APPLICATIONS DE LA MÉTHODE

21. Soient trois cycles K, K' et K'' ayant respectivement pour centre les points O, CV et O'^. Soient P' Je centre de similitude des cycles O et C, P' le centre de similitude des cycles O et O". Supposons que la droite PP' ne coupe pas le centre O5 en prenant cette droite pour axe de transformât Ion, nous pourrons toujours, en choisissant convenablement le module de la transforiilation, transformer le cycle O en un point (o. Les deux tangentes P''A et P'^B auront pour transformées les semidroites opposées déterminées par les points P' et w^ le cycle K', étant tangent à P'^A et P'B, aura pour transformé un cycle tangent à ces demi-droites opposées, et, par conséquent, un point w' qui sera Tintersection de P'cj avec la perpendiculaire abaissée de CV sur Taxe PP'.

Les deux^ tangentes PC et PD {Jig- 7) auront pour transformées les semi-droites opposées déterminées par la droite Pw, et il estclairquelecycleO", qui touche PC et PD, aura pour transformé le point tù^'^ où Viù rencontre la perpendiculaire abaissée de O''' sur Taxe P'P'. Si Ton considère maintenant les deux tangentes communes aux cycles K', R", elles auront pour transformées les semidroites opposées déterminées par les points w' et tù" , D'où il résulte que ces tangentes se coupent au point P où la droite iù'tù" rencontre VV^'^ et de là une démonstration

proques, le théorème analogue est le suivant : V angle sous lequel se coupent deux cercles est égal à l'angle sous lequel ^e coupent les cercles correspondants.

Ce théorème s'étend à deux courbes quelconques, et de même dans la transformation par semi-droites réciproques :

Si une semi-droite A touche deux courpes aux deux points a et 6, et si la semi-droite réciproque A' touche les courbes transformées aux points a' et b', les deux longueurs ab et a'b' sont égales.

nouvelle de cette proposition rappelée plus haot : hcs trois centres de similitude de trois cycles considérés deujT à deux sont en li^ne droite: il soit de là ésnle-

Fis. -

ment qoe si trois cj clés sont tels que la droite qui contient leurs centres de similitude ne les rencontre pas, on peut, pat' une transformation par senû-niroites réciproques, les transformer en trois points ( * ).

2â. La transformation par semi-droites réciproques peut servir, comme la transformation par rayons teurs réciproques, soit à simplifier la solution de tains problèmes, soit à généraliser diverses propr

veccer-

tains problèmes, soit à généraliser diverses propriétés

des figures.

23. Pour ^o donner un exemple simple, considérons le problème suivant : Construire un cycle touchant trois cycles donnés.

(*) La propriété analogae dans la théorie de la transformation par rayons vecteurs réciproques est la suivante : Lorsque deux cercles se coupent, on peut toujours les transformer en deux droites.

Supposons que les cycles donnés K, K' et K" soient tels que la droite qui contient leurs centres de similitude ne les coupe pas ; nous pouvons, d'après ce qui précède, en prenant cette droite pour axe de transformation, transformer les cycles donnés en trois points (o, (o'eto)''. Le cercle passant par ces points détermine deux cycles opposés H et H' dont les réciproques seront les solutions du problème. Deux cycles opposés rencontrant Taxe de transformation aux mêmes points, il en est de même de leurs réciproques; d'où il suit que le problème proposé a deux solutions, et que Taxe radical des deux cycles qui satisfont à la question est Taxe de similitude des cycles donnés.

Le problème de mener un cercle tangent à trois cercles donnés se ramène immédiatement au précédent. On peut, en effet, donner à un des cercles un sens arbitraire, de façon à le transformer en un cycle; on transformera également les deux autres cercles en cycles en fixant leur direction, ce qui pourra se faire de quatre façons différentes. A chaque groupe de cycles correspondent deux solutions; le problème proposé aura donc en tout huit solutions.

24. Un point décrivant dans un sens déterminé une semi-droite ou un cycle, si Ton emploie la transformation par rayons vecteurs réciproques, on voit que le point transformé décrit une autre semi-droite ou un autre cycle (lequel peut se réduire à une semi-droite quand le pôle de transformation est sur le cycle considéré).

On peut souvent, avec avantage, employer simultanément la transformation par rayons vecteurs réciproques et la transformation par semi -droites réciproques. Ainsi, en général, étant donnés cinq cycles, on peuty par deux transformations successives^ les trans-

Jornier en deux semi-droites et en trois points. En effet, si deux des cycles se coupent, par une première transformation par rayons vecteurs réciproques, on pourra les transformer en deux semi-droites. Les trois autres cycles ayant pour transformées K, K' et K", si Taxe de similitude de ces cycles ne les rencontre pas, on pourra, par une transformation par semi-droites réciproques, les transformer en trois points, tandis que les semi-droites se transformeront en semi-droites.

Sur les anticaustiques de la parabole, les rayons incidents

étant parallèles.

25, J'appelle iz^^ecince de deux semi-droites données la droite parfaitement déterminée qui est le lieu des cycles tangents à ces demi-droites 5 la droite menée par leur point de rencontre et perpendiculairement à la bissectrice sera désignée sous le nom de bissectrice impropre.

