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Les conditions initiales étant qu’au temps t{ — 0, on ait x — x, et C = Co, l'équation (2) s'intègre en donnant :

C= Co + Kris — Kx (7)

D'autre part, en combinant (1) et (6) on obtient :

a a ® et en combinant (7) et (8) (Ci + Co + Kxo — Kx) dx RON TER CE Equation qui s'intègre facilement en donnant : AE Ci + Co + Kto DONANNICt Le C+EKr=Kr

PTS QE PARTIR RE Co + Ko 8 Co+Kto La (9)

Pour simplifier cette expression, posons :

P = -——— Ca + Kto et :

LÉ Co + Ko | SE : HR Il vient :

ui= (1 + P) Log SD Log (o— 4 ) + P Log(Q—1) (10)

To To P et © sont deux coefficients qui n’intervi endront que pour la commodité des calculs (1). Les constantes de base qui figurent dans l’équation (9) ont un sens biologique parfaitement clair, qu’il sera bon de rappeler ici. C, et x, sont des paramètres donnés par les conditions de l’expérience : le premier représente la concentration initiale de l'aliment limitant, le second, le nombre de bactéries ensemencées. Le coefficient X correspond au rendement de la croissance sur l’aliment limitant. Il est évident qu’il est égal à l'inverse du rendement tel que nous l’avons défini au chapitre III :

1 quantité de substance vivante formée

K quantité d’aliment utilisé

La constante u, exprime le taux de croissance maximum. (Si on employait les logarithmes à base 2, ce serait le nombre de divisions par unité de temps. Avec les logarithmes népériens, ce nombre doit être multiplié par un coefficient constant). Enfin la constante Ci représente la concentration d’aliment limitant pour laquelle le taux de croissance est inférieur de moitié au taux maximum.

Les propriétés de l’équation (10) sont brièvement les suivantes : elle est représentée par une courbe en S à asymptote horizontale, dont la valeur est donnée par :

Xa étant la valeur de l’asymptote. Les propriétés du point d’inflexion sont particulièrement intéressantes à considérer, car elles mettent bien en évidence les différences qui distinguent cette loi de

(1) Le coefficient Q exprime la densité maximum atteinte par la culture.

croissance d’une logistique. La position du point d’inflexion est

D =1+P—VPA+P) (41)

donnée par :

la valeur du rapport 2 se rapproche de À quand P tend vers 0, et a

tend asymptotiquement vers 1/2 quand P croît indéfiniment. La

Fic. 27. — Variations de la valeur du rapport Xi/Xa (position du point d’inflexion dans la courbe figurative de l’équation (10)) en fonction de la valeur de P.

courbe figurative de la fonction (11) est donnée par la figure 27. Comme la valeur de P est donnée par le rapport :

DEEE C, + Kxo

et que Xx, est en pratique toujours petit par rapport à C,, la valeur de P dépend en fait du rapport de la concentration initiale à la concentration C,. D’autre part les concentrations initiales utilisées sont toujours grandes par rapport à la concentration pour laquelle le taux de croissance est réduit de moitié (V. chap. IV, p. 77). Il résulte de ceci que la courbe de croissance doit presque toujours être nettement dissymétrique, alors que l’équation de la logistique impose une courbe symétrique. La courbe de l’équation (10) se rapprocherait d’une logistique dans le cas où la croissance aurait lieu dans un milieu extrêmement dilué.

Ces propriétés, et en particulier le rôle de la constante C;, sont.

illustrées par la figure 28 qui représente la courbe de la fonction (10) pour trois valeurs de C3, les autres constantes conservant les mêmes. valeurs.

F1G. 28. — Courbes de l’équation (10) pour trois valeurs de la constante C..