .

Les cordes des sommes et des différences d'arcs de cordes données se déduisent de la relation d'égalité entre le produit des diagonales d'un quadrilatère inscrit et la somme des produits deux à deux des côtés opposés. Cette relation peut s écrire :

(3) crd a . crd {c — h)=^ crd c . crd {a — h) 4- crd b . crd (c — a). Faisons c = 180", nous tirerons :

(4) 2x60.crd(a — ?>)=:crda.crd(180° — &) — crd6.crd(180" — fO- On aura, d'autre part, en substituant (180° — a) à a,

( 2x60.crd(i80" — a — 6) ^' { rr:crd(180°— fl).crd(180° — &) — crdrt.crdft.

(*) Je désigne par crd x la corde de l'arc x, le rayon étant compté pour 60, d'après l'usage des anciens.

Enfin, pour la corde de l'arc moitié :

(6) crd ^ = K60 [120 — crd (180" — a)].

Ayant, par les polygones réguliers, les cordes des arcs de 36°, 60", 72", 90", 120", on peut aisément, d'après les formules précédentes, calculer celle de 1° \. Les cordes inférieures {\ et 1°) sont prises proportionnelles aux arcs, en conséquence du lemme que, si a > 6,

crd a a

crd b h

On conclura, en effet, de ce lemme que la corde de 1" est comprise entre les | de la corde de l^SO' et les \ de la corde de Tare moitié (45'). Comme au degré d'approximation admis dans les tables il n'y a pas de différence entre ces deux limites, la proportionnalité est justifiée.

Soit un triangle sphérique ABC rectangle en A. Prolongeons les trois côtés CA, CB, AB, jusqu'à leurs rencontres respectives en A', B', P avec le grand cercle décrit de C comme pôle. Ce grand cercle sera perpendiculaire en A' sur l'arc CAA', de même que le côté AB l'est en A sur le même arc ; le point de rencontre P sera donc le pôle de l'arc CAA, et par conséquent chacun des arcs PA, PA' sera d'un quadrant.

D'un autre côté, les arcs CA', CB' seront également d'un quadrant, et l'arc A'B' sera la mesure de l'angle C.

Considérons le triangle PB'B coupé par la transversale A'AC, nous aurons, d'après la relation fondamentale du quadrilatère

complet,

crd.2PA' crd.2PA crd.2BC

crd.2A'B' crd.2AB crd.2CB' ou, en posant AB = c, BC = a, CA = h,

2 X 60 crd. 2a ^^^ ^ crd.2G "■ crd. 2c *

Celte relation, qui revient à notre formule

sin c= sin a.sin C,

est démontrée par Ptolémée (I, 12) pour trouver la déclinaison c d'un point de Técliptique dont on connaît la longitude a, Tobliquité C étant donnée.

Considérons maintenant le triangle PA'A coupé par la transversale B'BC; il vient

crd.2PB' crd.2PB crd.2AC

crd.2B'A' crd.2BAcrd.2CA'

Comme PA' et PA sont des quadrants,

PB'=^90°-C, PB = 90'^— c.

Donc

crd.(180"-2C)crd (180°— 2 c) crd.2 6 ^ ^ crd 2C "" crd.2c ^ ~2T6Ô"'

ce qui est notre formule

sin fe = tg ceci C.

Ptolémée calcule par ce procédé (I, 13) l'ascension droite b d'un point de l'écliptiquc de déclinaison c donnée, l'obliquité C étant connue.

Soit encore le triangle ABC coupé par la transversale PB' A'; nous aurons

crd.2AP crd. 2 A A' crd.2CB'

crd.2PB crd.2A'C crd.2B'B

ou bien

2x60 crd. (180° — 26) ^"*^ crd. (^180° — 2c) ~" crd. (180° -2a)'

c'est-à-dire

CCS a =: ces 6 cosc.

La relation (111) se trouve employée dans la Syntaxe (11, 2) pour chercher l'amplitude ortive quand on connaît la déclinaison du soleil et la longueur du jour.

Au chapitre suivant (U, 3), nous rencontrons de même des

calculs revenant à considérer le triangle CA'B' coupé par la transversale A BP:

crd.2CA crd.2CB crd.2B'P crd.2AA' ~crd.2BB' '^crd.2PA''

ou bien

crd.2& crd.2a crd. (1800—20)

^^ crd.(180°— 26;"~crd (180°-2a) ^ 2x60

c'est-à-dire

ces G = tg &. cet a,

pour le calcul de l'angle G.

Voilà, en Aiit, toutes les formules générales de triangles sphériques que l'on peut tirer de la Syntaxe; les applications du théorème fondamental s'y font d'ailleurs toujours sur un quadrilatère complet, construit comme nous l'avons indiqué. Toutefois Ptolémée établit plusieurs fois des relations entre deux couples d'éléments appartenant à deux triangles rectangles qui ont un angle commun.

Jamais il ne détermine les arcs ou angles de triangles sphériques autrement que par la corde de leur double ou celle du supplément du double, ce qui revient à n'utiliser que les formules donnant les sinus et les cosinus, à l'exclusion de celles donnant les tangentes.

Les problèmes qu'il résout sur la sphère reviennent donc seulement aux suivants :

Dans un triangle rectangle, calculer :

1° L'hypoténuse, connaissant les deux côlés de l'angle droit ou un côté et l'angle opposé;

2° Un côté, connaissant soit les deux autres, soit l'angle adjacent et l'autre côté de l'angle droit, soit l'angle opposé et l'hypoténuse;

3° Un angle, connaissant soit le côté adjacent et l'hypoténuse, soit le côté opposé et l'hypoténuse.

On rencontre d'autre part dans la Synlaœe divers calculs qui appartiennent de fait à la trigonométrie rectiligne. Nous pouvons prendre comme exemple la détermination de l'excentricité et de la longitude de l'apogée de l'orbite solaire.

Soit dans un cercle de rayon 1 deux cordes AB, CD rectangulaires se coupant en E. Supposons que A représente le point vernal, B le point automnal, C le solstice d'été, D celui d'hiver; on suppose connus les arcs AB = a, CB = p, et par suite les arcs BD = 180° — a, DÂ — 180° — p. On demande la dislance e du point d'intersection E (position du centre de la terre) au centreO du cercle et l'inclinaison 0 de la droite EO sur la droite AB.

On a aisément (*)

e^ = sm* — \- ces* — s— j

CCS

tge =

sm — - —

Ptolémée calcule :

e' = ^ crd* (a — ^) + ^ crd* {x + ^ - 180°),

crd.2e crd(a+ ^— 180°) 120° ~" e '

C'est ainsi que dans tous les cas analogues, il évite l'emploi des tangentes.

En somme, la trigonométrie paraît réellement peu développée dans la Syntaxe, et Ptolémée ne semble pas maître des procédés, chaque fois qu'il n'a pas de modèle de calculs. 11 est difficile, dans ces conditions, de juger jusqu'à quel point la théorie avait été développée par son fondateur.

(') On peut obtenir aussi la formule plus simple 1 — e* = sin a sin p.