Deux demi-droites sont symétriques par rapport à leur bissectrice impropre 5 je dirai qu'elles sont anti-sjmétriques par rapport à leur bissectrice.

Ces définitions étant posées, je m'appuierai sur les lemmes suivants :

Lemme I. — Quatre semi-droites étant données, si Von considère trois à trois ces semi^droites, on obtient quatre triangles; les centres des cycles inscrits dans ces triangles sont sur un même cercle.

Considérons en effet {fig» 8) les quatre semi-droites

Fig. 8.

AB, BE, EA. et CF. Les bissectrices des côtés du triangle

ÂBC le coupent au point o , celles da triangle BCD au point z, celles du triangle EDF au point S et celles du triangle CFA an point y- Pour établir que très quatre points sont sur une même circonférence, il suffit dVtablir que Tangle 20a est égal à l*angle 27,^.

Ou a évidemment

i^ ^ BEo -f- EB o = I BE^V — | EBA — i BAH :

d'autre part, on a

^= 'FC7 ^ CF^ = t FCA ^ 1 CFA = î BAH.

La proposition est donc démontrée.

%. Sur la circonférence x^^o^ considérons le point M diamétralement opposé au point o; on voit que les droites Ma, M^ et M y sont respectivement perpendiculaires aux droites Ba, E3 et A*'. Or a est le centre du cycle qui touche les semi-droites AB, BE et CF, ^3 le centre du cycle qui touche les semi -droites BE, AE et CF, et y le centre du cycle qui touche les scuii-djx>ites AE, AB et CF. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Lemme II- — Etant données quatre semi-droites D, ly, V et A, soient a, 1/, at" les centres des cycles inscrits respectii^ement dans les triangles déterminés par les semir^roites (ly, D^, A, ; I^, D, A) et ( D, V, A}; désignons par p le point de rencontre de tï et D", par p' le point de rencontre de Tf et de D et enjin par P" le point de rencontre de D et ly.

Cela posé, les droites menées par les points a, a', 7." et perpendiculaires respectivement aux droites x^, x' ^3 tI'P" concourent en un même point.

27. Considérons niaînteuaut deux senji-droiles fixes A et A et une semi-droite mobile B assujettie à la condition suivante, à savoir que p désignant le point de rencontre de A et de A, q le centre du cycle inscrit dans le triangle formé par les'semi-droites A, B et A, la droite menée par q perpendiculairement à pq passe par un point fixe F.

La semi -droite B enveloppera dans son mouvement une courbe parfaitement déterminée-, elle est de l'espèce de celles que j'ai appelées hjpercjcies et de la troisième classe^ c'est donc un lijpercjcie cubique. Dans tout le cours de cette Note, quand il n'y aura aucune confusion à craindre, je la désignerai simplement sous le nom di hyper cycle; comme je le montrerai plus tard, le point fixe F est le foyer de cette courbe ( * ).

28. Un liypërcycle étant ainsi défini par les deux semidroites A et A, considérons une autre tangente quelconque à la courbe C; en désignant par r le point de rencontre de A et de C, par s le centre du cycle tangent aux semi-droites A, C et A, il suit de la définition de 1^ courbe que la droite menée par s perpendiculairement à rs passe par le foyer de la courbe. Soient maintenant aie point de rencontre des tangentes C et B, [3 le centre du cycle tangent à B, C et A; il résulte du lemme II que la droite menée par ^ perpendiculairement à ^a passe également par le foyer F.

Nous pouvons donc énoncer cette propriété fondamentaie :

Théorème I. — Etant données deux tangentes quel-

C) Voir à ce sujet ma l^ole, Surles hypercycles {Comptes rendus des séances de VAcadémie des Sciences, séances des 20 mars, 3, 10 et 24 avril 1882).

( »5 ) conques de l'hypercjcle^ considérons le centre du cycle qui touche ces deux tangentes et la semi-droite A \ les droites qui joignent ce centre au foyer de la courbe et au point de rencontre des tangentes sont perpendiculaires entre.elles.

29. Considérons une tangente A (/ig*. 9) à un hypercycle H et a le point où elle touche la courbe 5 la tangente infiniment voisine A' passe par le point A et la bissectrice de

Fig. 9-

deux semi-droites A et A' est la normale menée au point a ; soit « le point où cette normale rencontre la bissectrice des semi-droites A et A 5 d'après le tliéorème précédent, la droite Fa est perpendiculaire à la normale et, par suite, parallèle à A. D'où la proposition suivante :

Etant donnée une tangente A à l* hypercycle H, que par le foyer F de la courbe on mené une parallèle à A , et que Von prenne son point de rencontre a avec la bissectrice des semi-droites A et à] que du point ol on abaisse ensuite une perpendiculaire de la tangente A. le pied n

de cette perpendiculaire est le point de contact de A avec la courbe.

30. La semi-droite A est tangente à la courbe. Supposons en eflet {fig^ 2) Tliypercycle défini par la semidroite A et une tangente quelconque A. Soit tùtù' la bissectrice des demi-droites A et A^ abai>sons du point F une perpendiculaire Yp sur ww', puis, du point /?, une perpendiculaire pu sur A. Si nous imaginons une semidroite A' infiniment voisine de A et passant par le point rf, la bissectrice de A et de A est la droite ww', le centre du cycle tangent à A, A et A', est évidemment le point p et, comme pY est perpendiculaire à pw, il résulte du théorème I que A' (et par suite A) est tangente a Tliypercycle ; son point de contact est le point A.

