J'énoncerai encore la proposition suivante

Etant donnés deux cycles K et K', si l'on considère quatre cycles quelconques H|, H2, H3 et H4 doublement tangents à¥^ et à K', et si, à ces quatre cycles, on circonscrit des angles ayant leurs côtés parallèles aux deux tangentes communes à K et à K', les quatre sommets de ces angles sont sur une conique ayant leurs asymptotes parallèles à ces tangentes communes.

Pour démontrer cette proposition, il suffit de faire voir, que le rapport anliarmonique des semi-droites, menées tangentiellemeut aux cycles K,- parallèlement à Tune des tangentes, est égal au rapport anharmonique des semi-droites menées à ces cycles parallèlement à l'autre tangente; et, comme cette propriété est projective, il suffit de la démontrer dans un cas particulier. Or on peut toujours ellectuer une transformation par directions réciproques, de telle sorte que les cycles K et K' soient opposés entre eux ] les cycles H/ se réduisent alors à quatre points du cercle Ko déterminé par K et K'; les deux tangentes communes à K et à K' sont des droites isotropes et Ton sait, par la propriété fondamentale du cercle, que le.» droites isotropes d'un système qui passent par ces quatre points ont leur rapport anharmonique égal au rapport anharmonique des droites isotropes de l'autre système qui passent par les mômes points.

La proposition est donc entièrement démontrée.

Une conique dont la direction des asymptotes est donnée étant déterminée par trois de ses points, la proposition précédente peut s'énoncer ainsi qu'il suit :

Si l'on considère tous les cycles H qui touchent deux

( 48) cycles donnés K et K' et si, à chacun deb cycles H, on circonscrit un angle dont les côtés soient parallèles aux tangentes communes à¥i. et à K', le lieu du sommet de cet angle est une conique dont les asymptotes sont parallèles à ces deux tangentes.

Il est facile de voir que cette conique a eflectivemeut ces deux tangentes pour asymptotes et qu'elle passe par les points d'intersection des cycles K et K'^ d'où encore la proposition suivante :

Etant donnée une conique quelconque, attribuons un sens quelconque aux asymptotes de cette conique de façon à les transformer en deux semi-droites A et A'. Cela posé, considérons deux points quelconques M «f N de la conique; par le point M, on peut mener deux cycles tangents à b, et à t^ \ par N on peut mener deux parallèles à A et A' : ces deux cycles et ces deux pa^ rallèles sont tangents à un même cj de P.

J'ajouterai que la corde qui joint les points de contact de P avec A et A' est Taxe radical des cycles qui, passant par M, louchent ces deux setni-droites.

56. Il est aisé de voir que le théorème précédent peut encore s'énoncer ainsi qu'il suit :

Par deux points donnés y et 8, on peut tnener deux cercles K et K' qui touchent un cercle donné C 5 par les points ou la droite yS rencontre C, menons des tangentes à ce cercle, soit e leur point de rencontre. Par les points y, 8 et e, faisons passer une conique ayant ses asymptotes parallèles aux tangentes dont je viens de parler; les asymptotes de cette conique sont deux tangentes communes à ¥i. et à¥J .

On peut généraliser ce théorème en faisant une transformation liomograpliique de telle sorte que les ombilics

du plan deviennent deux points quelconques a et ^^ on obtient alors la proposition suivante :

Etant donnés deux points quelconques aet^ sur une conique C, par deux points y et 5 du plan et les points a et p on peut mener deux coniques K et K' qui touchent C] par les points où la droite yS coupe C, menons des tangentes à cette conique et soit e leur point de rencontre; soient de plus "k et [l les points oii la corde a^ rencontre ces tangentes. Cela posé, si l'on construit la conique déterminée par les cinq points \ 1^5 Y» 2 et e, les tangentes menées à cette conique aux points X et ^l sont deux tangentes communes à K et à K' (* ).

9. En particulier, supposons que les points y et S soient les ombilics du plan^ la proposition précédente pourra s'énoncer ainsi qu'il suit :

Etant donnés sur une conique C deux points a et ^, on peut par ces points mener deux cercles qui touchent C ^ ces deux cercles ont pour tangentes communes les droites passant par les points où la droite a^ coupe les asymptotes, tangentiellement au cercle déterminé par ces points et le centre de la courbe,

11 est d'ailleurs évident que ces tangentes communes aux deux cercles se coupent en un de leurs centres de similitude.