Vax un point A d un cycle, la tangente doit être
roiisidérée, lu long de rélémentinfiiiîineiit petit commun au cycle, comme décrite dans le même sens que le cycle ^ la tangente au point A est donc une semi-droite bien déterminée.
De là résultent les conséquences suivantes :
1° On ne peut mener à un cycle donné quune tangente parallèle à une semi-droite donnée,
11 est clair, en efl'et, qu'on peut mener au cercle déterminé par le cycle deux tangentes parallèles à la droite déterminée par la semi-droite donnée*^ mais, si l'on désigne par A et par A' les points de contact de ces tangentes, on voit que les tangentes en ces points ont des directions opposées ^ une seule d'entre elles est donc parallèle à la semi-droite donnée.
2" Deux cjcles donnes ont deux tangentes communes et n'en ont que deux.
Sur la Jig, 2, on voit que les semi-droites A A' et BB' §ont tangentes à la fois aux deux cycles K et K'. Les cercles
Fig. 2.
déterminés par ces cycles ont quatre tangentes communes, dont deux sont précisément A A' et BB'; si l'on considère une quelconque des deux autres, par exemple ce, il est aisé de voir que, quel que soit le sens dans lequel on suppose décrite cette droite, elle ne peut toucher les deux cycles donnés, d'après la définition donnée du contact d'un cycle et d'une semi-droite.
Deux cycles ont donc seulement deux tangentes
(9) communes ; leur point de rencontre P est le centre de similitude des deux cycles.
Ce centre de similitude est unique ( * ).
La distance AA', comprise sur l'une des tangentes communes entre les points de contact avec les cycles, est la distance tangentiellc des cjcles; elle n'est déterminée qu'en valeur absolue, mais non en signe.
9. Le rayon d'un cycle sera regardé comme positif si ce cycle est décrit dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre, comme négatif dans le cas contraire.
Par suite, en désignant par ï la distance tangentielle des deux cycles dont les centres sont O el O', la fig, 2 montre immédiatement que, en désignant par D la distance des centres, on a la relation
Cette formule détermine, dans tous les cas possibles, la distance tangentielle de deux cycles 5 en particulier, si nous considérons deux cycles opposés, le rayon d'un de ces cycles étant R, l'autre est — R; d'ailleurs, la distance de leurs centres est nulle; on a donc, dans ce cas,
10. Une semi-droite étant donnée, ainsi qu'un point P, le cycle qui a pour centre ce point et qui touche la semidroite est bien déterminé ; la distance du point P à la semi-droite est le rayon de ce cycle : elle est donc déterminée en grandeur et en signe.
(') Une proposition bien connue peut, par suite de cette définition, s'énoncer de la façon suivante :
Étant donnés trois cycles, les trois centres de similitude de ces cycles pris deux à deux sont en ligne droite.
( -o ) • H. Un point doit être considéra comme un cycle d'un rayon infiniment petit ^ toutes les semi-droites passant par ce point doivent être considérées comme tangentes à ce cycle.
12. Etant données deux semi-droites quelconques, on peut construire une infinité de cycles qui leur soient tangents 5 les centres de ces cycles sont situés sur une même droite que Ton appellera la bissectrice des semidroites.
Si, le point P d'intersection des semi-droites restant fixe, Tangle que font ces semi-droites diminue indéfiniment, en sorte qu'elles tendent toutes les deux à se confondre avec leur bissectrice, les rayons de tous les cycles inscrits diminuent indéfiniment et à la limite se réduisent à des points, tandis que les deux semi-droites deviennent deux semi -droites opposées.
On voit ainsi que les cycles qui touchent deux semidroites, opposées sont les divers points de la droite qu'elles déterminent.
13. Il résulte aussi de ce qui précède qu'un cycle assujetti à toucher trois semi-droites données est entièrement déterminé. Son centre est le point de rencontre des trois bissectrices des semi-droites prises deux à deux.
Méthode de tiiainsform.vtiojn pak semi-droites
réciproques.
14. Considérons une droite fixe Q-^ traçons dans le plan un cycle quelconque K ayant pour centre le point O et, sur la perpendiculaire abaissée du point O sur la droite lî, prenons un point arbitraire P {fif^. 3).