Je dirai que A est la tangente principale de la courbe.

Dans la démonstration précédente, A est une tangente quelconque de l'hypercycle ^ lorsque cette tangente varie, on voit que la bissectrice (ow' enveloppe une parabole II ayant F pour foyer, et />8 pour tangente au sommet: cela résulte immédiatement de ce que Tangle Ypiù est un angle droit.

Il est aisé de voir que la droite ww' touche la parabole II au point a ^ de ce point, comme centre, décrivons un cycle touchant à la fois A et A; son enveloppe, lorsque A se déplace tangentiellement à Thypercycle et que le point a décrit la parabole H, se compose de la semidroite A et de Thypercycle H : on peut donc dire que le lieu des centres des cycles qui touchent Vhjpercjcle et la tangente fondamentale A est la parabole H.

En d'autres termes :

Vliypercycle H estune anticaustique ( * ) par réflexion

( * ) Dans la suite de cette Note, chaque fois que je parlerai d'une

(^7 ) de la parabole H, les rayons incidents étant perpendiculaires à l'axe de cette parabole.

Remarque. — On voit que la parabole H est le lieu des points a ^ il en résulte que la parabole H est le lieu des projections du foyer F sur les normales à l* hyper cycle,

31 . Tangentes que Von peut mener à la courbe par un point situé sur une tangente donnée.

Soient un liypercycle H défini par son foyer F, sa tangente principale A et une tangente quelconque A^ soit, de plus, (00)' la bissectrice des senii -droites A et A. Etant pris sur A un point quelconque M, si nous imaginons une tangente quelconque menée de ce point à la courbe, il suit du théorème I que, du centre du cycle inscrit dans cette tangente, A et A, on doit voir sous un angle droit le segment MF. Soit MF comme diamètre décrivant un cercle, et soient a, ^ les points où ce cercle coupe la bissectrice ww'^ il est clair, d'après ce qui précède, que les tangentes que, du point M, on peut mener à la courbe (et qui sont distinctes de A), sont les antisymétriques de A relativement aux droites Ma et M p.

Remarque I, — 11 résulte de la construction précé* dente que par chaque point du plan passent trois tangentes à la courbe : Thypercycle est donc une courbe de la troisième classe.

Remarque II. — Par le foyer F, menons une droite qui soit parallèle à la bissectrice (oo>' et qui rencontre A au point p ; soit q le point symétrique p relativement

anticaustique, sans rien mentionner de plus, je supposerai expressément que les rayons incidents sont parallèles.

( 28) au point w, intersection de A et de A. Si, sur ^F comme diamètre, nous décrivons un cercle rencontrant la bissectrice (ow' aux points a et p, le centre de ce cercle est évidemment sur cette bissectrice; l'angle a^^ est par conséquent droit, et les deux tangentes, que du point q on peut mener à Thypercycle (indépendamment de la tangente A), sont des semi-droites opposées : cela résulte immédiatement de la construction donnée ci-dessus.

Ces deux tangentes sont distinctes, ainsi que leurs points de contact; la droite qui correspond à ces deux semi-droites opposées est donc une tangente double de la courbe; mais elle doit être considérée comme une tangente double apparente ( * ).

L'hypercycle, étant de la troisième classe et ayant une tangente double, est du quatrième degré.

Reniarcjue III: — Supposons que le cercle décrit sur MF comme diamètre soit tangent à la bissectrice axo'; les points a et ^ étant confondus, il en est de même des droites Ma et M^; par suite, les tangentes menées du point M à la courbe (et distinctes de A ) sont confondues. Le point M est donc situé sur la courbe; d'où la conclusion suivante :

Soit P le pied de la perpendiculaire abaissée du

(*) Au point de vue où nous sommes placé ici, une semi-droite est tangente double d'une courbe si, en deux de ses points, elle a même direction que cette courbe; c'est alors une tangente double effective. Mais, si une droite est telle, qu'en la prenant d'abord dans un sens déterminé elle touche la courbe et qu'elle la touche encore en la prenant dans le sens inverse, on a une tangente double apparente.

Lorsqu'on effectue une transformation par directions réciproques, une tangente double effective a pour transformée une tangente double effective, tandis qu'une tangente double apparente (qui résulte de la superposition de deux tangentes opposées) a pour transformées deux tangentes ordinaires distinctes.

('-*9) foyer F sur la tangente A \ par les deux points ¥ etV on peut mener deux cercles tangents à la bissectrice de K et de la tangente fondamentale. Us points oii ces cercles coupent A sont les deux points [distincts du point de contact) oii cette tangente coupe l'hypercycle,

32. Tangente parallèle à une semi-droite donnée. — L'hypercycle étant défini comme précédemment par son foyer F, la tangente fondamentale A et une tangente quelconque A, proposons-nous de mener à cette courbe une tangente parallèle à une scmî-droite donnée D.

