Ou peut encore énoncer la proposition suivante

Si l'on désigne par (A, A'), (B, B'), ( C, C) trois couples de semi-droites formant une inv^olulion, les cycles inscrits dans les ti^iangles ABC, A B' C et A' BC touchent une même semi^droite.

Supposons, en particulier, que les semi-droites doubles de l'involution soient les droites isotropes passant par un point O du plan, deux semi-droites conjuguées sont alors symétriques par rapport au point O; d'où cette conclusion :

Si (A, A'), (B, B') et (C,C') sont trois couples de semi-droites symétriques par rapport à un point O du plan^ les cycles inscrits dans les triangles ABC, AB'C et A'BC touchent une même semi-droite.

Le même théorème aurait encore lieu si la symétrie des couples avait lieu par rapport k une droite quelconque du plan.

4. Une parabole peut être considérée comme un hypercycle et comme une courbe double 5 en chacun de ses points on peut mener deux tangentes qui sont des semi-droites opposées. Ses semi-droites fondamentales sont les semi-droites opposées déterminées par Taxe de la courbe; il en résulte que deux tangentes conjuguées sont symétriques par rapport à Taxe.

Toutes les propriétés des hypercycles appartiennent donc à la parabole et constituent des propriétés nouvelles de cette courbe.

3. Transformons une parabole par semi-droites réciproques en prenant pour axe de transformation l'axe de la courbe elle-même ; il est clair que les semi-droites fondamentales de la transformée seront encore les semidroites opposées déterminées par l'axe et que les tangentes conjuguées seront symétriques par rapport à cet axe.

Réciproquement tout liypercycle jouissant de la propriété, que deux tangentes conjuguées sont symétriques par rapport à une droite D, est la transformée d'une parabole P ayant cette droite pour axe^ Taxe de transformation est également D.

Un point quelconque M de la parabole a pour transformé un cycle K dont le centre décrit une parabole P' ayant pour axe D, tandis que son rayon varie proportionnellement à sa distance à Taxe ; la transformée est donc une des anticaustiques par réfraction de la parabole P', lorsque les rayons incidents sont perpendiculaires à Taxe.

Je la désignerai sous le nom H anticaustique principale ,

6. Ainsi les anticaustiques principales sont les hypercycles pour lesquels les semi-droites fondamentales sont opposées.

Considérons une telle courbe et soit F le point où une tangente isotrope coupe son axe, la tangente symétrique étant la seconde droite isotrope qui passe par ce point, on voit que F est le foyer de la courbe et que les droites isotropes, qui se croisent en ce point, forment un couple de tangentes conjuguées.

Menons une tangente parallèle à une direction perpendiculaire à Taxe, sa symétrique lui est opposée 5 nous avons donc une tangenle double apparente perpendiculaire à l'axe, et les deux semi-droites opposées qu'elle

détermine constituent également un couple de tangentes conjuguées.

Soient [fig- i) une anticaustique principale ayant F pour foyer et DD' comme tangente double, AT une lan-

Fig. 1.

gente quelconque à cette courbe. Les deux droites opposées DD' et D'D formant un système de tangentes conjuguées, on voit que le cycle qui touche ces tangentes et la tangente AT se réduit au point A où cette tangente coupe DD'; son point de contact avec ce cycle est également le point A, D'autre part, le cycle qui touche les droites isotropes issues du point F et la tangente AT est le cycle qui a pour centre F; son point de contact avec AT est donc le pîed P de la perpendiculaire abaissée du point F.

D'une proposition fondamentale énoncée plus haut, il résulte d'ailleurs, puisque les droites isotropes issues du point F constituent un système de tangentes conjuguées, que la distance AP est constante en grandeur et en signe; ainsi :

Toute anticaustique principale peut être considérée comme V enveloppe d'un des petits côtés d'un triangle rectangle déforme invariable dont l'extrémité, située sur l' hypoténuse , décrit une droite, tandis que l'autre petit côté passe par un point fixe.