Cela posé, à cliaque semi-droite NM du plan on peut faire correspondre une autre semi-droite de la façon suivante. Menons au cycle K la tangente AB parallèle à MN, joignons le point de contact A au point P, et, au point A'
Fig. 3.
OÙ la droite ainsi obtenue rencontre le cycle, menons la tangente A'B'; menons enfin, par le point M où la semi-droite donnée coupe la droite fixe û, une semidroite N'M parallèle à A'B'.
N'M correspond ainsi à NM, et il est clair, en examinant les constructions effectuées, que NM correspond réciproquement à N'M*, on dit que ces deux semi-droites sont réciproques.
Il résulte évidemment de ce qui précède que :
1° Deux semi-droites réciproques se coupent sur la droite Q que Von appelle l'axe de transformation ;
2" Des semi-droites parallèles ont pour réciproques des semi-droites parallèles»
15. Si, du point P, on mène des tangentes au cycle K, on voit que les semi-droites parallèles à ces tangentes sont leurs réciproques à elles-mêmes. H y a donc deux séries de semi-droites parallèles qui se transforment en ellesmômes^ ces semi-droites font des angles égaux avec Taxe de transformation. Il est toutefois à remarquer ([ue
CCS sciui-droiics ne sont réelles que si le poinl P est extérieur au cycle K.
1 6. Th éo r em e . — Deux couples quelconques de semidroites réciproques sont tangents à un même cycle.
Soient, en eflet, Q Taxe de transformation, MN et MN' deux semi-droites réciproques, SK une semi- droite quelconque du plan {fig' 4)-
Construisons le cycle qui louche les semi-droiles NM,
MN' et RS^ menons la droite NN' qui joint les points de contact de NM et de MN', et désignons par P le point où cette droite coupe la perpendiculaire abaissée du point O sur Taxe û. Il est clair, d'après ce qui précède, que la transformation, qui a pour axe û et dans laquelle NM correspond à MN', peut être définie au moyen du cycle K et du point P. Si, maintenant, on remarque queP est le pôle de la droite Q relativement au cycle K, on voit que la tangente S'R est la réciproque de RS^ les deux couples de semi-droites réciproques NM et MN', RS et S'R sont deux tangentes au cycle K, ce qui démontre la proposition énoncée.
17. La transformation par semi -droites réciproques est aussi caractérisée par les deux propriétés suivantes :
Deux .9emi'<iroites réciproques se coupent sur l'axer
de transformation ; deux couples de semi-droites réciproques sont tangents à un même cycle ( * ).
Il est clair que la transformation est entièrement définie quand on se donne Taxe de transformation et deux semi-droites réciproques D et D'. Pour obtenir la réciproque d'une semi-droite quelconque A, que Ton construise le cycle tangent à D, \i et A, et que, par le point M où A coupe Taxe de transformation, on mène la deuxième tangente au cycle, celte tangente sera la semidroite cherchée.
18. Cotisidérons une courbe K comme Tenveloppe d'une semi-droite mobile A, la réciproque A' de A enveloppera une courbe K' qu'on appelle la transformée de la courbe K .
Théorème. — Quand on effectue une transformation par semi-droites réciproques, un cycle a pour transformé un autre cycle.
Soit û Taxe de transformation, et considérons un cycle quelconque K coupant Taxe aux points A et B. Menons à ce cycle des tangentes MN et N'M' parallèles à la direction des semi-droites qui, dans la transformation, sont leurs réciproques à elles-mêmes, et désignons par P le point de rencontre de ces droites [fig^ 5).
' Cela posé, construisons le second cycle K' qui, passant par les points A et B, touche les semi-droites PM et M'P^ je dis que le cycle K' est le transformé de K.
(•) La transformation par rayons vecteurs réciproques est également caractérisée par les deux propriétés suivantes :
Deux points réciproques sont situés sur une droite passant par le pôle de transformation;
Deux couples de points réciproques sont situés sur un même cercle.
On voit en effet que la transformation est définie par l'axe û, le cycle K et le point P (9).