Construisons à cet effet la bissectrice (D, A) (*) et menons par le foyer F une perpendiculaire à (P, A) ; par le point p, où cette perpendiculaire coupe la bissectrice (A, A), menons une parallèle à (D, A) rencontrant au point a la tangente A. Il résulte du théorème I que Tantisymétrique de A relativement à la droite a^ est une tangente à la courbe qui est évidemment parallèle à la se mi -droite donnée D.

On peut donc mener une tangente, et une seule, qui soit parallèle à une semi-droite donnée ; comme on peut mener également une tangente parallèle à la semi-droite opposée, il en résulte que, par un point situé à l'infini, on peut généralement mener deux tangentes à la courbe. La courbe étant de troisième classe, on voit qu'elle est nécessairement tangente à la droite de l'infini.

Deux cas particuliers sout à remarquer : si la droite donnée est antiparallèle à A, les bissectrices (D, A) sont (A, A) perpendiculaires, et le point ^ est répété à l'in-

(*) Ici et comme dans tout ce qui suit, je désigne, pour abréger, par la notation (P, Q) la bissectrice de deux semi-droites données P et Q.

tini. La tangente antiparallèle à A étant rejetée à Tinlînî, on voit que le point de contact de Thypercycle avec la droite de Finfini est sur A; en d'autres termes :

La tangente principale est la tangente que Von peut mener à la courbe par te point où elle touche la droite de l'infini.

Considérons, en second lieu, le cas où D est une direction isotrope; je ferai remarquer à ce sujet qiiune senii'droite isotrope doit être considérée comme se confondant avec son opposée ( * ).

Si donc on considère un des ombilics du plan (c'està-dire des deux points imaginaires communs à tous les cercles du plan), on voit que parce plan on ne peut mener à la courbe qu'une tangente distincte de la droite de l'infini : d'où il résulte que ce point est situé sur la courbe.

L'hypercycle est donc une courbe de la troisième <:lasse et du quatrième degré, tangente à la droite de l'infini et passant par les ombilics. Elle a un seul foyer, qui est un foyer singulier; la construction donnée cidessus montre aisément que ce foyer est le point F (2).

Réciproquement, toute courbe de la troisième classe et du quatrième degré qui touche la droite de l'infini et passe par les ombilics du plan est un liypercycle.

33- Voici encore une conséquence de la construction donnée ci-dessus. Une tangente A étant donnée, cherchons k déterminer la tangente A' parallèle à la direc-

(*) On voit qu'il n'y a pas besoin de distinguer le sens dans lequel est décrite une droite isotrope ; ainsi droite isotrope et semi-droite isotrope ont exactement la même signification.

(2) Il suffit de remarquer que la bissectrice d'une semi-droite donnée et d'une droite isotrope est cette droite isotrope elle-même.

tioii opposée. La bissectrice (A, A') est une droite parallèle à A, et la perpendiculaire abaissée du foyer F sur cette droite rencontre la bissectrice (ow' au point M {Jig' 2) : d'où il résulte que A' est T an ti symétrique A par rapport à la droite JNIN menée par le point M parallèlen^eut à A.

Or Tenveloppe de cette droite est aisée à trouver \ l'angle MF a étant droit, le point M décrit la directrice de la parabole H, et, l'angle NMF étant également droit, MIN enveloppe une parabole H', qui a pour foyer F et pour tangente au sommet la directrice MR de la parabole H.

Je ferai remarquer que la droite RS, menée par le point R perpendiculairement à RF, est la tangente double de la courbe.

34. L'hypercycle étant défini comme enveloppe d'une semi-droite mobile est, comme le cycle, une courbe de direction^ je veux dire parla qu'en chacun de ses points la tangente est déterminée de position et de direction.

Considérons un cycle C et le cercle K déterminé par ce cycle ^ le cercle K étant de seconde classe et l'hypercycle de la troisième, ces deux courbes ont en commun six tangentes dont la direction est déterminée, puisqu'elles touchent l'hypercycle. De ces six semi-droites, trois seulement sont tangentes à C, les autres étant tangentes au cycle opposé.

Ainsi, un cycle et un hjpercycle ont trois tangentes communes.

35. Détermination des tangentes communes à un cjcle qui touche une tangente à Vhjpercjcle, — Considérons un cycle C qui touche une tangente A k l'hypercycle 5 il a en commun avec cette courbe deux autres tangentes que Ton peut déterminer par la règle et le compas. '

A cet effet, A désignant la tangente principale de la courbe, F son foyer et coio' la bissectrice (A, D), appelons O le centre du cycle donné, et qui est. ainsi bien défini; sur OF comme diamètre, décrivons un cercle K qui coupe loiù' aux points y et S ; joignons Oa et Op, et soient ^ et 8' les points où ces droites rencontrent la tangente A.

Cela posé, on vérifiera facilement que les tangentes menées des points a' et jî' au cycle C sont les tangentes cherchées.

36. Construction du cycle osculateur en un point donné, — Soit {Jig- 9) à construire le cycle osculateur au point a 011 la tangente A touche la courbe. Si le cycle C est osculateur, les points ^ et 8' doivent se confondre avec le point a, et par conséquent les points y et 8 avec le point a. Le cercle R touche donc la bissectrice too)' au point a, et son centre est déterminé, puisqu'il est, en outre, sur la droite élevée par le milieu du segment F a perpendiculaire à ce segment.