.( 69 ) Les autres anticaustiques étant des courbes parallèles à ranticaustique principale, on peut énoncer encore la proposition suivante :

Soit ABCD un quadrilatère de forme invariable, dans lequel les deux angles B et C sont droits; si Von déplace ce quadrilatère de façon que le côté BC passe par un point fixe F et que le sommet A décrii^e une droite A, le côté QJ} enveloppe une anticaustique d'une parabole ayant pour foyer le point F, les rayons incidents étant perpendiculaires à Vaxe,

7. La proposition que je viens de démontrer peut s'énoncer ainsi :

Si, du foyer d'une anticaustique principale, on abaisse une perpendiculaire à une tangente à cette courbe, la distance A, comprise entre le pied de cette perpendiculaire et le point où la tangente rencontre la tangente double, est constante.

Plusieurs cas particuliers sont à remarquer : dans le cas où A = o, la courbe se réduit à une parabole \ quand la tangente double passe par le foyer, la courbe a alors le foyer pour centre.

Enfin, quand A est égal à la distance du foyer à la tangente double (c'est le cas de la réflexion)^ la classe de la courbe s'abaisse et elle devient un hypercycle cubique, ou plus exactement elle se décompose en un hypercycle cubique et un semi-point situé à l'infini sur la perpendiculaire abaissée du foyer sur la tangente double.

De là une propriété nouvelle de Thypercycle cubique, que l'on peut énonèer ainsi :

Si des rayons, menés parallèlement à une direction quelconque, se réfléchissent sur une parabole, parmi

( 7o) toutes les an licaiis tiques correspondantes, il y en a une qui a un axe de symétrie; si, du foyer de la parabole, on mène une perpendiculaire à une tangente quelconque à cette courbe, la distance, comprise entre le pied de cette perpendiculaire et le point oii la tangente rencontre la tangente double, est constante et égale à la distance du foyer à cette tangente double,

8. Soit une antîcaustique principale ayant pour foyer le point F et pour tangente double la droite DIX.

Considérons [fig» i) une tangente AT à celte courbe et construisons le cycle polaire de celte semi-droite^ nous savons qu'il lui est tangent. Il touche également la conjuguée harmonique de AT relativement aux deux tangentes opposées DD' et D'D, qui constituent un couple de tangentes conjuguées; le centre de ce cycle est donc sur la droite menée par le point A perpendiculairement à DD'. Ce cycle touche la conjuguée harmonique de AT relativement aux deux droites isotropes issues du poîntF (ces droites forment en effet un couple de tangentes conjuguées); et, comme cette conjuguée est la symétrique de AT relativement au point F, le centre cherché est sur la droite menée par le point F parallèlement à AT.

Ce centre est donc le point a et, le cycle polaire d'une tangente touchant cette semi-droite en son point de contact avec la courbe, on voit que le point de contact de AT est le pied m de la perpendiculaire abaissée du point a.

On serait arrivé à ce résultat en considérant Tanticaustique comme Tenveloppe du côté d'un triangle rectangle de forme invariable dont un sommet A décrit la droite Diy pendant que le côté PF passe par le point lixe F; il estclair^ en effet, que le centre instantané de

rotation de la figure est le point a que j'ai déterminé précédemment.

Pour construire le centre de courbure correspondant au point m ( ^ ), je remarque que, la tangente conjuguée de AT étant la symétrique relativement à Taxe de la courbe, le cycle, qui touche Tanticaustique au point m et la conjuguée de AT, a son centre au point de rencontre de la normale ma avec la droite, menée parallèlement à DD', par le point a où la tangente AT rencontre Taxe.

En désignant par p ce point de rencontre, il résulte d'un théorème, que j'ai donné dans mon Mémoire sur lès hypercycles, que le centre de courbure cherché est le point o> symétrique de P par rapport à a.