Par le point P, menons une sécante quelconque cou-
pant le cycle K' au point a et le cycle K aux points P et y. On sait que les tangentes menées en a et y se coupent en un point T de Taxe radical Q des deux cycles ^ d'ailleurs, [3o est parallèle à aT: il résulte donc de la définition donnée plus haut (9) que aT et yT sont deux semi-droites réciproques. L'enveloppe des réciproques des semi-droites qui enveloppent K est donc le cycle K': ce qu*il fallait démontrer.
19. On voit ainsi qu'un cycle K a pour réciproque un cycle K'. La relation qui existe entre deux cycles réciproques est caractérisée par les deux propriétés suivantes :
I** Leui' axe radical est l'axe de transformation ;
2" Leurs tangentes communes sont parallèles à deux directions Jixes, à savoir aux directions des semi-droites qui se transforment en elles-mêmes.
Désignons respectivement par R et R' les rayons des deux cycles (ces quantités étant données en grandeur et
eu signe) el par D et 13' les distances de leurs centres à raxe(*).
La première propriété donne la relation suivante :
et la deuxième, la relation
(i) D — D'=ia(R — R'),
où a désigne une constante caractérisant la transformation-, d'où encore, en combinant ces deux relations,
(2) D-hD'=i(R-HR').
On en déduit
D(a'H-i) — 2aR
et
, 2aD — H(H-a*)
Le cycle R' est ainsi complètement déterminé, quand le cycle K est donné, puisque l'on connaît la distance de son centre à Taxe et son rayon.
liemaj^ques, — Le cycle K' se réduit à un point, si R'= o, ce qui exige que Ton ait
Ra2— 2aD-HR = o, d*où
a = Dd=v/D2— R2.
Il en résulte qu'un cycle étant donné, ainsi que Taxe de transformation, on peut toujours déterminer le mo-
(') On doit ici considérer l'axe de transformation comme une semi-droite, en lui donnant un sens arbitraire, de sorle que D et D' sont aussi déterminés en jrrandeur et en sij?nc.
dulo a de la transforinatiou, de façon que ce cycle ait pour traasformé un point, dans le cas où ce cycle ne coupe pas Taxe. En désignant, en efTet, par R son rayon et par D la distance de son centre à Taxe, on voit que, I)^ — R2 étant positif, Téquation précédente détermine pour le module a deux valeurs réelles.
So\iK[fig.6) le cycle donné; de son centreO abaissons
Fig. 6.
une perpendiculaire OP sur Taxe de transformation, et de son pied P comme centre décrivons le cercle qui coupe orthogonalemeiit le cycle donné. Ce cercle coupe la droite OP en deux points Aet B^ on prouvera aisément qu*il y existe une transformation telle que les tangentes au cycle K aient pour réciproques les semi-droites qui se croisent au point A. 11 y existe également une autre transformation dans laquelle le point Best le réciproque du cycle K.
2® Une transformation étant définie par Taxe de transformation û et par le module a, il y existe une infinité de cycles qui ont pour transformés des points; ils sont définis par la relation
Leur propriété caractéristique est que leur rayon varie proportionnellement à la distance de leur centre
h V axe; elle présente une grande importance dans Tapplication de la transformation par semi-droites réciproques à la théorie des anticaustiques par réfraction.
20. Théor£ME. — ha distance tangentielle de deux cycles est égale à la distance tangentielle des deux cycles correspondants .
Considérons, en effet, deux cycles 5 désignons respectivement par R et r leurs rayons, par D et d les distances de leur centre à Taxe de transformation, par p la projection sur cet axe de la droite qui joint leurs centres, et par T leur distance tangentielle^ on aura évidemment
T2=:/>«-h (D — <i)*— (R — ry.
Soient de même R' et r^ les rayons des cycles transformés, ly et d les distances de leurs centres à Taxe, et T' leur distance tangentielle. Si l'on remarque que deux cycles réciproques ont leurs centres sur une même perpendiculaire à l'axe, il est clair que l'on a
Or les formules données plus haut donnent aisément
aa(D — û?) — (a2-4-i)(R — ,•)
Substituant ces valeurs dans l'expression précédente, il viendra, toutes réductions faites,
ce qui démontre la proposition énoncée ( * ).
(') Relativement à la transformation par rayons vecteurs réci- L. 2