De là la construction simple suivante :

F/7 étant la perpendiculaire abaissée du foyer F sur la bissectrice tùisJ^ déterminons le point q symétrique de p par rapport à a et, au point q^ menons une droite perpendiculaire à tocj' : le point O oii cette droite rencontre la normale est le centre du cycle osculateur de la courbe au point a.

37. Lieu des centres des cycles qui touchent l'hyper cycle et une tangente donnée de cette courbe. — En conservant les mêmes notations que ci-dessus, supposons que le cycle qui a pour centre le point O soit tangent à l'hypercycle^ les deux points y' et 8' seront alors confondus, ainsi que les points y, 8. Le cercle décrit

sur OF comme diamètre touche donc loto- : son centre O', étant également distant du point F et de coo)', décrit une parabole ayant F pour foyer et (otù' comme directrice, et, par suite^ le centre O décrit une parabole P ayant F pour foyer et cow' pour tangente au sommet.

La même proposition peut s'énoncer de la façon suivante :

L'hyperçycle est une anticaustique de la parabole P, les riajons incidents étant perpendiculaires à la tan^ gente A.

Un hypercycle peut être ainsi considéré d'une infinité de façons comme une anticaustique de parabole \ toutes les paraboles qui correspondent à ce mode de génération sont homofocales, et leurs tangentes au sommet enveloppent la parabole II.

38. n résulte également de là le théorème suivant, qui exprime une propriété de six semi-droites quelconques tangentes à un même hypercycle :

Théorème II. — Si six semi-droites A|, As, A3, A4, A 5 et Aq sont tangentes à un même hypercycle y les cinq bissectrices (Ai, A2), (A|, A3), (A,, A4), (Ai, A5) et (A|, Ae) sont tangentes à une même parabole.

Le foyer de cette parabole est le foyer de Vhypercycle,

39. Comme je Tai dit plus haut, Thypercycle est une courbe de direction \ en d'autres termes, en chaque point de cette courbe, la tangente est déterminée non seulement en position, mais encore en direction. Il en est de même du cycle 5 mais une courbe algébrique, prise au hasard, n'est pas une courbe de direction.

Etant donnée une courbe algébrique K de classe //, si, en la supposant décrite dans un certain sens, on peut L. 3

la trahsformcr en une courbe de direction Ko, îl faut que, étant donné un cycle quelconque C, des 2 n tangentes communes à K et à C, /z soient seulement des tangentes effectives à Rq, les n autres étant des tangentes apparentes.

De là résulte que l'équation qui détermine les tangentes communes à K et à C doit, par l'extraction d'une simple racine carrée, se ramener à la résolution des deux équations du degré w^ et, comme (en coordonnées rectangulaires) l'équation tangentielle d'un cercle quelconqut? est .

il eu résulte que l'équation tangentielle la plus générale d'une courbe de direction est de la forme

F et ^ dé3ignant deux fonctions ration ne] les de u et de v.

40. Lorsque l'équation d'une courbe algébrique K du degré n n'est pas de la forme que je viens d'indiquer (telle est, par exemple, une conique quelconque différente du cercle), pour la transformer en une courbe de direction, il faut la considérer comme double, et comme le résultat de la superposition de deux courbes opposées qui sont l'enveloppe d'un cycle de rayon infiniment petit dont le <'enlre décrit la courbe R.

Une telle courbe doit être considérée comme double 5 en cliacun de ses points on peut mener deux tangentes qui sont des semi-droites opposées, et^ au point de vue où nous sommes placés, elle est de la classe 2/1.

41. Etant données une courbe algébrique quelconque R et une semi-droite A, considérons les cycles qui, ayant leur centre sur K, sont tangents à A^ ils enveloppent évidemment une courbe de direction G, qui est

une anticaustique de K, les rayous incidents étant perpendiculaires à A.

Ainsi toute anticaustique d'une courbe algébrique est une courbe de direction; réciproquement, étant donnée une courbe de direction quelconque G, elle est une anticaustique d'une infinité de courbes algébriques que l'on déterminera de la façon suivante.

Etant prises arbitrairement une semi-droite A et une tangente quelconque T à la courbe G, que Ton construise la bissectrice (T, A)*, lorsque T se déplace tangentiellement à G, la droite (T, A) enveloppe une courbe algébrique K, qui est le lieu des centres des cycles qui touchent à la fois A et la courbe G.

Si la courbe G est une courbe double, en chaque point M de cette courbe, on peut mener deux tangentes opposées, et si N désigne le point où elles rencontrent A, par N passent deux bissectrices rectangulaires entreelles, dont Tenveloppe est la courbe K.

Dans ce cas, Tenveloppe des cycles tangents à A et ayant leur centre sur K est la courbe double (j, chaque point M de G étant le point de contact de deux cycles tangents à A et ayant leur centre sur K-, ou, si Ton veut encore, chaque point de G étant situé sur deux rayons réfléchis sur K.

