Pour les démontrer, je remarque que Tangle APM

étant droit, l'angle PAN est égal à l'angle MAB-, faisons, pour un instant,

MAB = ot, NAB = p.

Les deux triangles PAN et NA/i donnent

PN sin^a JVI/w.AN A/w.Bw.An.AB Bm

Wn ^^^'P Âm'.ISÛ' Am.AB.An.B/. B/i En second lieu, le triangle APN donne

AN.A/n An^AB.Aw*

AP =AN.cos2a= — ^ = — ^ Vtï — = Am.An.

11. Considérons maintenant deux paraboles II et II' (fig. 3) ayant le point F pour foyer et pour sommets respectifs les deux points a et i de la droite FO.

Par un point quelconque M de cette droite, menons une tangente à chacune des paraboles et soient respectivement A et B leurs points de contact ^ on sait que le

( 73) cercle, ayant pour centre le foyer F et passant par le point M, contient les points A et B^ j'appellerai N le point où il rencontre de nouveau Taxe FO.

Du point M abaissons une perpendiculaire MP sur la droite AB, et, par le point I milieu du segment AB, me-

Fig. 3.

nous une parallèle à Taxe qui rencontre MP au point R, il est clair que la figure MRIF est un parallélogramme.

Soient maintenant a et ^ les milieux respectifs des segments MA et MB^ la droite a^ est évidemment parallèle à AB et partagée en parties égales par la droite MI en son point milieu Oj d'où il suit que la figure RjSFa est un parallélogramme.

Ainsi les segments R j3 et aF sont égaux et parallèles, c^ b et a étant les pieds des perpendiculaires abaissées sur l'axe des points R, [3 et a; on a donc

Fc = Fa-hF6;

d'où il résulte que ¥c est constant et que, quand le point M varie, le point R décrit la droite cc^.

J'abaisse maintenant du point F la perpendiculaire FS sur la droite MP, du point R la perpendiculaire RG sur la droite FJ et du point N la perpendiculaire NQ sur la droite AB; il est clair que RS est égal à FG, et encore à NQ, car il est aisé de voir que la figure GQFN est un parallélogramme.

Or, en désignant par A' et B' les pieds des perpendiculaires abaissées sur l'axe des points A et B, il suit du lemme II que Ton a

Fa,Fb

NQ =RS =NA'.NB' =

D'où il suit que la longueur RS est constante lorsque le point M se déplace; nous avons ainsi un triangle rectangle RSF dont un petit côté passe constamment par le point F, tandis que l'autre petit côté est constant et que le sommet R décrit la droite ce'.

Il en résulte donc, d'après ce que j'ai démontré plus haut, que RS enveloppe une anticaustique principale de parabole ; le centre instantané de rotation étant d'ailleurs évidemment le point I, la tangente RS touche son enveloppe au point P.

12. Soit K l'hypercycle symétrique enveloppé par RS; si, du point A comme centre, on décrit un cercle ayant AP pour rayon, il est clair que son enveloppe est la courbe K; or, il résulte du lemme I que l'on a