42. On peut encore énoncer les résultats qui précèdent sous la forme suivante : G désignant une courbe algébrique, traçons dans le plan une droite arbitraire D, menons une tangente T à G et construisons les deux bissectrices rectangulaires des droites T et D; cela posé, lorque T se déplace tangentiellcment à la courbe, ces. bissectrices enveloppent une autre courbe. Si cette dernière courbe se décompose en deux autres, on peut transformer la courbe G en une courbe de direction

en donnant en chacun de ses points une direction à la tangente. On retrouverait ainsi la condition analytique que j'ai donnée plus haut, à savoir que Téquation en coordonnées tangentielles d'une courbe de direction est de la forme F'^{u^i^) = («2-^ {^^^^^[u^ i^).

Les courbes parallèles à une courbe de direction et l'enveloppe de ses normales sont également des courbes de direction ; il en est de même des caustiques par réflexion des courbes algébriques, les rayons incidents étant parallèles.

43. Considérons une courbe de direction G qui est l'enveloppe des cycles dont les centres décrivent la courbe K, tandis qu'ils demeurent tangents à une semidroite A.

Effectuons une translbrmation par semi -droites réciproques ] soient Go la transformée de G, et Aq la semidroite transformée de A. G© peut être considéré comme l'enveloppe de cycles tangents à Ao, et dont les centres parcourent une (îourbe Ko .

Il est aisé d'établir que R© est une transformée homographique de R, la transformation étant de telle nature que la droite de l'infini se correspond à elle-même.

Prenons en effet pour axe des x l'axe de la transformation, et pour axe des j- une droite perpendiculaire. Soient x, j~ les coordonnées du centre d'un cycle tangent à A et à G, et r son rayon; soient X, Y les coordonnées du cercle transformé et R son rayon. On aura les formules suivantes ( * ) :

Xr=^, Y — j = a(R-r), Y -t- r = - (R -h r);

en éliminant R entre les deux dernières relations, il

(*) Voir p. i5.

(•^7 ) \ient

Si maîntenaiit on remarque que le cercle de rayon r demeure tangent à une semi-droile fixe du plan, on voit que, en grandeur et en signe, r est exprimé par une fonction linéaire de x et de j^.

On a donc une relation de la foruie

Y=:A^-hBr-t-C,

où A, B, C désignent des constantes, et cette formule, jointe à la formule X = x, démontre la proposition énoncée.

Une transformation homograpliique, qui conserve la droite de Tinfini, transformant une conique en conique et une parabole en parabole, il en résulte qu'une anticaustique de conique se transforme, par une transformation par directions réciproques, en une anticaustique de conique, et qu'un hypercycle (qui est une anticaustique de parabole ) a pour transformée un autre hypercycle (*).

44. Un hjpercj de est déterminé quand on se donne cinq de ses tangentes, — Cinq tangentes A, B, C, D, E étant en effet données, que Ton construise, par exemple, les quatre bissectrices (A, B), (A, C), (A, D), (A, E), et la parabole P tangente à ces quatre droites^ il est clair, d'après ce qui précède, que Thypercycle est Ten-

(*) Sur ce point et sur d'autres propriétés de l'hypcrcycle, voir ma Note Sur les hypercycles, insérée dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, séances des 20 et 37 mars, 3, 10 et 24 avril 1882;

vcloppe des cycles qui touchent A, et dont le centre décrit P; son foyer est du reste le foyer de P.

La proposition précédente signifie qu'il y existe un seul liypercycle touchant cinq semi-droites données, mais il y existe seize hypercycles touchant cinq droites données. Ayant en effet attribué un sens arbitraire à Tune des droites pour la transformée en semi-droites, on peut attribuer à chacune des quatre autres un sens arbitraire, ce qui donne lieu U seize combinaisons différentes.

45. Indëpendnniinent de la droite de l'injini, deux hypercjcles quelconques H et H' ont quatre tangentes communes. — Soient, en effet, Ho la courbe H' considérée indépendamment de son sens 5 Hq et H, étant toutes les deux de troisième classe, ont neuf tangentes communes. Abstraction faite de la droite de l'infini, il en reste huit autres qui sont tangentes soit à H, soit à la courbe H| opposée à H. Deux hypercycles ne peuvent d'ailleurs, d'après le théorème précédent, avoir plus de quatre tangentes communes ^ des huit tangentes considérées, quatre sont donc tangentes à H et quatre tangentes à H|, ce qui démontre la proposition énoncée.

6. Faisceaux d^ hypercjcles. — Je dirai que l'ensemble des hypercycles qui touchent quatre semi-droites données constitue un faisceau.

Il est clair, d'après ce qui précède, que, parmi les hypercycles d'un faisceau, il n'y en a qu'un qui touche une semi-droite donnée ; on prouvera facilement qu'il y en a quatre qui passent par un point donné.

Le lieu des foyers des hypercycles du faisceau déterminé par quatre semi -droites données A, B, C, D est le cercle qui contient (lemmo 1) les centres des cycles in-

( 39 ) scrits dans les triangles que Ton détermine en considérant trois à trqis les semi-droites données.

Considérons en effet les bissectrices (A, B), (A, C) et (A, D)^ on voit que les foyers des hypercycles du faisceau sont les foyers des paraboles tangentes à ces trois jdroitçs^ or, d'après un théorème connu, le lieu de ces foyers est le cercle circonscrit au triangle formé par ces droites, d'où la proposition énoncée*

47 . Hjper cycles except ionnels . — Un poi nt rf à 1 ' i nCn i étant défini par un système (D) de semi-droites parallèles entre elles, on peut considérer rensemble du points/ et d'un cycle quelconque C comme constituant un liypercycle. Les tangentes que l'on peut, d'un point quelconque M du plan, mener à cet liypercycle exceptionnel se composent des tangentes menées du point M au cycle et de la semi-droite menée par M parallèlement au système (D).

Etant donné 'un tel liypercycle exceptionnel (rf, C), si l'on mène à C une tangente antiparallèle au système (D) ( * ), celte tangente est la tangente principale du cycle exceptionnel, et la droite correspondante en est la tangente double.

C'est ce que l'on verra facilement sur la //g^. 2, en supposant que le foyer F se rapproche indéfini ment de la bissectrice tùtJ et vient se placer sur cette droite, auquel cas riiypercyde se réduit à un cycle et à un point à l'infini.

48. Un faisceau déterminé par quatre semi-droites A, B, C, D renferme quatre «;ycles exceptionnels, à savoir :

C) Je rappellerai que deux semi-droites sont dites antiparallèles lorsque, les droites qu'elles déterminent étant parallèles, ell3S sont dirigées en sens inverse.

Celui qui est déterminé par le cycle inscrit dans A, B, C et le point à l'infini sur D, celui qui est déterminé par le cycle inscrit dans B, C, D et le point situé à Tinfini sur A, celui qui est déterminé par le cycle inscrit dans C, D, A et le point situé à Tinfini sur B, et enfin celui qui est déterminé par le cycle inscrit dans D, A, B et le point à l'infini sur C.

La considération de ces cycles exceptionnels est d'une grande importance dans la théorie des faisceaux d'hypercycles, théorie sur laquelle j'aurai occasion de revenir.

Sur quelques propriétés des cycles.

49. Etant donnés deux cycles A et B, menons-leur une tangente commune •, la distance comprise entre les points de contact de cette semi-droite est la distance tangentielle des deux cycles. Elle n'est évidemment déterminée qu'en valeur absolue ; dans tout ce qui suit, je la désignerai simplement sous le nom de distance des deux cycles.

On sait que, si Ton eSeclue une transformation par semi-droites réciproques, la distance de deux cycles est égale à la distance des deux cycles correspondants.

50. Etant donnés trois cycles A, B etC, on peut chercher de quelle façon sont distribués dans le plan les cycles équidistants de ces trois cycles. Si nous eflectuons une transformation par semi-droites réciproques, de telle sorte que, les cycles a, ^ et y correspondant aux cycles donnés, a et P soient opposés, il suffira évidemment de résoudre le problème proposé relativement à la nouvelle figure.

Il est aisé de voir que les cycles équidistants de deux cycles opposés a et (3 se réduisent aux points du plan . Désignant, en effet, par R et — R les rayons des cycles opposés, par p le rayon d'un cycle équidistantde aet de p, par d la distance de son centre au centre commun de a et de P, on a

d^OÙ

Rp = o; et, comme R est supposé différent de zéro, il suit

nécessairement

ce qui démontre la proposition énoncée.

Les cycles équidistants de a, jî et y devant se réduire à des points, on les obtiendra tous en considérant les divers points dé Taxe radical D des cycles a et y 5 et de là, si l'on revient à la première figure, on voit que les cycle» équidistants de trois cycles donnés A, B, C sont .tangents à deux semi-droites 6xes A et A' qui sont les transformées des deux semi-droites opposées définies par la droite D. Ces deux semi-droites passent d'ailleurs par les points p et y, intersections des cycles a et y, lesquels points peu vent être considérés comme les cycles tangents à a, ^ et y.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Les cjcles équidistants de trois cycles donnés A, B et .C touchent deux semi-droites fixes A et A', qui sont les tangentes communes aux deux cycles qui sont tangents à A, B et C.

J'appellerai ces semi-droites les semi-droites radicales des cycles A, B et C ; leur point de rencontre est évidemment le centre radical des trois cycles,

51. Proposons-nous de trouver les cycles équidistants de quatre cycles donnés A, B, C et D. Dans ce but effectuons une transformation par semi-droites réciproques, de telle sorte que, a, j3, y et 8 correspondant respectivement à A, B, C et D, a et j3 soient des cycles opposés.

Les cycles équidistants de a et de j3 se réduisant aux points du plan, il est clair qu'il n'y a qu'un seul cycle qui soit équidistant des cycles a, j3, y eto : c'est le centre radical des cycles a, y et 3 ; cl de là, en revenant à la figure primitive, on peut conclure que :

// ny a dans le plan quiui seul cycle éf/uidistant de quatre cycles donnés A, B, C et D.

Je le désignerai sous le nom de cycle radical des cycles A, B, C et D.

o2. Le cycle radical de A, B, C et D étant équidislant de A, B et C touche les semi-droites radicales de ces trois cycles; d*où la proposition suivante :

Etant donnés quatre cycles, les semi-droites radicales de trois quelconques de ces cycles touchent leur cycle radical; en groupant de toutes les façons possibles trois à trois les quatre cycles donnés, on a donc quatre systèmes de deux semi-droites qui touchent le cycle radical,

Uu cas particulièrement remarquable est le suivant :

Soient Al, Aq, As et A4 quatre semi-droites données^ A/ désignant Tune quelconque d'entre elles, appelons K/ le cycle qui touche les trois autres. Nous déterminerons ainsi quatre cycles R,, K2, K3 et K4 -, soit K leur cycle radical .

Il résulte de ce qui précède que K est tangent aux trois semi-droites radicales de Ki, K2 et K3 ^ or ces cycles touchent tous les trois la semi-droite A» et il est aisé de voir que, quand trois cycles sont tangents à une même semi-droite A, leurs deux semi-droites radicales se confondent entre elles ou, pour parler plus exactement, se composent de deux semi-droites se coupant en leur centre radical et différant infiniment peu de la semidroite menée en ce point parallèlement à la semi -droite A.

On conclut de là que le cycle R passe par le centre radical de R<, Ro et R3 et est tangent à la semi-droite menée par ce point parallèlement à A^.

D'où la proposition suivante :

Si l'on considère de toutes les façons possibles trois quelconques des cycles Kj, Ra, K3 et K4 et leur centre radical, on obtient quatre points qui sont sur un même cycle R et les tangentes menées à ce cycle en ces points sont respectivement parallèles aux semi-droites Aj , Ao, A3 et A4.

Ce cycle R est le cycle radical rfe Ri, R,, Rs et R*.

53. Les quatre cycles R/ qui sont ainsi déterminés par les semi-droites A<, A2, A3 et A4 jouissent d'un grand nombre de propriétés remarquables. J'énoncerai ici la suivante :

' Si, parallèlement à une semi-droite donnée A^ on mène des tangentes à Ri, Rj, R3 et R4, le rapport anharmonique de ces quatre semi-droites est constant quelle que soit la direction de A.

Pour démontrer cette proposition, j'énoncerai d'abord le lemme suivant dont l'application est fréquente :

Lemme. — Si l'on ej^ectue une transformation par semi-droites réciproques, à quatre semi-droites parallèles entre elles correspondent également quatre sentidroites parallèles.

Le rapport anharmonique de celles-ci est égal au rapport anharmonique des quatre premières.

La démonstration de ce lemme résulte immédiatement de ce que deux semi-droites correspondantes se coupent au même point de l'axe de transformation.

Cela posé, je remarque que l'on peut toujours effectuer une transformation par semi-droites réciproques, de telle façon que deux semi-droites données aient pour transfor-

(45) mées deux semi-droites opposées ; le théorème que nous voulons démontrer étant projectif, 11 suffira donc de le démontrer dans ce cas.

Soient donc [fi g- lo) ca^ bc^ ah et ha quatre semidroites données ( * ), R le cycle tangent à Je, ca et ai, R'

Fig. 10.

le cycle tangent ha^ ca et hc. Il est clair que le cycle tangent à ca, ah et ha se réduit au point a et que le cycle tangent à ic, ah et ha se réduit au point h.

Cela posé, menons aux deux cycles R et R' des tangentes parallèles à une semi-droite prise arbitrairement et soient respectivement a et a' les points où ces tangentes coupent la droite ah. Les points a et a' se correspondent de façon qu'à un point a correspond un seul point a' et réciproquement à un point a' correspond un seul point a. En effet, si Ton se, donne par exemple le point a, on ne

(•) Lorsque je désigne une semi-droite par deux lettres, Tordre dans lequel sont placées ces lettres indique le sens de la semi-droite; ainsi PQ désigne une semi-droite décrite par un point mobile allant du point P au point Q. Il en résulte que PQ et QP sont deux semidroites opposées.

( 46) peut par ce point mener au cycle K qu'une seule tangente distincte de ab\ d'autre part, ou ne peut mener au cycle R' qu'une seule tangente qui soit parallèle à celle-ci^ le point a' où elle coupe ah est donc déterminé.

11 résulte de là que les points a et a! déterminent sur la droite ab deux divisions liomographiqucs dont les points doubles sont évidemment les points a et è, et, par suite, en vertu d'une propriété bien connue, le rapport anliarmonique des quatre points a, a', a et i est constant. Il en est évidemment de même du rapport anharmonique des tangentes passant par les points a et a' et des parallèles à ces tangentes menées par les points a et A. En d'autres termes, le rapport anliarmonique des semi-droites, menées parallèlement à la semi-droite prise arbitrairement et langentiellement aux cycles K, R', a et è, est constant: ce qui démontre la proposition énoncée.

54. Etant données deux semi-droites quelconques A et A', circonscrivons à R| un angle dont les côtés soient parallèles à A et A'^, et soit V^ le sommet de cet angle.

Soient de même P2, P3 et P^ les sommets des angles analogues circonscrits aux cycles R2, R 3 et R 4. Le rapport anliarmonique de quatre côtés de ces angles étant égal au rapport anliarmonique des quatre autres, il suit de là proposition fondamentale de la théorie des coniques que les quatre points P/ sont sur une conique ayant ses asymptotes parallèles à A et à ^'.

Enparticulier,supposonsque A cl A' soient deux droites isotropes de système différent; les points P/ sont les centres des cycles R/. On peut donc énoncer la proposition suivante, que j'ai déjà démontrée directement plus haut ( < ) :

(*) Sur les anticauatiques par réflexion de la parabole (p. .11).

Les centres des cycles K/ sont situés sur un même cercle.